高考数学大一轮复习 第十章 计数原理 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件.pptVIP

10 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第十章计数原理 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 知识梳理 m n 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m n 3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步乘法计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了才算完成这件事 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 事情是分步完成的 其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事 只有每个步骤都完成后 这件事情才算完成 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 如果完成一件事情有n个不同步骤 在每一步中都有若干种不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成这件事共有m1m2m3 mn种方法 5 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p12a组t5 已知集合m 1 2 3 n 4 5 6 7 从m n这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标 纵坐标 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一 第二象限内不同的点的个数是a 12b 8c 6d 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析分两步 第一步先确定横坐标 有3种情况 第二步再确定纵坐标 有2种情况 因此第一 二象限内不同点的个数是3 2 6 故选c 3 p10a组t4 已知某公园有4个门 从一个门进 另一个门出 则不同的走法的种数为a 16b 13c 12d 10 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析将4个门编号为1 2 3 4 从1号门进入后 有3种出门的方式 共3种走法 从2 3 4号门进入 同样各有3种走法 共有不同走法3 4 12 种 题组三易错自纠4 从0 2中选一个数字 从1 3 5中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为a 24b 18c 12d 6 答案 1 2 3 4 5 6 解析 解析分两类情况讨论 第1类 奇偶奇 个位有3种选择 十位有2种选择 百位有2种选择 共有3 2 2 12 个 奇数 第2类 偶奇奇 个位有3种选择 十位有2种选择 百位有1种选择 共有3 2 1 6 个 奇数 根据分类加法计数原理知 共有12 6 18 个 奇数 1 2 3 4 5 6 5 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有a 24种b 30种c 36种d 48种 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析需要先给c块着色 有4种方法 再给a块着色 有3种方法 再给b块着色 有2种方法 最后给d块着色 有2种方法 由分步乘法计数原理知 共有4 3 2 2 48 种 着色方法 1 2 3 4 5 6 6 如果把个位数是1 且恰有3个数字相同的四位数叫做 好数 那么在由1 2 3 4四个数字组成的有重复数字的四位数中 好数 共有 个 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由题意知本题是一个分类计数问题 当组成的数字有三个1 三个2 三个3 三个4时共有4种情况 当有三个1时 2111 3111 4111 1211 1311 1411 1121 1131 1141 有9种 当有三个2 3 4时 2221 3331 4441 有3种 根据分类加法计数原理可知 共有12种结果 12 题型分类深度剖析 1 2017 郑州质检 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为a 14b 13c 12d 10 解析 答案 题型一分类加法计数原理的应用 自主演练 解析当a 0时 关于x的方程为2x b 0 此时有序数对 0 1 0 0 0 1 0 2 均满足要求 当a 0时 4 4ab 0 ab 1 此时满足要求的有序数对为 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 综上 满足要求的有序数对共有13个 故选b 2 2017 济南模拟 如果一个三位正整数如 a1a2a3 满足a1a3 则称这样的三位数为凸数 如120 343 275等 那么所有凸数的个数为a 240b 204c 729d 920 解析 答案 解析若a2 2 则百位数字只能选1 个位数字可选1或0 凸数 为120与121 共2个 若a2 3 则百位数字有两种选择 个位数字有三种选择 则 凸数 有2 3 6 个 若a2 4 满足条件的 凸数 有3 4 12 个 若a2 9 满足条件的 凸数 有8 9 72 个 所以所有凸数有2 6 12 20 30 42 56 72 240 个 3 2016 全国 定义 规范01数列 an 如下 an 共有2m项 其中m项为0 m项为1 且对任意k 2m a1 a2 ak中0的个数不少于1的个数 若m 4 则不同的 规范01数列 共有a 18个b 16个c 14个d 12个 解析 答案 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在 应抓住题目中的关键词 关键元素 关键位置 1 根据题目特点恰当选择一个分类标准 2 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法 不能重复 3 分类时除了不能交叉重复外 还不能有遗漏 典例 1 2016 全国 如图 小明从街道的e处出发 先到f处与小红会合 再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 题型二分步乘法计数原理的应用 师生共研 答案 解析 a 24b 18c 12d 9 解析从e点到f点的最短路径有6条 从f点到g点的最短路径有3条 所以从e点到g点的最短路径有6 3 18 条 故选b 2 有六名同学报名参加三个智力项目 每项限报一人 且每人至多参加一项 则共有 种不同的报名方法 答案 解析 120 解析每项限报一人 且每人至多参加一项 因此可由项目选人 第一个项目有6种选法 第二个项目有5种选法 第三个项目有4种选法 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有6 5 4 120 种 1 本例 2 中若将条件 每项限报一人 且每人至多参加一项 改为 每人恰好参加一项 每项人数不限 则有多少种不同的报名方法 解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项 各有3种不同的报名方法 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有36 729 种 解答 2 本例 2 中若将条件 每项限报一人 且每人至多参加一项 改为 每项限报一人 但每人参加的项目不限 则有多少种不同的报名方法 解每人参加的项目不限 因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛 根据分步乘法计数原理 可得不同的报名方法共有63 216 种 解答 1 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 并且分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 只有各个步骤都完成了 才算完成这件事 2 分步必须满足两个条件 一是步骤互相独立 互不干扰 二是步与步确保连续 逐步完成 跟踪训练一个旅游景区的游览线路如图所示 某人从p点处进 q点处出 沿图中线路游览a b c三个景点及沿途风景 则不同 除交汇点o外 的游览线路有 种 用数字作答 答案 解析 48 解析根据题意 从点p处进入后 参观第一个景点时 有6个路口可以选择 从中任选一个 有6种选法 参观完第一个景点 参观第二个景点时 有4个路口可以选择 从中任选一个 有4种选法 参观完第二个景点 参观第三个景点时 有2个路口可以选择 从中任取一个 有2种选法 由分步乘法计数原理知 共有6 4 2 48 种 不同游览线路 命题点1与数字有关的问题典例 2017 天津 用数字1 2 3 4 5 6 7 8 9组成没有重复数字 且至多有一个数字是偶数的四位数 这样的四位数一共有 个 用数字作答 题型三两个计数原理的综合应用 多维探究 1080 答案 解析 故符合题意的四位数一共有960 120 1080 个 命题点2涂色 种植问题典例 2017 济南质检 如图 用4种不同的颜色对图中5个区域涂色 4种颜色全部使用 要求每个区域涂一种颜色 相邻的区域不能涂相同的颜色 则不同的涂色种数为 96 答案 解析 解析按区域1与3是否同色分类 故由分类加法计数原理可知 不同的涂色种数为24 72 96 命题点3与几何有关的问题典例 1 如果一条直线与一个平面垂直 那么称此直线与平面构成一个 正交线面对 在一个正方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个数是a 48b 18c 24d 36 答案 解析 解析第1类 对于每一条棱 都可以与两个侧面构成 正交线面对 这样的 正交线面对 有2 12 24 个 第2类 对于每一条面对角线 都可以与一个对角面构成 正交线面对 这样的 正交线面对 有12个 所以正方体中 正交线面对 共有24 12 36 个 2 如果一条直线与一个平面平行 那么称此直线与平面构成一个 平行线面组 在一个长方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 平行线面组 的个数是a 60b 48c 36d 24 答案 解析 解析长方体的6个表面构成的 平行线面组 的个数为6 6 36 另含4个顶点的6个面 非表面 构成的 平行线面组 的个数为6 2 12 故符合条件的 平行线面组 的个数是36 12 48 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 1 弄清完成一件事是做什么 2 确定是先分类后分步 还是先分步后分类 3 弄清分步 分类的标准是什么 4 利用两个计数原理求解 跟踪训练 1 2017 黄山模拟 建造一个花坛 花坛分为4个部分 如图 现要栽种4种不同颜色的花 不一定4种颜色都栽种 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 不同的栽种方法有 种 用数字作答 108 答案 解析 解析先栽第一块地 有4种情况 然后栽第二块地 有3种情况 第三块地有3种情况 第四块地有3种情况 则共有4 3 3 3 108 种 不同的栽种方法 2 用数字0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中比40000大的偶数共有a 144个b 120个c 96个d 72个 答案 解析 典例 1 把3封信投到4个信箱 所有可能的投法共有a 24种b 4种c 43种d 34种 利用两个基本原理解决计数问题 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 2 某人从甲地到乙地 可以乘火车 也可以坐轮船 在这一天的不同时间里 火车有4次 轮船有3次 问此人的走法可有 种 错解展示 解析 1 因为每个信箱有三种投信方法 共4个信箱 所以共有3 3 3 3 34 种 投法 2 乘火车有4种方法 坐轮船有3种方法 共有3 4 12 种 方法 错误答案 1 d 2 12 现场纠错 解析 1 第1封信投到信箱中有4种投法 第2封信投到信箱中也有4种投法 第3封信投到信箱中也有4种投法 只要把这3封信投完 就做完了这件事情 由分步乘法计数原理可得共有43种方法 2 因为某人从甲地到乙地 乘火车的走法有4种 坐轮船的走法有3种 每一种方法都能从甲地到乙地 根据分类加法计数原理 可得此人的走法共有4 3 7 种 答案 1 c 2 7 纠错心得 1 应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步 2 把握完成一件事情的标准 如典例 1 没有考虑每封信只能投在一个信箱中 导致错误 课时作业 1 2017 济南质检 有4件不同颜色的衬衣 3件不同花样的裙子 另有2套不同样式的连衣裙 五一 节需选择一套服装参加歌舞演出 则不同的选择方式的种数为a 24b 14c 10d 9 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析第一类 一件衬衣 一件裙子搭配一套服装有4 3 12 种 方式 第二类 选2套连衣裙中的一套服装有2种选法 所以由分类加法计数原理可知 共有12 2 14 种 选择方式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2018 河北保定质检 三个人踢毽 互相传递 每人每次只能踢一下 由甲开始踢 经过4次传递后 毽又被踢回给甲 则不同的传递方式共有a 4种b 6种c 10种d 16种 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析分两类 甲第一次踢给乙时 满足条件的有3种传递方式 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 同理 甲先传给丙时 满足条件的也有3种传递方式 由分类加法计数原理可知 共有3 3 6 种 传递方法 3 从集合 1 2 3 4 10 中 选出5个数组成子集 使得这5个数中任意两个数的和都不等于11 则这样的子集有a 32个b 34个c 36个d 38个 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 4 2018 惠州调研 我们把各位数字之和为6的四位数称为 六合数 如2013是 六合数 则 六合数 中首位为2的 六合数 共有a 18个b 15个c 12个d 9个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意知 这个四位数的百位数 十位数 个位数之和为4 由4 0 0组成3个数 分别为400 040 004 由3 1 0组成6个数 分别为310 301 130 103 013 031 由2 2 0组成3个数 分别为220 202 022 由2 1 1组成3个数 分别为211 121 112 共有3 6 3 3 15 个 5 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 则不同的安排方案共有a 12种b 10种c 9种d 8种 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由分步乘法计数原理可知 不同的选派方案共有2 6 12 种 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2018 驻马店质检 将一个四面体abcd的六条棱上涂上红 黄 白三种颜色 要求共端点的棱不能涂相同颜色 则不同的涂色方案有a 1种b 3种c 6种d 9种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析因为只有三种颜色 又要涂六条棱 所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色 故有3 2 1 6 种 涂色方案 7 集合p x 1 q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且p q 把满足上述条件的一对有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是a 9b 14c 15d 21 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析当x 2时 x y 点的个数为1 7 7 当x 2时 p q x y x可从3 4 5 6 7 8 9中取 有7种方法 因此满足条件的点共有7 7 14 个 8 2018 湖南郴州模拟 用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色 要求相邻区域不同色 则不同的涂色方法共有 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 4320种b 2880种c 1440种d 720种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析分步进行 1区域有6种不同的涂色方法 2区域有5种不同的涂色方法 3区域有4种不同的涂色方法 4区域有3种不同的涂色方法 6区域有4种不同的涂色方法 5区域有3种不同的涂色方法 根据分步乘法计数原理可知 共有6 5 4 3 3 4 4320 种 不同的涂色方法 故选a 9 设集合a 1 0 1 b 0 1 2 3 定义a b x y x a b y a b 则a b中元素的个数为 用数字作答 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析易知a b 0 1 a b 1 0 1 2 3 x有2种取法 y有5种取法 由分步乘法计数原理 知a b中的元素有2 5 10 个 10 10 2017 日照调研 从1 2 3 4 7 9六个数中 任取两个数作为对数的底数和真数 则所有不同对数值的个数为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 在某运动会的百米决赛上 8名男运动员参加100米决赛 其中甲 乙 丙三人必须在1 2 3 4 5 6 7 8八条跑道的奇数号跑道上 则安排这8名运动员比赛的方式共有 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2880 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析分两步安排这8名运动员 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四条跑道可安排 安排方式有4 3 2 24 种 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一条奇数号跑道安排 安排方式有5 4 3 2 1 120 种 安排这8人的方式有24 120 2880 种 12 2017 昆明质检 某小区一号楼共有7层 每层只有1家住户 已知任意相邻两层数的住户在同一天至多一家有快递 且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递 则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析分三类 1 同一天两家有快递 可能是2层和5层 3层和5层 3层和6层 共3种情况 2 同一天三家有快递 考虑将有快递的三家插入没有快递的四家形成的空位中 有种插入法 但需减去1层 3层与7层有快递 1层 5层与7层有快递2种情况 所以有 2 8 种 情况 3 同一天四家有快递 只有1层 3层 5层 7层有快递1种情况 根据分类加法计数原理可知 同一天7家住户有无快递的可能情况共有3 8 1 12 种 13 2017 郑州质量预测 将数字 124467 重新排列后得到不同的偶数的个数为a 72b 120c 192d 240 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析将数字 124467 重新排列后所得数字为偶数 则末位数应为偶数 若末位数字为2 因为含有2个4 所以有 60 种 情况 若末位数字为6 同理有 60 种 情况 若末位数字为4 因为有2个相同数字4 所以共有5 4 3 2 1 120 种 情况 综上 共有60 60 120 240 种 情况 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16