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例说高考题中的利用导数求参数范围河北 高亚平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。在04年高考中，湖北、辽宁等地考查了这点；在05年的高考中，湖北、辽宁、湖南、山东、重庆、天津等地更着重考查了这一点，甚至很多都安排在倒数第一、二题的位置上！现以04和05年的几道高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。一 与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使成立，只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立，只需使函数的最大值恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1（05湖北理）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围. 解析：由向量的数量积定义，=()+()=+=+.若在区间(-1,1)上是增函数，则有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在区间-1,1上，=5，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即的取值范围是5，）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例2使不等式-对任意的实数都成立，求实数的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令=-，则如果原不等式对任意的实数都成立等价于.又=-=4()，令=0，解得，=0或=1. 的符号及的单调性如下：(-,0)0(0,1)1(1,+)-0-0+无极值极小值因为在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即= -1，= -1，即3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例3（05天津理）若函数=(0,1)在区间(-,0)内单调递增，则的取值范围是（ ）A,1) B.1) C(,+) D(1, ) 解析：是复合函数，须按01两种情况考虑. 令=，在(-,0)上为增函数， 若01，则在(-,0)上为减函数，即=3在(-,0)上恒成立, 3=,此时，1； 若1，则在(-,0)上为增函数，须使=0在(-,0)上恒成立，即3在(-,0)上恒成立, 即0，不合题意.综上，.1).点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙.例4（04辽宁）已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意,不等式成立，求实数m的取值范围. 解析：(1) 解略. =，=；得=；(2) 解此绝对值不等式得+-把（1）代入上式，得-+-若把此不等式左右两边设为两个新函数，即令=-+，=+-则原不等式对于任意恒成立，意即成立，只需满足即可.=，=，注意到0，即10 , 0 , 故、均为增函数，在上，=，=，故原不等式成立，当且仅当，即.点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。二 与极值点的个数有关求解策略：按方程=0的根的个数分情况谈论。例5（04湖北文）已知,函数= 的图象与函数=的图象相切，()求与的关系式（用表示）；()设函数=在(-,+)内有极值点，求的取值范围. 解析：() 与的图象相切，切线的斜率相等，即=即，故，切点的纵坐标为=，解得，又,，即.() =，=，令=0，即=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)= 若=0，=0有一个实根，则=，的变化如下： （-，）（，+）+0+故=不是的极值点； 若0，=0有两个不同的实根、，不妨设，则=，的变化如下：（-，）（，）（，+）+0-0+故、分别为函数的极大值点和极小值点.综合，当0，=0在(-,+)内有极值点.由=0，即，又由() ，得，解得， 或.故的取值范围是（0，）（，+）.点评：解决要明了切线与导数之间的关系；解决借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系.三 与集合之间的关系相联系例6（05湖南文）设0，点是函数与=的图象的一个公共点.两函数的图象在点处有相同的切线，()用表示，；()若函数=在(-1,3)上单调递减，求的取值范围.解析：() 为切点，切线相同，此问与例5大同小异。把点代入两函数解析式，有，又0，故，又在点处切线相同，故，即，将代入，得=，从而，=，即.() 由()，=，=，=，函数=单调递减，即0，由=0，当0时，；0时，.故函数的单调区间，当0时，为；当0时，为.故要使函数在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3) 或(-1,3) ，即或，解得，3或-9.故的范围是(-，-9