九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第1节 菱形的性质与判定课件 （新版）北师大版.ppt

北师大版九年级上册 第一节 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第一课时菱形的性质 下面几幅图片中都含有一些平行四边形 观察这些平行四边形 你能发现它们有什么样的共同特征 与下图相比较 这些平行四边形特殊在哪里 这些平行四边形的邻边相等 像这样的平行四边形叫菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形在生活中随处可见 你能举出一些生活中菱形的例子吗 与同伴交流 菱形具有工整 匀称 美观等许多优点 常被人们用在图案设计上 1 菱形是特殊的平行四边形 它具有一般平行四边形的所有性质 你能列举一些这样的性质吗 菱形的对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 2 你认为菱形还具有哪些特殊的性质 与同伴交流 1 菱形是轴对称图形吗 如果是 它有几条对称轴 对称轴之间有什么位置关系 用菱形纸片折一折 回答下列问题 菱形是轴对称图形 有两条对称轴 分别是两条对角线所在的直线 两条对称轴互相垂直 菱形的四条边相等 2 结合手中的折纸得到的菱形abcd 找出图中相等的角和线段 由折纸过程和对称轴的性质可得相等的角有 1 2 3 4 5 6 7 8 相等的线段有 ab bc cd da 已知 如图 在菱形abcd中 ab ad 对角线ac与bd相交于点o 求证 1 ab bc cd ad 2 ac bd 菱形四边相等 对角线互相垂直的证明 证明 1 四边形abcd是菱形 ab cd ad bc 菱形的对边相等 又 ab ad ab bc cd ad 2 ab ad abd是等腰三角形 又 四边形abcd是菱形 ob od 菱形的对角线互相平分 在等腰三角形abd中 ob od ao bd 即ac bd 菱形的性质 1 对角线互相垂直且平分 并且每条对角线平分一组对角 2 四条边都相等 对边平行且相等 3 对角相等 邻角互补 4 菱形既是轴对称图形 对称轴是两条对角线所在直线 也是中心对称图形 5 菱形是特殊的平行四边形 它具备平行四边形的一切性质 例2 已知如图 菱形abcd的两条对角线bd ac分别为6cm和8cm 则菱形的边长是 a 10cmb 7cmc 5cmd 4cm c 解析 abcd是菱形 ac bd ao 4 bo 3 在rt aob中 菱形的边长为5cm 故选c 例3 如图 在菱形abcd中 对角线ac与bd相交于点o bad 60 bd 6 求菱形的边长ab和对角线ac的长 分析 由菱形的性质得到ac bd ab ad 结合题意 得到 abd是等边三角形从而求出ab的长 再借助勾股定理求出ac的长 解 四边形abcd是菱形 ab ad 菱形的四条边都相等 ac bd 菱形的对角线互相垂直 ob od 菱形的对角线互相平分 在等腰 abc中 bad 60 abd是等边三角形 ab bd 6在rt aob中 由勾股定理 得 3cm 600 解析 根据菱形的四边相等 得到边长为3 解析 根据菱形的四边相等 得到ab ad 再因为 bad 60 得到 abd是等边三角形 所以有 abd 60 5 2 已知菱形abcd的两条对角线的长分别为6和8 m n分别是边bc cd的中点 p是对角线bd上一点 则pm pn的最小值为 解析 当p点为ac与bd的交点时 pm pn的值最小 为菱形的边长 两条对角线分别为6和8 此菱形的边长为5 故pm pn的最小值为5 课堂总结 请各位同学回忆一下菱形的性质有哪些 请从边 角 对角线和对称性的角度进行分析 边 角 对角线 对称性 菱形的两组对边平行 菱形的四边相等 菱形的两组对角相等 菱形的邻角互补 菱形的对角线互相平分 且每一组对角线平分一组对角 菱形的对角线互相垂直 菱形是中心对称图形 对称中心是两条对角线的交点 菱形是轴对称图形 对称轴是两条对角线所在的直线 1 习题1 1 知识技能第1 2两题2 预习第二课时 第二课时菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 3 菱形的性质 1 菱形的定义 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 2 菱形的特征 菱形是一个轴对称图形 我们可以怎样判定一个四边形是菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 数学语言 四边形abcd是平行四边形且ab ad 四边形abcd是菱形 菱形的判定 定义法 菱形的性质 两条对角线互相垂直平分 中 对角线互相平分 是平行四边形所具有的一般性质 而 对角线垂直 是菱形所特有的性质 由此 可以得到一个猜想 如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直 那么这个平行四边形是一个菱形 除定义法之外 还能找到其他的判定方法吗 如图 取两根长度不等的细木棒 让两个木棒的中点重合并固定在一起 用笔和直尺画出木棒四个端点的连线 我们知道 这样得到的四边形是一个平行四边形 若转动其中一个木棒 重复上面的做法 当两个木棒之间的夹角等于90 时 得到的图形是什么图形呢 探究一 如图 你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形 和你的同伴交换一下 看看是否成了一个菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图 平行四边形abcd中 对角线ac bd互相垂直 证明 四边形abcd是菱形 证明 四边形abcd是平行四边形 oa oc 又 ac bd bd所在直线是线段ac的垂直平分线 ab bc 四边形abcd是菱形 验证猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在 abcd中 ac bd abcd是菱形 菱形的判定2 数学语言 先画两条等长的线段ab ad 然后分别以b d为圆心 ab为半径画弧 得到两弧的交点c 连接bc cd 就得到了一个四边形 猜一猜 这是什么四边形 根据画图 你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗 o 探究二 有四条边相等的四边形是菱形 已知 在四边形abcd中 ab bc cd da 求证 四边形abcd是菱形 证明 ab cd ad bc 四边形abcd是平行四边形 又 ab ad 四边形abcd是菱形 验证猜想 四条边都相等的四边形是菱形 在四边形abcd中ab bc cd da 四边形abcd是菱形 菱形的判定3 数学语言 菱形常用的判定方法 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 有四条边相等的四边形是菱形 1 下列条件中 不能判定四边形abcd为菱形的是 ac bd ac与bd互相平分 ab bc cd da ab bc ad cd 且ac bd ab cd ad bc ac bd c 解析 根据菱形的三个判定可得c是错误的 四边形abcd是菱形 oa oc 4ob od 3 证明 又 ab 5 ac bd aob 90 又 四边形abcd是平行四边形 四边形abcd是平行四边形 1 判断下列说法是否正确 为什么 1 对角线互相垂直的四边形是菱形 2 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3 对角线互相垂直 且有一组邻边相等的四边形是菱形 4 两条邻边相等 且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 2 对角线互相垂直且平分的四边形是 a 矩形b 一般的平行四边形c 菱形d 以上都不对 c 例1 在平行四边形abcd中 对角线ac bd交于点o e是bd延长线上的点 且 ace是等边三角形 求证 四边形abcd是菱形 分析 根据平行四边形的性质得出对角线互相平分 再根据等边三角形 三线合一 的性质得出垂直关系即可判定四边形abcd为菱形 证明 四边形abcd是平行四边形 ao co ace是等边三角形 eo ac 即db ac 平行四边形abcd是菱形 例2 如图 在 abc中 acb 90 cd ab于点d ae平分 bac 分别与bc cd交于点e f eh ab于点h 连接fh 求证 四边形cfhe是菱形 分析 根据角平分线的性质可得ce eh 根据 等角的余角相等 可知 cef cfe 即ce cf 再证明eh cf 于是得到四边形cfhe是菱形 证明 ae平分 bac eh ab ec ac eh ec cae eab cae aec 90 eab afd 90 aec afd 又 afd cfe cef cfe ec cf eh cf 又 cd ab eh ab cd eh 四边形cfhe是平行四边形又 eh ec 平行四边形cfhe是菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 四条边相等 五种判定方法 四边形 菱形的判定方法 1 习题1 2 知识技能第1 2两题2 预习第三课时 第三课时菱形的有关计算 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 菱形的性质 1 菱形的定义 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 3 菱形的判定 a 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 b 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 c 有四条边相等的四边形是菱形 菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形 它们之间有什么关系 菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形 它们有什么关系 菱形的周长 4 边长 两个全等的等腰三角形 四个全等的直角三角形 o 菱形的面积公式 o e s菱形 bc ae 想一想 已知菱形的两条对角线的长 能求出它的面积吗 菱形的面积 底 高 对角线乘积的一半 菱形的有关计算 菱形的有关计算 菱形的周长 4 边长菱形的面积 底 高 对角线乘积的一半 例1 已知 如图 四边形abcd是边长为13cm的菱形 其中对角线bd长10cm 求 1 对角线ac的长度 2 菱形abcd的面积 解 1 四边形abcd是菱形 ac和bd相交于点e aed 900 ac 2ae 2 12 24 cm 44 菱形对角线互相垂直 菱形对角线互相平分 2 abd的面积 2 菱形abcd的面积 abd的面积 cbd的面积 45 例2 如图所示 已知菱形abcd的周长为40cm 两条对角线ac bd之比为3 4 求 1 两条对角线的长 2 菱形abcd的面积 分析 1 ac bd 3 4 即oa ob 3 4 利用勾股定理求出oa ob的长 就求出了ac和bd的长 2 对角线乘积的一半即为菱形的面积 解 1 菱形的周长为40cm ab 10cm ac bd 3 4 oa ob 3 4 ac bd 在rt aob中 有设oa 3x ob 4x即 x 2 oa 6cm ob 8cm ac 12cm bd 16cm 2 1 已知菱形的周长是12 那么它的边长是 2 已知如图 菱形abcd的边长和一条对角线ac的长均为2cm 则菱形的面积为 3 利用勾股定理求出菱形的边长 再求出其周长 根据菱形的面积等于对角线的一半求出菱形的面积 小提示 有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 3 菱形abcd的周长为40cm 它的一条对角线长10cm 1 求这个菱形的每一个内角的度数 2 求这个菱形另一条对角线的长 解 由题意知ac 10cm 1 菱形周长为40cm 则ab bc 10cm ac 10cm abc为等边三角形 abc 60 bad 180 60 120 2 在rt abo中 ab 10cm 则另一条对角线长菱形的对角线长分别为10cm 则菱形的面积 4 已知 如图 在rt abc中 bac 60 bc的垂直平分线分别交bc和ab于点d e 点f在de的延长线上 且af ce 求证 四边形acef是菱形 证明 ace 90 de垂直平分bc df ac be ce b bce b bac 90 ace bce 90 bac ace ae ce ae bac 60 ace是等边三角形 aef ca