电动力学[1].绪论.数学预备(10).pdf

电动力学 绪论电动力学 绪论 经典场的数学描述经典场的数学描述 2008级基地班 逸仙班 2010 32008级基地班 逸仙班 2010 3 黄迺本黄迺本 stshnb 请告诉我 请告诉我 你在你在电磁学电磁学中学到了什么 中学到了什么 什么是什么是电场电场 怎样描写 怎样描写 什么是什么是磁场磁场 怎样描写 怎样描写 电磁作用的电磁作用的普遍规律普遍规律是什么 怎样表达 是什么 怎样表达 今天要讨论的问题今天要讨论的问题 经典电动力学的研究对象 经典电动力学的研究对象 教学目标 教学目标 教材和主要参考书 教材和主要参考书 关于课程考核 关于课程考核 矢量和张量 经典场的数学描述矢量和张量 经典场的数学描述 电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 经典电动力学的研究对象 经典电动力学的研究对象 电磁场及其与物质的相互作用的基本规律电磁场及其与物质的相互作用的基本规律 处理各种电磁系统的问题 包括 处理各种电磁系统的问题 包括 静电场与静磁场的边值求解 静电场与静磁场的边值求解 势的物理效应与势的规范变换势的物理效应与势的规范变换 电磁波的传播与辐射 电磁波的传播与辐射 电磁场与带电粒子相互作用 电磁场与带电粒子相互作用 电动力学的相对论不变性 势和场的相对论变换等 电动力学的相对论不变性 势和场的相对论变换等 电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 教学目标 教学目标 掌握 电磁相互作用的基本规律 处理各类电磁系统的实际问题的基本理论方法 为进一步学习相关专业课程 或从事相关领域的研究打下基础 掌握 电磁相互作用的基本规律 处理各类电磁系统的实际问题的基本理论方法 为进一步学习相关专业课程 或从事相关领域的研究打下基础 主要数学工具 主要数学工具 微积分 线性代数 级数 矢量与张量分析 数学物理方程 微积分 线性代数 级数 矢量与张量分析 数学物理方程 电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 教材和主要参考书 教材和主要参考书 教材教材 郭硕鸿著 黄迺本 李志兵 林琼桂修订 电动力学 第三版 高等教 育出版社 郭硕鸿著 黄迺本 李志兵 林琼桂修订 电动力学 第三版 高等教 育出版社 2008 主要参考书 主要参考书 1 黄迺本 方奕忠 电动力学 第三版 学习辅导书 高等教育出 版社 黄迺本 方奕忠 电动力学 第三版 学习辅导书 高等教育出 版社 2009 2 Jackson J D Clasical Electrodynamics 3rd ed New York Wiley 1998 或中译本或中译本 高等教育出版社高等教育出版社 3 费恩曼物理学讲义 第费恩曼物理学讲义 第2卷 上海科技出版社 卷 上海科技出版社 2005 4 朗道等朗道等 场论 人民教育出版社 场论 人民教育出版社 1959 5 俞允强俞允强 电动力学简明教程 北京大学出版社 电动力学简明教程 北京大学出版社 1999 6 蔡圣善等蔡圣善等 电动力学 第二版 高等教育出版社 电动力学 第二版 高等教育出版社 2003 7 尹真尹真 电动力学 第二版 科学出版社 电动力学 第二版 科学出版社 2005 电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 课程考核 课程考核 1 1 课程论文与平时训练课程论文与平时训练 占占40 40 2 2 期末闭卷考试 期末闭卷考试 占占60 60 课程论文目的 课程论文目的 鼓励鼓励交流与讨论 扩大视野 了解知识的应用与学 科前沿发展动态 交流与讨论 扩大视野 了解知识的应用与学 科前沿发展动态 培养培养提出问题和解决问题的能力 提出问题和解决问题的能力 学习学习科学研究的方法 科学研究的方法 课程论文的要求课程论文的要求 论文内容 论文内容 与电动力学相关的各种理论问题 或实际应用 与电动力学相关的各种理论问题 或实际应用 论文格式 论文格式 论文题目 作者姓名班级学号 论文题目 作者姓名班级学号 摘要摘要 Abstract 关键词关键词 Key Words 正文正文 引言 问题的背景与科学意义 你的论述 论证 或实验和结果 结语 引言 问题的背景与科学意义 你的论述 论证 或实验和结果 结语 参考文献参考文献 1 作者名 文献题目 或参考书名 期刊名 或出版社 卷 期 页码 年份 2 1 作者名 文献题目 或参考书名 期刊名 或出版社 卷 期 页码 年份 2 所列参考文献 必须在正文中提及 并按出现次序 用右上角标 如 所列参考文献 必须在正文中提及 并按出现次序 用右上角标 如 1 1 标示序号 标示序号 交课程论文的时间 交课程论文的时间 十六周 十六周 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 物理量分类 物理量分类 在三维空间转动下 物理量按其变换性质 见教材P209 212 分为 在三维空间转动下 物理量按其变换性质 见教材P209 212 分为 0 阶张量0 阶张量 即 即标量标量 scalar 只有 只有3 30 0 1 1个分量 无空间取向个分量 无空间取向 如长度 如长度l 时间 时间t 质量 质量 m 温度 温度T 能量 能量E 等 等 1阶张量1阶张量 即 即矢量矢量 vector 由 由3 31 1 3 3个分量构成有序集合 个分量构成有序集合 有 一定的空间取向 有 一定的空间取向 如 如位置矢量 速度 加速度 动量 作用力 力矩 角动量 电流密度 电偶极矩 磁偶极矩 位置矢量 速度 加速度 动量 作用力 力矩 角动量 电流密度 电偶极矩 磁偶极矩 等 等 2阶张量2阶张量 tensor 由 由3 32 2 9 9个分量构成有序集合 个分量构成有序集合 空间取向比 矢量复杂 空间取向比 矢量复杂 如刚体的如刚体的转动惯量 电四极矩 电磁场应力张量转动惯量 电四极矩 电磁场应力张量 等 可以定义更高阶张量 如 等 可以定义更高阶张量 如 3阶张量3阶张量 由 由3 33 3 27 27个分量构成有 序集合 个分量构成有 序集合 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 矢量表示 矢量表示 书写书写 在在字母上方加一箭头字母上方加一箭头 如 印刷 如 印刷 用用黑体黑体字母表示 如字母表示 如 r A 场概念 场概念 Maxwell 提出的提出的 电磁场电磁场 electromagnetic field 概念概念 是是 19世纪物理学的伟大创举世纪物理学的伟大创举 场场与与粒子粒子 是 是物质物质的的两种基本存在形态两种基本存在形态 Ar r r 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 物理量在时空中的分布构成物理量在时空中的分布构成 场场 亦即场量是空间坐标 亦即场量是空间坐标 以及时间 的函数 例如 以及时间 的函数 例如 温度分布温度分布T x y z t 标量场标量场 流体速度分布流体速度分布v x y z t 矢量场矢量场 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 电磁场电磁场的两个的两个基本场量基本场量 电场强度电场强度E x y z t 物理意义是什么 物理意义是什么 磁感应强度磁感应强度B x y z t 物理意义是什么 的分布都构成 物理意义是什么 的分布都构成矢量场 矢量场 也可以用势描写电磁场 也可以用势描写电磁场 标势标势 scalar potential x y z t 标量场标量场 矢势矢势 vector potential A x y z t 矢量场矢量场 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 正交坐标系的基矢量 正交坐标系的基矢量 三维空间三维空间正交坐标系正交坐标系 如直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 如直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 基矢量基矢量e1 e2 e3的正交性 可表示为 1 1 一般矢量 的正交性 可表示为 1 1 一般矢量A 有三个独立分量有三个独立分量A1 A2 A3 故可写成 1 2 故可写成 1 2 u1u2 u3 3 e 2 e 1 e ji ji ij 0 1 ji ee 3 1 332211 i ii AAAAeeeeA A 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 标量积 标量积 1 3 1 3 A B Acos Bcos cosAB ABBA BA 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 矢量积 矢量积 右手规则右手规则 1 4 1 4 A B B A ABBA sin AB BA A B 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 三矢量的三矢量的混合积混合积 1 4 1 4 三矢量的三矢量的矢积矢积 1 5 1 5 BACACBCBA A B C BAC ABCBACCBA 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 并矢量与二阶张量 并矢量与二阶张量 两个矢量两个矢量A 和和B 并置 构成并矢量 1 6 它有9个分量 并置 构成并矢量 1 6 它有9个分量AiBj和9个基和9个基eiej 一般地 一般地 x1x2 x3 3 e 2 e 1 e jie eeeeeeeAB j ji iB ABBBAAA 3 1 332211332211 BAAB 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 三维空间三维空间二阶张量二阶张量也有9个分量也有9个分量Tij 它的 它的 并矢量并矢量形式 1 7 形式 1 7 矩阵矩阵形式 1 8 形式 1 8 x1 x2 x3 3 e 2 e 1 e jie e 3 1 ji ij TT 333231 232221 131211 TTT TTT TTT T 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 张量的迹 张量的迹 是其是其主对角线全部元素主对角线全部元素 分量 分量 之和之和 1 9 1 9 trT 0 的张量 称为的张量 称为无迹张量无迹张量 单位张量 单位张量 其并矢量形式与矩阵形式分别是 1 10 1 11 因此 1 1 式中的符号 其并矢量形式与矩阵形式分别是 1 10 1 11 因此 1 1 式中的符号 ij 实际上是单位张量的分量 实际上是单位张量的分量 332211 trTTTT 332211 eeeeee I 100 010 001 I 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 对称张量与反对称张量 对称张量与反对称张量 若若Tij Tji 称之为 称之为对称张量对称张量 它有 它有6个6个独立分量 若对称张量的迹 独立分量 若对称张量的迹 trT 0 则它只有 则它只有5个5个独立分量 独立分量 单位张量单位张量是一个特殊的对称张量 若 是一个特殊的对称张量 若Tij Tji称之为称之为反对称张量反对称张量 由于 由于T T11 T T22 T T33 0 反对称张量 只有 反对称张量 只有3个3个独立分量 独立分量 任何张量任何张量Tij均可写成一个均可写成一个对称张量对称张量Sij与一个与一个反对称张量反对称张量Aij 之和 即之和 即Tij Sij Aij 只需使 只需使 Sij Tij Tji 2 Aij Tij Tji 2 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 二阶张量与矢量二阶张量与矢量点乘点乘 结果 结果降阶降阶为为矢量矢量 由 1 1 式 有 1 12 1 13 一般地 由 1 1 式 有 1 12 1 13 一般地 但但单位张量单位张量与与任何矢量任何矢量点乘点乘 均给出原矢量 1 14 均给出原矢量 1 14 ij jijijkiij jik k kij ijkk TAeTATATeeeeA ji ij iijjiij kji k k kk ij ij TAeTAATTeeeeA jkji AA TT AAA II 1 矢量和张量代数矢量和张量代数 并矢量 并矢量与与并矢量并矢量 或或二阶张量二阶张量与与二阶张量二阶张量双点乘双点乘 结果结果降阶降阶为为 标量标量 运算规则运算规则 先将 先将靠近的两个靠近的两个矢量矢量点乘点乘 再将 再将另两个另两个矢量矢量点乘点乘 1 15 1 15 DACBCDAB 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 1 算符 1 算符 和 和 2 表示表示 场场 的物理量 是的物理量 是空间坐标空间坐标和和时间时间的函数 可能有的函数 可能有间断 点 间断 点 甚至会有甚至会有奇点奇点 请告诉我 请告诉我 什么叫什么叫间断点 间断点 什么叫什么叫奇点奇点 温度温度T 的分布 的分布 静电势静电势 的分布 都构成的分布 都构成标量场标量场 电场强度电场强度E 磁感应强度磁感应强度B 矢势矢势A 的分布的分布 都构成都构成矢量场矢量场 读 读 deldel 是 是对场量做空间一阶偏导数运算对场量做空间一阶偏导数运算的的矢量算符矢量算符 2 是是对场量做空间二阶偏导数运算对场量做空间二阶偏导数运算的的标量算符标量算符 即 即拉普拉 斯算符 拉普拉 斯算符 运算结果 反映场的空间变化率 运算结果 反映场的空间变化率 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 在直角坐标系中 2 1 当 在直角坐标系中 2 1 当P点位置变化P点位置变化时 时 三个基矢量三个基矢量的的方向保持不变方向保持不变 即 即ex ey ez 均是均是常矢量常矢量 x y z z e y e x e zyx zyx eee 2 2 2 2 2 2 2 zyx P 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 2 标量场的梯度 2 标量场的梯度 gradient of a scalar field 标量场标量场 在某点P 的在某点P 的梯度梯度 2 2 是一个是一个矢量矢量 它在数值上等于 它在数值上等于 沿沿等值面等值面的的法向导数法向导数 方向 方向沿沿 增加的方向增加的方向 即 2 3 即 2 3 en是等值面的是等值面的法向单位矢量法向单位矢量 例如 例如 静电势静电势 的分布是一个的分布是一个标量场标量场 E 变成变成矢量 场即 矢量 场即静电场静电场 x y z z e y e x e P n e zyx zyx eee n d d e n d 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 3 矢量场的散度 3 矢量场的散度 divergence of a vector field 矢量场矢量场A通过某曲面通过某曲面S 的的通量通量 flux 定义为 定义为 2 4 其中其中dS dSen是曲面是曲面某点某点P 附近的附近的面积元矢量面积元矢量 方向沿曲面在 该点的 方向沿曲面在 该点的法向法向en 对于 对于闭合曲面闭合曲面 closed surface 规定规定 dS 的方向沿曲面的的方向沿曲面的外 法向 外 法向 S Sd P n e S SA d o S n e A Sd P 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 对于矢量场对于矢量场A中包含任一点中包含任一点P x y z 的的 小体积 小体积 V 其闭合曲面为 其闭合曲面为S 定义极限 定义极限 2 5 为为矢量场矢量场A 在该点的在该点的散度散度 它是 它是标量标量 在直角坐标系中 在直角坐标系中 2 6 若若处处均有处处均有 A 0 就称 就称A为为无散场无散场 solenoidal field 或 或无源场无源场 它的场线必定是连续而闭合的曲线 例如 它的场线必定是连续而闭合的曲线 例如 磁场磁场的的B线线总是连续 而闭合 遵从 总是连续 而闭合 遵从磁通连续性磁通连续性 故 故B是是无散场无散场 即 即 B 0 S Sd P n e o A SA V S V d lim 0 z A y A x A z y x A 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 高斯定理高斯定理 Gauss theorem 对任意闭合曲面对任意闭合曲面S 及其包围的体积及其包围的体积V 下述积分变换定理成立 下述积分变换定理成立 2 7 由此推知 若由此推知 若A 是无散场是无散场 即 即处处有处处有 A 0 则 则A 场场通过任何 闭合曲面 通过任何 闭合曲面S 的的净通量均为零净通量均为零 例如磁场 例如磁场B S Sd P n e o SV ASAVdd 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 4 矢量场的旋度 4 矢量场的旋度 curl of a vector field 矢量场矢量场A沿闭合路径沿闭合路径 closed contour 的积分 称为 的积分 称为A沿沿L 的的环量环量 circulateon 其中 其中dl 是路径是路径L的的线元矢量线元矢量 若对 任意闭合路径 若对 任意闭合路径L 均有 均有 2 8 则则A 称为称为保守场保守场 conservative field l d L L lA d 0d L lA 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 当闭合路径当闭合路径L 所围成的面积元所围成的面积元 S 是某点P 的无限小邻域 我们是某点P 的无限小邻域 我们约定约定 路径积分的绕行方向即 路径积分的绕行方向即dl 的方向的方向 与其 所围成的 与其 所围成的面积元矢量面积元矢量 S S en的法向的法向en成成右手螺旋右手螺旋关系 并定 义 关系 并定 义极限极限 2 9 为为矢量场矢量场A 在P点的在P点的旋度旋度 A 在在en方向的方向的分量分量 在直角坐标系中 在直角坐标系中 2 10 它是它是矢量矢量 l d LP P n eSS nn 0 d limAeA lA S L S z x y y zx x y z y A x A x A z A z A y A eeeA 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 如果所有点上均有 如果所有点上均有 A 0 称称A 为为无旋场无旋场 irrotational field 例如例如 静电场静电场E 就是就是无旋场无旋场 即 处处有 即 处处有 E 0 斯托克斯定理斯托克斯定理 stokes theorem 对任意的对任意的闭合路径闭合路径L 所围的所围的 曲面曲面S 下述积分变换成立 下述积分变换成立 2 11 SAlA S dd L L S A dl 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 5 矢量场的几个定理 5 矢量场的几个定理 标量场的梯度必为无旋场 标量场的梯度必为无旋场 2 12 证 对 证 对任意标量场任意标量场 的的梯度 取旋度 梯度 取旋度 可得 可得 0 zyx zyx eee 0 yxxy x 0 y 0 z 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 逆定理 逆定理 无旋场必可表示成某一标量场的梯度 即 若 无旋场必可表示成某一标量场的梯度 即 若 A 0 必可令 必可令 A 例如 例如 静电场强度静电场强度E 可用可用标势标势 的负梯度描写的负梯度描写 E 矢量场的旋度必为无散场 矢量场的旋度必为无散场 2 13 证 2 13 证 逆定理 逆定理 无散场必可表成另一矢量场的旋度 即 若 无散场必可表成另一矢量场的旋度 即 若 B 0 必可令 必可令 B A 例如 磁感应强度例如 磁感应强度B 就可用就可用矢势矢势A 的的旋度旋度描写 描写 0 A 0 y A x A zx A z A yz A y A x x y zx y z A 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 6 算符运算 6 算符运算 标量函数标量函数 的的梯度梯度 是是矢量矢量 矢量函数 矢量函数f 的的散度散度 f 是是标 量 标 量 旋度旋度 f 是是矢量矢量 而 而 f 是是二阶张量二阶张量 2 14 若 2 14 若 和和 是是标量标量函数 函数 f 和和g 是是矢量矢量函数 有 2 15 2 16 2 17 2 18 函数 有 2 15 2 16 2 17 2 18 3 1 3 1 3 1ji i j j j i i x f f x jiji eeeef fff fff fggfgf 2 19 2 20 2 21 2 22 上述运算 不必采用化成分量的方法进行 只要抓住 2 19 2 20 2 21 2 22 上述运算 不必采用化成分量的方法进行 只要抓住算符 算符 的的微分 作用 微分 作用及其及其矢量性质矢量性质 便可快捷准确地写出结果 当 便可快捷准确地写出结果 当 作用于作用于两个函数的乘积两个函数的乘积 或两个函数之和 时 表示 或两个函数之和 时 表示它它对对 每一个函数每一个函数都要作都要作微分运算 微分运算 可以先考虑可以先考虑 对对第一个量第一个量的作用 并 将这个量记为 的作用 并 将这个量记为 的的下标下标 以示算符只对此量执行微分运算 以示算符只对此量执行微分运算 第二 个量 第二 个量则视为则视为常数常数 再考虑 再考虑 对对第二个量第二个量的作用 此时亦将第二个 量记为 的作用 此时亦将第二个 量记为 的的下标下标 第一个量则视为 第一个量则视为常数常数 必须注意的是 算符 必须注意的是 算符 不能 不能与其与其微分运算对象微分运算对象掉换次序掉换次序 fggfgffggf gfgffgfggf gfgffg fff 2 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 例如例如 2 16 式 式 f 是对是对矢量矢量 f 求求散度散度 故 故运算结果的每 一项都必须是 运算结果的每 一项都必须是标量标量 我们有 又如 我们有 又如 2 20 式式 f g 是对是对标量标量 f g 求求梯度梯度 结果的每一项都必须 是 结果的每一项都必须 是矢量矢量 先把它写成 再根据三矢量的矢积公式 先把它写成 再根据三矢量的矢积公式 1 6 式 但结果中必须式 但结果中必须体现体现 f对对 f 的 微分作用 的 微分作用 以及 以及 g对对g 的微分作用的微分作用 故有 故有 右方右方所得结果中所得结果中 第二项第二项实际上是实际上是g f 第四项第四项是是 f g fffff f gfgfgf gf fgfggf f gfgfgf g gfgffgfggf 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 2 经典场的数学描述经典场的数学描述 7 积分变换 积分变换 高斯定理 高斯定理 2 23 2 24 斯托克斯定理 斯托克斯定理 2 25 格林公式 格林公式 2 26 格林公式 格林公式 2 27 SV VSAAd d TVT SV Sd d LS lASAdd SV VSd d 22 SV VSd d 22 3 函数 函数 一维 一维 函数函数 定义为定义为 3 1 当当 3 2 主要性质主要性质 x x 为为偶函数偶函数 其 其导数导数是是奇函数奇函数 又又 若函数若函数f x 在在x x 附近连续 有 当 附近连续 有 当 3 3 这一性质由中值定理可以证明这一性质由中值定理可以证明 xx xx xx 0 x x ab 1 d b a xxx bxa d xfxxxxf b a bxa 3 函数 函数 三维 三维 函数函数 定义为定义为 3 4 当 当 x 在在V 内内 3 5 因此 位于因此 位于x 的的单位点电荷单位点电荷 q 1单位单位 的的密度密度可表示为可表示为 3 3 式可推广到式可推广到三维情形三维情形 若 若函数函数f x 在在x x 附近连续附近连续 便有 当 便有 当 x 在在V内内 3 6 xx xx xx 0 x y x z x 1 d V Vxx V xxx d xxxx fVf V 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 直角坐标系直角坐标系 当坐标当坐标 x y z 变化时变化时 三个基矢三个基矢ex ey ez的的方向 保持不变 方向 保持不变 常用的微分运算表达式为常用的微分运算表达式为 4 1 4 2 4 3 4 4 zyx zyx eee z A y A x A z y x A z x y y zx x y z y A x A x A z A z A y A eeeA 2 2 2 2 2 2 2 zyx 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 曲线正交坐标系曲线正交坐标系任一点任一点P的坐标的坐标 x y z 也可用曲线正交 坐标系描述 沿 也可用曲线正交 坐标系描述 沿三个坐标三个坐标 u1 u2 u3 增加方向的增加方向的基矢量基矢量e1 e2 e3 互相正交 互相正交 随着随着P点坐标变化 一般地点坐标变化 一般地三个基矢量三个基矢量的的取向取向将会将会改变改变 无限 无限小线元矢量小线元矢量dl 坐标坐标ui的的标度系数标度系数hi 以及微分算符分别 为 以及微分算符分别 为 4 5 4 6 3 e 2 e 1 e y z x P 333222111 332211 ddd dddd eee eeel uhuhuh lll 21222 iii i u z u y u x h 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 4 7 4 8 4 7 4 8 3 e 2 e 1 e y z x P 33 3 22 2 11 1 111 uhuhuh eee 1 33 21 322 13 211 32 1321 2 uh hh uuh hh uuh hh uhhh 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 球坐标系 三个基矢量 球坐标系 三个基矢量 e1 er e2 e e3 e 的方向的方向均与坐标均与坐标 和和 有关有关 而 而与与r 无关无关 与 直角坐标系基矢的变换为 4 9 与 直角坐标系基矢的变换为 4 9 r e y z x r 321 uu ru sin 1 321 rhrhh e e z y x e e e e e er 0cossin sinsincoscoscos cossinsincossin 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 球坐标系球坐标系 4 10 坐标变换为 坐标变换为 4 11 r e y z x r 321 uu ru sin 1 321 rhrhh e e e e e e e e r 0sincos cossincossinsin sincoscoscossin z y x cossinrx sinsinry cosrz 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 常用的微分运算表达式为常用的微分运算表达式为 4 12 4 13 4 14 4 15 sin 11 rrr r eee A r A r Ar r r r sin 1 sin sin 1 1 2 2 A ee eA rr r A Ar rr Ar r A r A A rsin 1 sin 11 sin 1 2 2 22 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 rr r r r r 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 立体角元立体角元d 球面积元 球面积元dSr 与体积元与体积元dV分别为分别为 4 16 4 17 4 18 y z x r d d ddsind dddsinddd 22 32 rrllS r ddsin idddd 2 321 rrlllV 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 柱坐标系 三个基矢量 柱坐标系 三个基矢量 e1 er e2 e e3 ez er和和e 的方向的方向均与坐标均与坐标 有关有关 ez则为则为常矢 量 常矢 量 与直角坐标系基矢的变换为 与直角坐标系基矢的变换为 4 19 r e y z x r zuu ru 321 1 1 321 hrhh z e e d z z y x z e e e e e er 100 0cossin 0sincos 4 球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系 柱坐标系柱坐标系 4 20 坐标变换为坐标变换为 4 21 r e y z x r zuu ru 321 1 1 321 hrhh z e e d z zz y x e e e e e e r 100 0cossin 0sincos cosrx sinry zz 常用的微分运算表达式为常用的微分运算表达式为 4 22 4 23 4 24 4 25 体积元为体积元为 4 26 zr zrr eee 1 z A A r Ar rr z r 1 1 A z r zr r z A Ar rr r A z A z A A r e eeA