习题14S-L本征值问题.pdf

254 将下列方程化为 S L 型方程的标准形式 1 2 2 20 d ydy xxy dxdx 2 2 2 cot0 d ydy xy dxdx 3 2 2 10 d ydy xxabxy dxdx 4 2 2 10 d ydy xxy dxdx 1 方程两边同乘x得 2 2 2 20 d ydy xxx xy dxdx 写成 22 0 ddy xxxy dxdx 2 两边同乘sin x得 2 2 sincossin0 d ydy xxyx dxdx 写成 sinsin0 ddy xyx dxdx 3 两边同乘 1 1 1 a a b x x 得 1 21 112 0 111 a aa a ba ba b xabxxd ydyx y dxdx xxx 写成 1 1 0 11 aa a ba b dxdyx y dxdx xx 4 两边同乘 x e 得 2 2 10 xxx d ydy xex eey dxdx 写成 0 xx ddy xeey dxdx 255 设有本征值问题 0 0 0 ddy p xxq xy dxdx y ay b 其中 p x x q x 在axb 上均为连续实函数 且 0 0p xp 0 0 x 试证明本征函数的正 交性 设本征值 1 对应本征函数 1 y 本征值 2 对应本征函数 2 y 12 即 1 111 dyd ypqy dxdx a 2 222 dyd ypqy dxdx b a 2 y b 1 y 得 21 121212 dydydd y yypyp dxdxdxdx 两边积分得 21 121212 0 bb b a aa dydy y y dxpyp y dxdx 由于 12 所以 12 0 b a y y dx 即 12 y y正交 256 假设 S L 方程的本征值问题 0 0 0 0 xx l ddy p xxq xy dxdx aybycydy 中 0 0p xp 0 0 x 0q x a与b及c与d均为不同时为 0 的非负常数 证明本征值0 方程两边同乘y得 22 ddy yypqy dxdx 两边积分得 2 22 000 00 lll dy y dxp yyy l y lpdxqy dx dx 若0a 则 00 b yy a 2 0000 b yyy a 若0b 则 00 a yy b 2 0000 a yyy b 若0c 则 d y ly l c 2 0 d y l y lyl c 若0d 则 c y ly l d 2 0 c y l y lyl d 所以0 257 求解本征值问题 2 1 0 0 0 ddR rR r drdrr R aR b 其中0ba 令 t re 则有 dd r drdt 方程可写为0 ddR rrR drdr 即 2 2 0 d R R dt 由上题结论可知0 0 时 方程通解为lnRABtABr 由边界条件可得 0R 所以只有0 通解为 sincossinlncoslnRAtBtArBr 由边界条件得 sinlncosln0 sinlncosln0 AaBa AbBb 所以 sinlncosln sinlnln0 sinlncosln aa ba bb 则本征值 2 lnln n n ba 本征函数 lnln sin lnln n ra Rrn ba 1 2 n 258 证明下列奇异的本征值问题是自伴的 1 2 10 1 ddy xy dxdx y 有界 2 1 0 010 ddy xy x dxdx yy 有界 1 记 2 1 dd Lx dxdx 则 22 12 122121 11 dydydd y Lyy Lyyxyx dxdxdxdx 22 22 22 1122 2211 22 11 11 dxdx dyd ydyd y yxyyxy dxdxdxdxdxdx 2 22 2 1212 2121 22 1 1 dx d yd ydydy xyyyy dxdxdxdxdx 2 12 21 1 dydyd xyy dxdxdx 两边积分得 1 1 2 12 122121 1 1 1 x x dydy y Lyy Lydxxyy dxdx 由于 1y 有界 所以 2 12 21 1 10 x dydy xyy dxdx 11 1212 11 y L ydxL yy dx 即L为自伴算符 2 记 dd Lx dxdx 重复上小题过程有 1 1 1212 12212121 1 00 x xx dydydydy y Lyy Lydxx yyx yy dxdxdxdx 由于 0y有界 所以上式等于 0 即L为自伴算符 259 设有本征值问题 11122122 0 ddy p xxq xy dxdx y ba y aa y ay ba y aa y a 其中 p ap b 证明 当 1112 2122 1 aa aa 时 对应不同本征值的本征函数正交 设本征值 1 对应本征函数 1 y 本征值 2 对应本征函数 2 y 12 255 题已得 121212211221 b bb aa a y y dxpy ypy yp ay yy y 1112 1212 2122 1 aa p aya yaya ya aa 所以当 1112 2122 1 aa aa 时 1 y和 2 y正交 260 两条质料不同 长各为 1 l与 2 l的均匀弦连接在一起 而两端 0 x 及 12 xll 固 定 试决定弦的横振动本征频率 并验证本征函数的正交性 令 1 u 2 u分别表示两段弦的横向位移 由弦的连续性可得连接条件 11 12 x lx l uu 11 12 x lx l uu xx 该问题为 12 11 11 22 2 11 11 22 22 2 22 2112 22 12 0 12 12 0 0 0 0 0 xx ll x lx l x lx l uu axl tx uu alxll tx uu uu uu xx 令 11 i t uXx e 22 i t uXx e 代入方程及边 界条件和连接条件得 2 111 1 2 22112 2 1212 11211121 0 0 0 00 0 XxXxxl a XxXxlxll a XXll XlXlXlXl 0 是同一解 由方程及 1212 00 0XX ll 可得 11 1 212112 2 sin 0 sin XxAxxl a X x XxBllx lxll a 代入条件 11211121 XlXlXlXl 得 12 12 12 1122 sinsin0 coscos0 AlBl aa AlBl aaaa 上式中 由于 A B都不为 0 所以 1 1 sinl a 与 2 2 sinl a 同为零或同为非零 1 1 cosl a 与 2 2 cosl a 同为零或同为非零 1 1 1 cos0l a 2 2 cos0l a 1 1 sin0l a 2 2 sin0l a 由 由于 A B都不 为 0 所以 12 12 12 1122 sinsin 0 coscos ll aa ll aaaa 即 112221 1221 sincossincos0allall aaaa 两边同除 12 12 coscosll aa 得 1122 12 tantan0alal aa 本征频率 n 即为该方程的第n 个正根 由 第一式可取 1 1 1 sin n A l a 2 2 1 sin n B l a 即 1 11 1 1 12 2 2112 2 2 sin 0 sin sin sin n n n n n n n x a Xxxl l a Xx llx a Xxlxll l a 2 1 1 sin0l a 2 2 sin0l a 此时 1 1 cosl a 和 2 2 cosl a 为1 则存在互质整数 r s使 12 12 r as a ll 此时参数满足 12 21 l ar l as 该频率为基频 本征频率为 12 12 n nr ans a ll 1 2 n 代入 第二式得 12 11 nrsnAB aa 可取 1 1 nr Aa 2 1 sn Ba 即 111 1 221221112 22 1sin 0 1sinsin rn n n sn n nr Xxaxxl l Xx nsns Xxallxalx lxll ll 3 1 1 cos0l a 2 2 cos0l a 此时 1 1 sinl a 和 2 2 sinl a 为1 则存在互质的 21 21rs 使 12 21 21 21 l ar l as 本 征 频 率 12 12 2121 2121 22 n rs nana ll 0 1 2 n 代入 第一式得 11 n rn s AB 可取 1 r A 1 s B 即 11 1 212 2 1112 2 21 21 1 sin 0 2 21 21 1 sin 2 21 21 1cos 2 r n s nn n rn Xxxxl l sn XxXxllx l sn lxlxll l 设本征频率 n 对应本征函数 n X 本征频率 m 对应本征函数 m X nm 则 1 1 22 11111111111111 20 0 1 l lnm nmnmnmnmnm X XdxX XX XXlXlXlXl a 12 12 1 1 22 222222 2 2 ll llnm nmnmnm l l XXdxXXXX a 21212121nmnm XlXlXlXl 以上两式相加得 112 1 22 1122 22 0 12 11 lll nmnmnm l X XdxXXdx aa 1111212111112121 0 nmnmnmnm XlXlXlXlXlXlXlXl 记 1 2 1 112 2 2 1 0 1 xl a x lxll a 上式即为 12 0 0 ll nm X X dx 261 杆AC由两部分组成 1 ABl 2 BCl 他们分别都是均匀的 设A端固定 C端 自由 求杆的纵振动本征频率 令 1 u 2 u分别表示两段杆的纵向位移 在连接处取一小段 如图 2 2111 2 2 x u PlSP lSS t 其中 11 ll 代入 u PE x 并令 0 得 11 12 12 x lx l uu EE xx 另外显然有 11 12 x lx l uu 该问题为 11 11 22 2 11 11 22 22 2 22 21 22 2 1 0 12 1212 0 0 0 0 0 x xl xlxl xlxl uu axl tx uu alxl tx u u x uu uuEE xx 其中 12 lll 同上题 令 11 i t uXx e 22 i t uXx e 可得 2 111 1 2 221 2 12 1121111221 0 0 0 00 0 XxXxxl a XxXxlxl a XXl XlXlE XlE Xl 可得 11 1 21 2 sin 0 cos XxAxxl a X x XxBlx lxl a 由连接条件得 12 12 12 12 1122 sincos cossin AlBl aa EE AlBl aaaa 1 1 1 sin0l a 2 2 cos0l a 2 2 sin0l a 1 1 cos0l a 本征频率 n 是方程 12 12 1122 cottan EE ll aaaa 的第n个正根 111 11 221 22 sinsin 0 coscos nn n n nn n Xxxlxl aa Xx Xxlxllxl aa 2 1 1 sin0l a 2 2 cos0l a 12 21 2 21 l ar l as 2r与21s 互质 本征频率 2 1 12 21 2121 2 n sara nn ll 0 1 2 n 1 11 11 2 2 22 2 11 22 121 sin 0 121 21 cos 2 21 21 sin 2 r n n s n n anr Xxxxl El ans Xx Xxlx El nsa lxlxl El 3 2 2 sin0l a 1 1 cos0l a 12 21 21 2 l as l ar 2r与21s 互质 1 2 21 21 2121 2 n sara nn ll 0 1 2 n 11 1 2 2 11 2 21 21 1sin 0 2 21 1 cos 21 cos n s n r nn ns Xxxxl l nr XxXxlx l nr lx lxl l 262 三维空间的本征值问题 设本征值问题为 2 0 0 uux y zV u u n 其中 是V的 边界面 若对应本征值 n 的本征函数为 n u 试证明 0 mn V u u dV mn 即对应不 同本征值的本征函数正交 由 Gauss 公式可得 mn nmnmmnnmmn V uu uudSuuuuduuuudV nn S 2222 nmnmmnmnnmmn VV uuuuuuuudVuuuudV 所以 22 mn nmmnnmmnnm VV uu u u dVuuuudVuudS nn 若0 则 u u n 0 mnnmmn nm uuuuuu uudSdS nnnnnn 若0 则 u u n 0 mn nmnmnm uu uudSu uu udS nn 即对应不同本征值的本征函数正交 263 若上题中的方程改为 0p x y zux y z u 试证明 对应不同本征 值的本征函数以权重 x y z 正交 mn nmnmmnnmmn V uu p uudSu p uu p udu p uu p udV nn S nmnmmnmn V up uup uup uup udV nmmn V up uup udV mn nmmnnmmnnm VV uu u u dVup uup udVp uudS nn 同上题可得上式0 264 设本征值问题 2 0 0 的解 本征函数 为 k 对应本征值 k 1 2 k 试证明 当0 不是本征值时 Poisson 方程的第一类边值问题 2 0 uf u 的 解为 1 k k k k A u k A是f按 k 展开的系数 将u按 k 展开 即 1 kk k uu 代入方程得 11 kkkkk kk uA 比较系数得 k k k A u 即 1 k k k k A u 267 证明 如果将上题中 与u的边界条件改为齐次第二类或第三类边界条件时 结论仍 然成立 可看出 由于是齐次条件 所以 k 的叠加仍满足u的边界条件 上面的运算仍成立 266 在与 264 题相同的条件下 证明 2 0 uuf u k 的解为 1 k k k k A u 将 1 kk k uu 代入方程得 111 kkkkkkk kkk uuA 所以 k k k A u 即 1 k k k k A u 267 用 264 题方法求解矩形区域0 xa 0yb 内 Poisson 方程的定解问题 22 22 0 0 0 0 0 0 xx a yy b uu f x y xy uu uu 先解本征值问题 22 22 0 0 0 0 0 0 0 xx a yy b uu u xy uu uu 分离变量得 0 00 0 0 00 0 XX XX a YY YY b 解得 2 n a sin n X xx a 1 2 n 2 m b sin m Y yy b 1 2 m 即本征值 22 m n nm ab 本征函数为 sinsin m nnm nm x yXx Yyxy ab 1 2 n m 令 11 m nm n nm f x yAx y 则 00 4 sinsin ba m n nm Af x yxydxdy abab 22 11 sinsin m nm n m n kk m n AA nm u x yx yxy ab nm ab 268 用 264 题方法求解 231 题 1 2 0 22 2 0 0 0 0 xx a yby b u uu uu 2 22 0 22 0 0 0 0 xx a yby b ux y uu uu 本征值问题 2 0 22 0 0 0 0 0 xx a yby b uu uu uu 的解为 本征值 22 m n nm ab 本征函数 sinsin 2 m n nmb xy ab 2 2 20 88 sinsin1111 2 ba nm m n b nmb Axydxdy ababmn 21 21 2 32 2121 ij A ij 其余的 0 m n A 所以 21 21 21 21 1100 21 21 ijm n m nij mnji m nij AA u x yx yx y 4 22 00 22 2121 sinsin 322 2121 2121 ji jib xy ab ji ij ab 2 2 2 20 4 sinsin 2 ba m n b nmb Ax yxydxdy abab 2 22 22 111111 m nmna b mnn 22 1111 sinsin 2 m nm n m n mnmn m n AA nmb u x yx yxy ab nm ab 269 设有本征值问题 22 22 22 22 0 0 0 0 0 x a x b x ax b dd yddy p xq xxr xy dxdxd