江苏省苏州市第五中学高中数学 1.1 集合的含义及其表示教案 苏教版必修1.doc

第1章 集合1.1 集合的含义及其表示 一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议集合的概念确定性、互异性、无序性了解集合是不定义的原始概念，通过举例进行概念辨析；会用适当的方法表示集合；数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.集合的表示列举法、描述法、venn图了解元素与集合、集合与集合的关系属于、包含了解二、 预习指导 1. 预习目标(1)通过预习初步了解集合的概念，能用集合的语言描述具体问题；(2)会判断元素与集合的关系；知道几个常用数集的表示方法；(3)会用列举法、描述法及venn图表示集合.2. 预习提纲(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例，请举例，并与同学交流辨析.(2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵，请找出你认为的关键词.(3)用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题选择合理的表示方法，归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.(4)课本例1是解一元一次不等式，并将不等式的解用集合的形式表示出来，这是一种常见题型.同学们解不等式要正确，解集的表达也要正确.(5)上网查阅集合论的创始人康托(cantor)的资料.3. 典型例题例1 判断下列描述的对象能否构成集合： (1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比较聪明的女生； (3)某校高一(1)班学生家长；(4)某校高一(1)班经常体育锻炼的学生.分析：根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定，若对象确定，则他们可以构成集合；反之，则不能构成集合. 解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班的女生可以构成集合. (2)由于“某校高一(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)班比较聪明的女生不能构成集合. (3)由于“某校高一(1)班学生家长”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班学生家长可以构成集合.(4)由于“某校高一(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合.点评：判断某种对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个元素，都确定它是不是给定集合的元素.例2 用“”或“”符号填空： (1)3.14 n； (2) r； (3)2 n； (4) q； (5)sin45 r； (6)cos45 z； (7) q； (8)3 (2，3).分析：首先了解常用数集符号表示方法，而后判断“数”是否是集合中的元素，最后填写符号“”或“”.解：(1) 3.14 n； (2)r； (3)2n； (4) q；(5)sin45r； (6)cos45z； (7)q； (8)3 (2，3) .点评：判断元素与集合的关系，必须先确定集合是由什么元素组成，然后再判断所给对象是否是集合中的元素.例3 用适当的方法表示下列集合： (1)由15的正约数组成的集合； (2)能被3整除的整数； (3)方程的解； (4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点. 解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以15的正约数组成的集合用列举法表示为 1，3，5，15. (2)用描述法表示为. (3)用列举法表示为-1，3. (4)用描述法表示为.点评：(1)列举法表示集合时,要符合互异性，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的顺序无关.列举法一般适用于元素不多的有限集.(2)描述法表示集合时要符合确定性，元素x满足的条件p(x)要表达准确.描述法适用于元素比较多的有限集或无限集.例4 用列举法表示下列集合：(1)(2) .解：(1)根据绝对值的定义化简,当时, ；当时, ；当异号时, .所以.(2)根据元素满足的条件且得到的值.所取的正整数必须使得整除6,所以, 因为所以所以 .点评：用列举法表示集合时，要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来.例5 已知集合，若，求实数的值.分析：，则均有可能为1，则需分类讨论解决，且必须检验是否满足集合中元素的互异性.解：(1)若则；此时，与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (2)若，则或，当时，满足题意；当时，与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (3)若 则(舍去)或 (舍去)综上所述，此时集合.点评：本题易错原因：忽视元素的互异性.在解决集合问题时常用分类讨论思想，需要弄清“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”.例6 已知集合，集合，且，求实数和的值.分析：求未知数的值，常需要用解方程的方法，根据集合相等，可列出方程组.解：，()或()解方程组()，得检验知不合题意，舍去.解方程组()，得检验知不合题意，舍去.综上所述，.4. 自我检测(1)以下元素的全体不能够构成集合的是 .中国古代四大发明； 地球上的小河流； 方程的实数解； 周长为10cm的三角形.(2)方程组的解集是 .(3)给出下列关系：； ； ；. 其中正确的个数是 .(4)下列各组中的两个集合m和n, 表示同一集合的是 ., ； , ；, ； , .(5)已知实数，集合，则a与b的关系是 .(6)已知，则集合中元素x所应满足的条件为 .三、 课后巩固练习a组1判断下列特性描述的对象能否形成集合： (1)算术平方根等于自身的数；(2)高一(1)班1988年出生的学生；(3)与一个角的两边距离相等的点；(4)难解的题目.2分别写出下列集合中的元素:(1)中国的直辖市)；(2)大于0且小于5的整数的平方； (3)大于10且小于20的合数；(4)既是质数又是偶数的整数；(5)大于10且小于20的质数；(6)方程的解；(7)24和36的正公因数；(8)江苏省的省辖市3用“”或号填空：(1)若则 a；(2)若b=小于10的质数，则3 b；(3)若则 c；(4)若则 d；(5)，则数对 .4下面七个命题：(1)集合n中的最小元素是1：(2)若，则 (3) 的解集为2，2；(4)0.7；(5)方程的解集中含有3个元素；(6)；(7)满足的实数的全体形成的集合为r.其中正确命题是 ；不正确命题为 .5下列命题(1)；(2)；(3)；(4)中表述正确的是 .6下列命题(1)；(2)；(3)中表述正确的是 .7用列举法表示不等式组的整数解集为 .8在实数范围内，方程的解集是 ；方程的解集是 .9设集合m=正方形，t=能被7整除的数,p=比2大3的数，h=大于1且小于2的有理数，其中无限集为 .10下列每一题中各个集合的意义是否相同？并说明理由(1) (2).11已知.(1)试判断集合a、b是有限集还是无限集；(2)试判断是否是这两个集合的元素12已知集合，则以下结论中正确的是 (1)且；(2)但；(3)但；(4)且.b组13集合有长为2的边和40度的内角的等腰三角形的元素个数为 .14已知集合用列举法表示集合a为 .15下列四个集合中表示空集的是 (1)0；(2)(x,y)|y2=-x2,xr，yr；(3)xn|2x2+3x-2=0.16若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合为 .17数集中实数的取值范围是 .18. 用列举法表示下列集合：(x,y)|x+y=5, xn，yn；(x,y)|y=x2-1, |x|2，xz.19直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 . (1)(x,y)|x=0, y0或x0，y=0；(2)(x,y)|x=0且y=0； (3)(x,y)|xy=0；(4)(x,y)|x,y不同时为0.20若求的值.21. 设均为整数，把形如的一切数构成的集合记作m，设，试判断是否属于集合m，并说明理由.c组22已知集合，用列举法表示集合a为 .23集合用列举法表示集合b24设，求.25. 已知集合，为实数.(1)若a是空集，求的取值范围；(2)若a是单元素集，求的值；(3)若a中至多只有一个元素，求的取值范围26已知集合，求证：(1)；(2) (3)偶数不属于a.知识点题号注意点集合的概念集合是不定义的原始概念，通过举例进行辨析；会用适当的方法表示集合；分类讨论思想在集合中有重要应用.集合的表示注意列举法、描述法、venn图各自的特点.元素与集合、集合与集合的关系分清元素与集合、集合与集合的属于关系和包含关系综合题用分类讨论思想四、 学习心得五、 拓展视野罗素悖论十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了”可是，好景不长.1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国著名数学家伯特兰罗素（russel，18721970）提出的著名的罗素悖论：把所有集合分为两类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，令第一类所组成的集合为p，第二类所组成的集合为q，于是有：p=aaa，q=aaa问，qp 还是 qq？罗素悖论还有一些较为通俗的版本，即理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.” 公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机.但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响.有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题.它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在论无限一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的.人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学