（新课标）高考数学大一轮复习精品讲义 第一章 集合与常用逻辑用语（含解析）.DOC

一、重视教材习题的母题功能你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性高考这样变(2014新课标全国卷)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则()a b.c d. 教材这样练人教a版必修4p119 b组第1题第(4)小题已知d，e，f分别是abc的边bc，ca，ab的中点，且a，b，c，则cb；ab；ab；0中正确的等式的个数为()a1 b2c3 d4高考这样变(2014新课标全国卷)设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则|ab|()a.b6c12 d7教材这样练人教a版选修21p69例4.斜率为1的直线l经过抛物线y24x的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点，求线段ab的长教材这样练人教b版必修5p30练习a.写出下面数列an的前5项：1a12，anan1(n2,3,4，)；2a13，anan12(n2,3,4，)；3a11，anan1(n2,3,4，)高考这样变(2014新课标全国卷)数列an满足 an1， a82，则a1 _.高考这样变(2014新课标全国卷)如图，为测量山高mn，选择a和另一座山的山顶c为测量观测点从a点测得m点的仰角man60，c点的仰角cab45以及mac75；从c点测得mca60，已知山高bc100 m，则山高mn_m.教材这样练人教a版必修5p14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧远处一山顶d在西偏北15的方向上，行驶5 km后到达b处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度cd(精确到1 m) 高考这样变(2014新课标全国卷)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_教材这样练人教a版必修1p39b组第3题已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，)上是减函数，判断f(x)在(，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源不少试题所涉及的思想方法，都源于教材高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教a版、人教b版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸木有本，水有源，题有根在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节示例：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解(4)利用基本不等式求最值时应注意：非零的各数(或式)均为正；和或积为定值；等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.本题的条件不变，则的最小值为_.已知各项为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an，使得2a1，则的最小值为_已知a0，b0，ab1,则的最小值为_解析a0,b0,ab1,2224,即的最小值为4,当且仅当ab时等号成立.答案4本题的条件和结论互换，即：已知a0，b0，4，则ab的最小值为_.本题的条件变为：已知a0，b0，c0，且abc1，则的最小值为_.若本题条件变为：已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_.(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究备考不留死角，高考不留遗憾！角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()af(x1)0，f(x2)0 bf(x1)0cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 示例：函数单调性的应用高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一、角度二是对函数单调性直接应用的考查角度三：解函数不等式3f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,满足f(xy)f(x)f(y),f(3)1,当f(x)f(x8)2时,x的取值范围是()a(8，) b(8,9c8,9 d(0,8)角度一：求函数的值域或最值1函数f(x)的最大值为_.利用函数单调性转变为不等式，体现知识间的交汇角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2,都有3与集合t|t3表示的是同一集合()(3)a在集合a中，可用符号表示为aa()(4)零不属于自然数集()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x53的解集答案：(1)2,3,5,7(2)x|x2基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2在具体情境中，了解全集与空集的含义(二)小题查验1判断正误(1)若ab，则ab()(2)若ab，则ab且ab()(3)n*nz()(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材例题改编)集合a，b的所有子集为_答案：a，b，a，b，基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集3能使用韦恩(venn)图表达集合的关系及运算(二)小题查验1判断正误(1)若abac，则bc()(2)集合a与集合a在全集u中的补集没有公共元素()(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)ab是由属于a且属于b的所有元素组成的集合()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材习题改编)已知全集u1,2,3,4,5,6,7，a2,4,5，b1,3,5,7，则a(ub)_.答案：2,43已知集合ax|3x7，bx|2x0，则ab为()ax|0x2bx|12解析：选d因为ax|0x2，by|y1，abx|x0，abx|12，故选d.2.已知数集aa1，a2，an(1a1a2an，n2)具有性质p：对任意的i，j(1ijn)，aiaj与两数中至少有一个属于a，则称集合a为“权集”，则()a1,3,4为“权集”b1,2,3,6为“权集”c“权集”中元素可以有0d“权集”中一定有元素1解析：选b由于34与均不属于数集1,3,4，故a不正确，由于12,13,16,23，都属于数集1,2,3,6，故b正确，由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，c，d错误，选b.类题通法解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质演练冲关1若xa，则a，就称a是伙伴关系集合，集合m的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()a1b3c7 d31解析：选b具有伙伴关系的元素组是1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，.2对于任意两个正整数m，n，定义运算(用表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mnmn；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn.例如464610,373710,343412.在上述定义中，集合m(a，b)|ab12，a，bn*的元素有_个解析：m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合m的元素共有15个答案：15一、选择题1(2015广州测试)已知集合a，则集合a中的元素个数为()a2b3c4 d5解析：选cz，2x的取值有3，1,1,3，又xz，x值分别为5,3,1，1，故集合a中的元素个数为4，故选c.2(2014江西高考)设全集为r，集合ax|x290，bx|1x5，则a(rb)()a(3,0) b(3，1)c(3，1 d(3,3)解析：选c由题意知，ax|x290x|3x3，bx|1x5，rbx|x1或x5a(rb)x|3x3x|x1或x5x|3x13已知集合ax|y，bx|xm2，ma，则()aab bbacab dba解析：选b由题意知ax|y，ax|1x1，bx|xm2，max|0x1，ba，故选b.4设函数f(x)lg(1x2)，集合ax|yf(x)，by|yf(x)，则图中阴影部分表示的集合为()a1,0 b(1,0)c(，1)0,1) d(，1(0,1)解析：选d因为ax|yf(x)x|1x20x|1x1，则u1x2(0,1，所以by|yf(x)y|y0，ab(，1)，ab(1,0，故图中阴影部分表示的集合为(，1(0,1)，选d.5(2015西安一模)设集合a(x，y)|xy1，b(x，y)|xy3，则满足m(ab)的集合m的个数是()a0 b1c2 d3解析：选c由题中集合可知，集合a表示直线xy1上的点，集合b表示直线xy3上的点，联立可得ab(2，1)，m为ab的子集，可知m可能为(2，1)，所以满足m(ab)的集合m的个数是2，故选c.6在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nz，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0144；33；z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是()a1 b2c3 d4解析：选c因为2 01440254，又因为45n4|nz，所以2 0144，故正确；因为35(1)2，所以32，故不正确；因为所有的整数z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以正确；若a，b属于同一类，则有a5n1k，b5n2k，所以ab5(n1n2)0，反过来，如果ab0，也可以得到a，b属于同一“类”，故正确故有3个结论正确二、填空题7已知a0，m,2，bx|x34x0，若ab，则m_.解析：由题知b0，2,2，a0，m,2，若ab，则m2.答案：28(2014重庆高考)设全集unn|1n10，a1,2,3,5,8，b1,3,5,7,9，则(ua)b_.解析：由题意，得u1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故ua4,6,7,9,10，所以(ua)b7,9答案：7,99(2015昆明二模)若集合ax|x29x0，xn*，b，则ab中元素的个数为_解析：解不等式x29x0可得0x9，所以ax|0x9，xn*1,2,3,4,5,6,7,8，又n*，yn* ，所以y可以为1,2,4，所以b1,2,4，所以abb，ab中元素的个数为3.答案：310(2015南充调研)已知集合ax|42x16，ba，b，若ab，则实数ab的取值范围是_解析：集合ax|42x16x|222x24x|2x42,4，因为ab，所以a2，b4，所以ab242，即实数ab的取值范围是(，2答案：(，2三、解答题11已知集合a4,2a1，a2，ba5,1a,9，分别求适合下列条件的a的值(1)9(ab)；(2)9ab.解：(1)9(ab)，2a19或a29，a5或a3或a3.当a5时，a4,9,25，b0，4,9；当a3时，a51a2，不满足集合元素的互异性；当a3时，a4，7,9，b8,4,9，所以a5或a3.(2)由(1)可知，当a5时，ab4,9，不合题意，当a3时，ab9所以a3.12(2015福州一模)已知集合ax|1x3，集合bx|2mx1m(1)当m1时，求ab；(2)若ab，求实数m的取值范围；(3)若ab，求实数m的取值范围解：(1)当m1时，bx|2x2，则abx|2x3(2)由ab知解得m2，即实数m的取值范围为(，2(3)由ab，得若2m1m，即m时，b，符合题意；若2m1m，即m时，需或得0m或，即0m.综上知m0，即实数m的取值范围为0，)第二节命题及其关系、充分条件与必要条件基础盘查一四种命题及其关系(一)循纲忆知1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系(二)小题查验1判断正误(1)“x22x30，则方程x2xm0有实数根则其逆否命题为_答案：若方程x2xm0无实根，则m0基础盘查二充分条件与必要条件(一)循纲忆知理解必要条件、充分条件与充要条件的意义(二)小题查验1判断正误(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(3)q不是p的必要条件时，“p/ q”成立()答案：(1)(2)(3)2(人教a版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x23x4，q：x；(2)p：x30，q：(x3)(x4)0；(3)p：b24ac0(a0)，q：ax2bxc0(a0)有实根答案：(1)必要(2)充分(3)充要(基础送分型考点自主练透)必备知识1四种命题及相互关系2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系提醒当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动题组练透1命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()a“若x4，则x23x40”为真命题b“若x4，则x23x40”为真命题c“若x4，则x23x40”为假命题d“若x4，则x23x40”为假命题解析：选c根据逆否命题的定义可以排除a，d，因为x23x40，所以x4或1，故选c.2以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若am，则bm”与命题“若bm，则am”等价解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若am，则bm”与命题“若bm，则am”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：类题通法1由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题2命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断(重点保分型考点师生共研)必备知识1充分条件与必要条件的相关概念(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但q/ p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且p/ q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p/ q，且q/ p，则p是q的既不充分又不必要条件2从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合a的形式出现，q以集合b的形式出现，即ap(x)，bq(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若ab，则p是q的充分条件；(2)若ab，则p是q的必要条件；(3)若ab，则p是q的充要条件；(4)若ab，则p是q的充分不必要条件；(5)若ab，则p是q的必要不充分条件；(6)若ab且ab，则p是q的既不充分又不必要条件提醒充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”)典题例析1(2014浙江高考)设四边形abcd的两条对角线为ac，bd，则“四边形abcd为菱形”是“acbd”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a当四边形abcd为菱形时，必有对角线互相垂直，即acbd.当四边形abcd中acbd时，四边形abcd不一定是菱形，还需要ac与bd互相平分综上知，“四边形abcd为菱形”是“acbd”的充分不必要条件2给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a由q綈p且綈p/ q可得p綈q且綈q/ p，所以p是綈q的充分不必要条件类题通法充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断提醒区别a是b的充分不必要条件(ab且ba)与a的充分不必要条件是b(ba且ab)两者的不同演练冲关1若p：|x|x，q：x2x0.则p是q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选ap：x|x|xx|x0a，q：x|x2x0x|x0或x1b，ab，p是q的充分不必要条件2(2015石家庄第一次模拟)若命题p：k，kz，命题q：f(x)sin(x)(0)是偶函数，则p是q的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件解析：选a当k，kz时，f(x)cos x是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)sin(x)(0)是偶函数，则sin 1，即k，kz，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件，故选a.(题点多变型考点全面发掘)一题多变 典型母题已知px|x28x200，非空集合sx|1mx1m若xp是xs的必要条件，求m的取值范围解由x28x200得2x10，px|2x10，由xp是xs的必要条件，知sp.则0m3.所以当0m3时，xp是xs的必要条件，即所求m的取值范围是0,3.题点发散1本例条件不变，问是否存在实数m，使xp是xs的充要条件解：若xp是xs的充要条件，则ps，即不存在实数m，使xp是xs的充要条件题点发散2本例条件不变，若綈p是綈s的必要不充分条件，求实数m的取值范围解：由例题知px|2x10，綈p是綈s的必要不充分条件，ps且s / p.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)类题通法利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则pq且q/ p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p/ q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.一、选择题1设集合mx|0x3，nx|0x2，那么“am”是“an”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选bmx|0x3，nx|0bc2，则ab；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin 30sin 150/ 30150，所以错误；对于，l1l2a1b2a2b1，即2a4aa0且a1c2a2c1，所以正确；显然正确答案：10已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合ax|xa，：|x1|1，0x2，可看作集合bx|0x0，a1，函数f(x)axxa有零点，则綈p：_.解析：全称命题的否定，把全称量词写成存在量词，同时把结论否定故綈p：a0，a1，函数f(x)axxa没有零点答案：a0，a1，函数f(x)axxa没有零点(基础送分型考点自主练透)必备知识(1)全称命题：含有全称量词(所有、一切、任意、全部、每一个等)的命题，叫做全称命题；“对m中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：xm，p(x)(2