高考数学一轮复习 第三章 三角函数 3.4 两角和与差的三角函数课件.ppt

高考数学 江苏省专用 3 4两角和与差的三角函数 1 2017江苏 5 5分 若tan 则tan a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 解析本题考查两角和的正切公式 因为tan 所以tan tan 2 2015江苏 8 5分 0 912 已知tan 2 tan 则tan 的值为 答案3 解析解法一 tan tan 3 解法二 tan 解得tan 3 3 2014江苏 15 14分 0 85 已知 sin 1 求sin的值 2 求cos的值 解析 1 因为 sin 所以cos 故sin sincos cossin 2 由 1 知sin2 2sin cos 2 cos2 1 2sin2 1 2 所以cos coscos2 sinsin2 思路分析 1 先根据 的范围及sin 的值求出cos 然后用两角和的正弦公式求解即可 2 出现二倍角 联想到利用二倍角公式求解 考点一两角和与差的三角函数的基本运用1 2017课标全国 文 15 5分 已知 tan 2 则cos b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析因为 且tan 2 所以sin 2cos 又sin2 cos2 1 所以sin cos 则cos cos cos sin sin 易错警示在求三角函数值时 常用到sin2 cos2 1和tan 同时要注意角的范围 以确定三角函数值的正负 2 2014课标 14 5分 函数f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 答案1 解析f x sin x 2sin cos x sin x cos cos x sin 2sin cos x sin x cos sin cos x sin x sinx f x 的最大值为1 3 2015四川 12 5分 sin15 sin75 的值是 答案 解析sin15 sin75 sin15 cos15 sin 15 45 sin60 4 2014天津 15 13分 已知函数f x cosx sin cos2x x r 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在闭区间上的最大值和最小值 解析 1 由已知 有f x cosx cos2x sinx cosx cos2x sin2x 1 cos2x sin2x cos2x sin 所以f x 的最小正周期t 2 因为f x 在区间上是减函数 在区间上是增函数 f f f 所以函数f x 在闭区间上的最大值为 最小值为 评析本题主要考查两角和与差的正弦公式 二倍角的正弦与余弦公式 三角函数的最小正周期 单调性等基础知识 考查基本运算能力 5 2013安徽理 16 12分 已知函数f x 4cos x sin 0 的最小正周期为 1 求 的值 2 讨论f x 在区间上的单调性 解析 1 f x 4cos x sin 2sin x cos x 2cos2 x sin2 x cos2 x 2sin 因为f x 的最小正周期为 且 0 从而有 故 1 2 由 1 知 f x 2sin 若0 x 则 2x 当 2x 即0 x 时 f x 单调递增 当 2x 即 x 时 f x 单调递减 综上可知 f x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 考点二公式的综合应用1 2017山东文改编 7 5分 函数y sin2x cos2x的最小正周期为 答案 解析本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质 y sin2x cos2x 2sin 从而最小正周期t 2 2017课标全国 文改编 4 5分 已知sin cos 则sin2 答案 解析 sin cos 2 1 2sin cos 1 sin2 sin2 解后反思涉及sin cos sin cos 的问题 通常利用公式 sin cos 2 1 2sin cos 进行转换 3 2014课标 改编 8 5分 0 660 设 且tan 则2 答案 解析由tan 得 即sin cos cos sin cos 所以sin cos 又cos sin 所以sin sin 又因为 所以 0 因此 所以2 4 2016课标全国 理改编 9 5分 若cos 则sin2 答案 解析解法一 cos sin2 cos cos 2cos2 1 2 1 解法二 cos cos sin cos sin 1 sin2 sin2 5 2016天津理 15 13分 已知函数f x 4tanxsincos 1 求f x 的定义域与最小正周期 2 讨论f x 在区间上的单调性 解析 1 f x 的定义域为 f x 4tanxcosxcos 4sinxcos 4sinx 2sinxcosx 2sin2x sin2x 1 cos2x sin2x cos2x 2sin 所以 f x 的最小正周期t 2 令z 2x 易知函数y 2sinz的单调递增区间是 k z 由 2k 2x 2k 得 k x k k z 设a b 易知a b 所以 当x 时 f x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 6 2014重庆 17 13分 已知函数f x sin x 的图象关于直线x 对称 且图象上相邻两个最高点的距离为 1 求 和 的值 2 若f 求cos的值 解析 1 因为f x 的图象上相邻两个最高点的距离为 所以f x 的最小正周期t 从而 2 又因为f x 的图象关于直线x 对称 所以2 k k z 由 得k 0 所以 2 由 1 得f sin 所以sin 由 得0 所以cos 因此cos sin sin sincos cossin 1 2013课标全国 理 15 5分 设当x 时 函数f x sinx 2cosx取得最大值 则cos c组教师专用题组 答案 解析由辅助角公式得 f x sin x 其中sin cos 由x 时 f x 取得最大值得 sin 1 2k k z 即 2k k z cos cos sin 评析本题考查了辅助角公式的应用 准确掌握辅助角的含义是解题关键 2 2014福建 16 13分 已知函数f x cosx sinx cosx 1 若0 且sin 求f 的值 2 求函数f x 的最小正周期及单调递增区间 解析解法一 1 因为0 sin 所以cos 所以f 2 因为f x sinxcosx cos2x sin2x sin2x cos2x sin 所以t 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以f x 的单调递增区间为 k z 解法二 f x sinxcosx cos2x sin2x sin2x cos2x sin 1 因为0 sin 所以 从而f sin sin 2 t 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以f x 的单调递增区间为 k z 评析本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角公式 两角和与差的三角函数公式及三角函数的图象与性质等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与转化思想 3 2014四川 16 12分 已知函数f x sin 1 求f x 的单调递增区间 2 若 是第二象限角 f coscos2 求cos sin 的值 解析 1 因为函数y sinx的单调递增区间为 k z 所以由 2k 3x 2k k z 得 x k z 所以 函数f x 的单调递增区间为 k z 2 由已知 有sin cos cos2 sin2 所以sin cos cos sin cos2 sin2 即sin cos cos sin 2 sin cos 当sin cos 0时 由 是第二象限角 知 2k k z 此时 cos sin 当sin cos 0时 有 cos sin 2 由 是第二象限角 知cos sin 0 此时cos sin 综上所述 cos sin 或 评析本题主要考查正弦型函数的性质 二倍角与和差角公式 简单的三角恒等变换等基础知识 考查运算求解能力 考查分类与整合 化归与转化等数学思想 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏淮阴中学期中 5 1 tan22 1 tan23 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 30分钟分值 55分 答案2 解析由tan 22 23 1 得tan22 tan23 tan22 tan23 1 所以 1 tan22 1 tan23 1 tan22 tan23 tan22 tan23 1 1 2 2 2017南京 盐城第二次模拟考试 9 若sin 则cos 的值为 答案 3 2016江苏启东中学阶段检测 8 若 均为锐角 且cos cos 则cos 解析因为 所以 又sin 所以cos 则cos cos coscos sin sin 答案 解析由于 都是锐角 所以 0 又cos cos 所以sin sin 所以cos cos cos cos sin sin 4 2015江苏无锡期末 9 将函数y cosx sinx x r 的图象向左平移m m 0 个单位长度后 所得的图象关于y轴对称 则m的最小值是 答案 解析y cosx sinx 2sin 所以此函数的图象向左平移m m 0 个单位长度后得到y 2sin的图象 由题意得m k k z m 0 m k k z且k 0 因此m的最小值是 二 解答题 共35分 5 2017南京高三学情调研 15 如图 在平面直角坐标系xoy中 以x轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于点a b 若点a的横坐标是 点b的纵坐标是 1 求cos 的值 2 求 的值 解析 1 由任意角的三角函数的定义得cos 结合 为锐角 得sin 同理得sin 结合 为钝角 得cos 则cos cos cos sin sin 2 因为 所以 由 1 得sin sin cos cos sin 结合 可得 6 2016江苏苏北四市一模 15 在锐角三角形abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知sina tan a b 1 求tanb的值 2 若b 5 求c 解析 1 在锐角三角形abc中 由sina 得cosa 所以tana 由tan a b 得tanb 2 2 在锐角三角形abc中 由tanb 2 得sinb cosb 所以sinc sin a b sinacosb cosasinb 由正弦定理得c 7 2015江苏苏州期末 15 已知向量a sin 2 b cos 1 且a b共线 其中 1 求tan的值 2 若5cos 3cos 0 求 的值 解析 1 a b sin 2cos 0 tan 2 tan 3 2 由 1 知tan 2 又 sin cos 5cos 3cos 5 cos cos sin sin 3cos 即cos 2sin 3cos cos sin 即tan 1 又0 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 12 已知sin 3sin 则tan b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 40分钟分值 55分 答案2 4 解析由sin 3sin 可得sin 3sin 展开 合并可得2sincos 4cossin 所以tan 2tan 2tan 2 2 4 解后反思解决此类问题凑角是关键 本题的求解关键是将sin 3sin变形为sin 3sin 2 2017江苏仪征中学高三期初检测 11 已知3tan tan2 1 sin 3sin 2 则tan 答案 解析由3tan tan2 1 可得tan 由sin 3sin 2 得sin 3sin 展开得sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin 合并得2sin cos 4sin cos 所以tan 2tan 故tan 2 思路分析由3tan tan2 1 可得tan 根据sin 3sin 2 可得sin 3sin 展开可求得结果 3 2016江苏盐城三模 7 若角 的顶点为坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边在直线y x上 则tan 的值为 答案 解析解法一 若角 的顶点为坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边在直线y x上 则tan 又tan 所以tan 解法二 若角 的顶点为坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边在直线y x上 则tan 所以tan tan 4 2015南京 盐城二模 13 已知 均为锐角 且cos 则tan 的最大值是 答案 解析由已知可知 tan 0 tan 0 且cos cos sin sin 则sin cos tan sin2 tan 所以tan 当且仅当tan 时等号成立 tan 的最大值为 二 解答题 共35分 5 2017南通高三第一次调研 如图 在平面直角坐标系xoy中 以x轴正半轴为始边作锐角 其终边与单位圆交于点a 以oa为始边作锐角 其终边与单位圆交于点b ab 1 求cos 的值 2 若点a的横坐标为 求点b的坐标 解析 1 在 aob中 由余弦定理得 cos aob 所以cos 2 因为cos 所以sin 因为点a的横坐标为 由三角函数定义可得cos 因为 为锐角 所以sin 所以cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin 所以点b的坐标为 6 2016江苏五校联考 15 已知函数f x 2cos x 的图象与y轴交于点 0 且该函数的最小正周期为 1 当x 时 求函数f x 的值域 2 若f f 求sin 的值 解析 1 且 0 2 则f x 2cos 2x 由已知得f 0 2cos 则cos f x 2cos x 2x cos 当x 时 f x 的值域为 2 1 2 由f 得sin 由f 得cos cos sin sin sin cos cos sin 思路分析 1 利用最小正周期求出