伯努利方程求解公式.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第卷第期 年月 佳木斯工学院学报 泛 一 伯努利方程求解公式 刘纬华 佳木斯师范专科学校 提要本文使用全微分法和常数 变易法 从不同角度给出伯努利方程通解的会式 关键词伯努利方程 全微分 常数 变易法 自 己十生 二 二 八 二 八 二坊头 占加 十 廿南 脸偏 形州 日 妥一 工 个呢 少 分 土 任利 刀 泪万 牟 刀侄 升 甲 丁 工夕 叹 工产炊 狄 此方程一般是通过变量代换后借助于线性方程求得其解但在求解过程中 没能对泛 指的形成通用的求解公式 卜 鉴于该方程是一种常见的方程类型因此 若能给出求解 公式 通过公式直接求其解 还是可取的 能导 出该方程求解公式的方法并不是 唯一的 在此 把利用线性方程求解公式的方法 略去 本文将从全微分及常数变易法两个途径导 出该方程求解公式 全微分法 方程窦一 二 是一非全微方程 为了从全微分方程途径求其求 解公式 需求其积分因子 将方程化为全微分方程具体作法如下 为求得伯努利方程的积分因子 首先证明一个 引理 引理 已知 二 及箕连续 则方程 二 二一 一 为线性方程的充要条件是 目 户 沙 了 扩压不 八 工 了 了 一 二 目尸 只小 它有仅依赖于的积分因子 证必要性若了 刃 一 为线性方程 则 刃一幼少 尸 连续 此时 方程为 尸 一一 刁 少 十 口 一 孙了 创 二气宝一 一 了 少夕 工 理 不 则方程 少 一 少 收稿期 今一一 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 佳木斯工学院学报年 有仅依赖于的积分因子 且川 一 知 证充分性若方程 一 有仅依赖于的积分因子 并设为爪 则方程川厂 一 为全微分方程 即 产 一 产 一 为全微分方程 从而有 叭了 刁 刁厂二 又丁一 不下产仁少一二丁 一 一洲 咬 了 沙仁兀 边 二 恻 由此 得 汀 刁 一尸 产 将 二 视为参数 对解此方程 得 少 产 沪 二 十 因此 二 尸 二 一 其 中 口 买 少 丈二 一 二 子 之戈工 入 一 即方程 丈二 夕 为一阶线性微分方程 引理得证 应用引理 求伯努利方程 少 一侧 沙 二 的积分 因子 引进变量代换 令 二 一夕 二 将 伯努利方 程化 为线性非齐方程 少 一 八 二 二 之 一 二 卜 为线性方程 一 尹 二 一七 不 二 二 一 二 由引理 该方程有仅 依赖于 二 的积分因子 因 刁人了习六 万 万 一 干 火 一 沂 已 鑫 声 才屯汉 一 二 丸 尸汇 为其积分因子 从而 一 丁 了 二 红 一 尸 门一 口 二 几 一一 为全微分方程 将 二 一 一 代 入上 式 经整理得 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第期刘纬 华 伯努利方程求解公式 少一 一 二 尸 少 一 一 由于此方程为全微方程 则 心 一 二 为伯努利方程 尸 犷 一 一 的积分因子 下面 由全微分方程 经分项组合得出伯努利方程求解公式 因 少一 一 二 少 一 一 为全微分方程 将其展开并分项组合 得 臼 一尸 一 一少 一 一 护 夕 一 二 一 井 二 一 二 但 二 一 二 一 成 从而得伯努利方程的求解分式为 夕 一 一 一 一 二 一 其中 为任意常数 常数变易法 对伯努利方程 丫 尸 十丫共 先求出齐线性方程 夕 一 的解 为 二 其中为任意常数 再利用常数变易法 设 为伯努利方程的解 为待定函数 将其代入伯努 利方程 得 二 尸 二 介 二 一尸 二 即 将方程分离变量得 二 二一 二 二一 了 解此方程得 一 一一 一 二 一 一 六 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 佳木斯工学院学报年 则伯努利方程的解为 少一 一 丁 一 二 六 二 经整理得 夕 一 一 了 二 一 一 二 一 为伯努利方程 八 一 二 八 而 一 二 孟了 下冤 苗 少 分 土了 的求解公式 利用伯努利方程求解公式解题的例 例解伯努利方程 了 一 解将方程化为 二一 茸二 十万 其中 将其代入公式 一 厂又少 一 丁 以又 二 不 一 乙 少 一 一 一 周 二一 二 一 得 即犷一 为方程的解 例解伯努利方程 犷 一一 一犷 解将方程化为 一丁十 丁 其 中 代入求解公式 一 生 妞 一 竺 一 少 一 一 工 一 丁 一 二 二 经计算得 一 一 一 一 一 一 一 一 一一一 一十 一 为方程的解 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publi