“设而不求法”在中学数学解题中的巧用.doc

例谈“设而不求法”在中学数学解题中的巧用数学的学习离不开解题，数学学习应该以解题为中心，只有在解题中才能消化所学的知识，只有在解题中才能积极地展开数学思维活动，进而达到融会贯通的目的。本文就介绍中学数学学习中一种常见而又重要的解题方法设而不求法，在解数学题时，有时可以考虑设出某些中间变量，但不必将其求出，而是以它们为过渡，帮助我们解题，这就是设而不求地技巧。它的作用有两个：一是在解题中起桥梁作用，辅助解题；二是因为不直接求出而简化计算。这种方法在解解析几何题时使用较多，如两曲线相交时，对其交点设而不求，从而快速简捷的求出轨迹方程、弦中点坐标等。在数列、立体几何等其他问题中也有应用。为了寻求问题的解决途径，给问题的转化创造必要的条件，常常引进一个或几个起连接作用的辅助元素；把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件合结果联系起来，或者转繁难为简易，从而达到转化问题找出解决途径的目的。所以设立辅助元素而不求出也是一种转化的方法。那么在解决实际问题时，怎样从已知条件入手来假设辅助元素呢？这就需要你有扎实的数学基本功，开阔的数学思维能力，对一个问题通过分析条件和特征，从解决问题的需要角度来确定。在使用设而不求的技巧时，常常伴随曲线的定义、几何性质、点参数、曲线系、韦达定理、方程理论、消去法等概念和方法的运用。下面我们来看几个“设而不求法”在平面解析几何中的具体的应用：1、F1 、F2是椭圆（ab0）的两个焦点，F1P F2 = 900，则F1P F2则的面积是多少？思路：设点P坐标，列出方程组，再消去点P坐标。解：设点P坐标为（x 0,y0），则由焦半径公式知 |PF1|= a+ex0，|PF2|= a - ex0。 又F1P F2 = 900 ，故有即两式相加得 S+c2=a2，S=a2c2=b2。2、要使椭圆上存在两个不同的点，关于直线y=4x+m对称，求实数的取值范围。分析：可设A、B为椭圆上两点，列出方程组并结合直线y=4x+m消元。解：设椭圆上两个不同点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），它们关于直线y=4x+m对称，AB的中点为（x0，y0）。则 两式相减并整理，得 y0 =3x0。又y0=4x0+m，故可得AB的中点为（m，3m）。AB的中点在椭圆内部，3（-m）2 +4（-3m）212，解得。3、双曲线与椭圆有公共焦点F1（4，0）和F2（4，0），设e1、e2分别为椭圆和双曲线的离心率，且，求双曲线和椭圆的公共点的轨迹方程。分析：设出双曲线的实轴及椭圆的长轴，再利用双曲线和椭圆的定义。结合条件，消去所设实轴和长轴，从而求得轨迹方程。解：设双曲线和椭圆得公共点为M（x，y），双曲线实半轴为，椭圆得长半轴为。椭圆和双曲线有公共焦点（4，0），（4，0），故有，可得，由双曲线和椭圆的定义可得。去绝对值符号，并化简可得。整理得双曲线和椭圆得公共点的轨迹方程为x2+y21x+16=07x+16=0。yxOPBA4、如图，过P（0，2）作直线交椭圆于两点A、B，使得AOB的面积为，其中，为坐标原点。求该直线的方程。分析：设出、两点的坐标，再利用韦达定理将其消去。解：设过点（，）的直线为y=kx+2,代入椭圆方程并简化，得(2k+1)x2+8kx+6=0。设点、坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（y1y2），则 由SAOB=SPOBSPOA ，得。由，可得4k4-32k2+55=0，解得和。故所求的直线有四条，其方程为：，。5、过抛物线y2 = 2px上一个定点A作互相垂直的两直线与抛物线交于P、Q两点（如图）求证：PQ中点M的轨迹仍为抛物线；动直线PQ必过定点，求出定点坐标。思路分析：设出P、Q两点的坐标，列出关系式再利用消去法消去P、Q坐标。证明： 设动点P、Q坐标分别为（）、（），定点A的坐标为（）（p，a为常数）则，同理得。依题意，即，整理得 又点M坐标满足，即由、得，以代入并整理得再以代入，得，整理得。可见PQ中点M的轨迹仍为抛物线。动直线PQ的方程为： 即 化简得（t1+t2）yx2pt1t2=0. 以t1t2 = a（t1+t2）+a2+1代入并化简，得（t1+t2）（2pa）x2p（a2+1） = 0。可见，动直线PQ过定点（2p（a2+1），2pa）。特殊地，当t1 = t2时，PQ方程为，此时，t1t2= a2+1，直线PQ方程为x=2p（a2+1）。可见它仍过定点（2p（a2+1），2pa）。设而不求法在解析几何中的应用较多，一般是根据需要设出点坐标或参数，建立直线或曲线方程，然后在实际的整理化简运算中将点坐标或参数“消灭”在内部，这样既架起了沟通问题的桥梁，为解决问题打通了关节，又使得点坐标或参数不需求出便象雨后彩虹那样“功成身退”。当然，设而不求法的应用不仅限于解析几何，它在数列、立体几何等其他问题中也大有用武之地。下面我们通过几个具体的例子进行说明：1、已知一等差数列前四项之和为124，后四项之和为156，又各项和是210，则此等差数列的项数是多少？思路：我们不妨设此数列的首项为a1，末项为an，然后应用方程理论消去a1、an。解：设此数列的首项为a1，末项为an，项数是n。由性质m+n=p+q时，有am+an=aP+aq以及等差数列前n项和公式，可得 两式相除即得n=6。2、等差数列an的公差d=，且S100=125，则a1+a3+a5+a99等于多少？解：设奇数项和为S1，偶数项和为S2，则有两式相减，并以d=代入得S1=50，即a1+a3+a5+a99=50。3、两个球的体积之和为12，它们的大圆周长之和为6，则它们的面积之和是多少？思路：设出两球半径R和r，直接得出结论。解：设两球半径为R、r，依题意得： 不求出R、r，直接得出R2+r2=5，4（R2+r2）=20