平面向量与解三角形复习题.doc

平面向量与解三角形复习题一、选择题1（福建卷）已知向量与的夹角为，则等于（A）5（B）4（C）3（D）1图11、解析：向量与的夹角为， ， ，则=1(舍去)或=4，选B.2（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量A. B. C. D. 2解析：，故选A.3（湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则A（） B（） C（） D（）3解：设（x，y），则有解得x，y，选B4（湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则A. B. 4 C. D. 24解：由a2b与a2b互相垂直（a2b）（a2b）0a24b20即|a|24|b|2|a|2|b|，故选D5（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.5解析： 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos=，选B.6（湖南卷）已知向量若时，；时，则 A B. C. D. 6解析：向量若时， ；时，选C.7（辽宁卷）三角形ABC的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 7【解析】，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.8（辽宁卷）已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（） 8解：依题意，结合图形可得，故，选D9（全国卷I）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A B C D9解：中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选B.10（全国卷I）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则A BC D10解：向量、的和。向量、顺时针旋转后与、同向，且， ，选D.11（全国卷I）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A B C D11解：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.12（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为A B C D12解析：向量、满足且设与的夹角为，则cos=， =，选C.13（全国II）已知向量（4，2），向量（，3），且/,则 （A）9 (B)6 (C)5 (D)313解：/432x0，解得x6，选B14（山东卷）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=(A) 1 （B）2 （C）1 （D）14解：由正弦定理得sinB，又ab，所以AB，故B30，所以C90，故c2，选B15（山东卷）设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2,6)15解：设d（x，y），因为4a（4，12），4b2c（6，20），2(ac)（4，2），依题意，有4a（4b2c）2(ac)d0，解得x2，y6，选D16（山东卷）设向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4，6） (D) （4，6）16解：4a（4，12），3b2a（8，18），设向量c（x，y），依题意，得4a（3b2a）c0，所以48x0，1218y0，解得x4，y6，选D17（浙江卷）设向量满足,则 (A)1 (B)2 (C)4 (D)517解：由，故518(重庆卷)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是(A) (B) 或（C） （D）或18解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则，解得或，选B. 二、填空题（共14题）19（北京卷）若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 。19解：（a2，2），（2，2），依题意，向量 与共线，故有2（a2）40，得a420（天津卷）设向量与的夹角为，则20解析：设向量与的夹角为且 ，则。21.（浙江卷）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)c,ab,若a=1,则a+c的值是21解析：，所以三、解答题22.（湖北卷）设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。 22 解：()由题意得，f(x)a(b+c)=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.23.（湖北卷）设向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，xR，函数f(x)a(ab).（）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)成立的x的取值集。23解：（） 的最大值为，最小正周期是。（）由（）知 即成立的的取值集合是.BDCA图324、（湖南卷）如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1) 证明 ;(2) 若AC=DC,求的值.24解：(1)如图3， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即25（江西卷）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值25解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则（2），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 26.（江西卷）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值26解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理得则S1GMGAsina，同理可求得S2（2） y72（3cot2a），因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin21627.（全国卷I）的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。27解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为28.（全国II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值28解(1). 当=1时有最大值,此时，最大值为本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大29.（全国II）在,求（1）(2)若点29解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知30. （四川卷）已知是三角形三内角，向量，且（）求角；（）若，求30解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。（） 即, （）由题知，整理得 或而使，舍去 31（天津卷）如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 31（）解： 由余弦定理， 那么，（）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故. 32(上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？32解 连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.33（本小题满分12分）(2005年高考江西卷理18)已知向量.是否存在实数若存在，则求出