四边形家族成员—棱形、矩形与正方形专题讲座.doc

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来明镜讲堂第六讲 棱形、矩形与正方形【知识导航】1. 棱形（1） 平行四边形（rhombus）：一组邻边相等的平行四边形叫棱形（2） 性质： 菱形的四边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角； 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。（3） 判定 四边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形（4） 菱形的面积 S面积=底高 设菱形对角线分别为，则=2. 矩形（1） 矩形（rectangle）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2） 矩形的性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线互相平分且相等 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形（3） 矩形的判定 三个角都是直角的四边形是矩形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形（4） 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。典型考点讲解专题一：菱形的性质概念题例题1、 菱形的边、角、对角线、高、面积之间的关系（1） 边、两对角线与面积关系：知其二可得余三（2） 有一角为特殊角，如60、90、120时，边、两对角线与面积的关系：知其一可得余四变式训练课堂随练（1） 菱形的周长是20cm，一条对角线的长是6cm，则菱形的面积是_。（2） 菱形的一个内角是120，一条边长是10cm，则菱形的高是_cm。A、10 B、5 C、5 D、无法求出（3） 菱形的面积是50平方厘米，一个内角为30，则其边长是_。（4） 菱形的周长是40cm，一条对角线的长是10cm，则菱形相邻的两个内角分别是_和_。（5） 菱形的对角线的平方和与周长平方的比值是_。A、1：4 B、1：2 C、2：1 D、4：1专题二：菱形的判定与运用例题2、 如图，ABCD的对角线BD的垂直平分线交AB于E，交CD于F，试说明四边形DEBF是菱形。例题3、 如图，在ABC中，D为BC边上一动点（D不与B、C两点重合），DEAC交AB于E,DFAB交AC于F。试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形。变式训练课堂随练1. 如图所示，将平行四边形ABCD折叠，使点B与点D重合，折叠分别交AB，CD于E和F，连接DE，BF，求证：四边形BFDE是菱形 2. 如图，在RtABC中，ACB=90，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE， （1）四边形BCEF是平行四边形吗？说明你的理由。 （2）当A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说明你的理由 （3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？3. 在RtABC中,BAC=90,ADBC于D,BE平分ABC交AD于F,交AC于E,若EGBC于G,连结FG.求证四边形AFGE是菱形专题三：矩形的性质概念题矩形：长度、角度勾股的典型运用例题4、 证明矩形的对角线相等，由此可得直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半第1题图变式训练课堂随练1. 如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN和PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2 (填“”、“=”或“”) 2. 矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E、F是AC的三等份点，则BEF的面积是 3. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，求图中阴影部分的面积 4. 将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得BC与AD相交于点E，若AD=8cm，AB=4cm，则BED的面积为 。专题四：矩形的判定与运用例题5、 已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形 变式训练课堂随练1. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC,PFBC,E，F分别为垂足，求证:AP=EFABCDMNE第2题图2. （淄博）已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明例题6、 如图已知矩形ABCD中，AC与BD交于O,DE平分ADC交BC于E,BDE=15，（1） 试说明CO=CE；（2） 试求COE的度数专题五：平行四边形的动点问题例题7、 在四边形ABCD中, AD/BC , AD =24cm，点P从A开始,沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q同时从C点开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动, 当其中一点到达端点时，另一个动点随之停止运动。设运动的时间t为秒，t为何值时, 四边形PQCD、四边形PQBA为平行四边形？例题8、 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D开始向A以1cm/s的速度移动，若P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0t6）,那么：当t为什么值时，QAP是等腰直角三角形。 求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论。变式训练思维拓展1. 如图，点P是边为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是（ ） A、2 B、1 C、 D、2. 在在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF= 第2题图2第2题图1题3图3. 如图，以ABC的各边向同侧做正ABD、正BCF、正ACE求证：四边形AEFD是平行四边形。当ABC