几种积分方程的求解.pdf

第3 0 卷第5 期湖北广播电视大学学报 C 0 1 3 0 N o 5 2 0 1 0 年5 月 J o u r n a lo fH u B e iT VU n i v e r s i t y M a y 2 0 1 0 1 6 0 1 6 0 几种积分方程的求解 刘俊先 邢台学院数学系 河北邢台0 5 4 0 0 1 内容提要 依据高等数学知识体系问的关系及处理问题的特殊方法 通过实例分析了含有定积分 变限积 分 曲线积分及曲面积分的函数方程的求解策略 关键词 积分 方程 函数 解题策略 中图分类号 0 0 1 7 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8 7 4 2 7 2 0 1 0 0 5 0 1 6 m o l 高等数学的研究对象主要是函数 研究的主要方法是微 分法和积分法 求解含有不同积分形式的函数方程 往往是 综合性较强的题目 有助于学生深化理解知识体系间的关系 及处理问题的特殊方法 1 方程含有定积分 饲l 1 J 设 曲在 上连续 且求解方程 L 0 1 2 f x x 2 c O S X 口似脚 分析需明确 定积分是常数 闭区间上连续函数可积 对等式两边取定积分算出l g f J 协即可 解令虚 出 k 则埘 j r 2 c o 豇 七 两边在r 0 司上积 L二J 分 得f x d x 辱p c o s 础 t 西d x 即七一争辱翔s i I I 工硝mi 2 2 后J s i n x d x 了 i f 2 2 蓐对C O S g 专 2 喇 l 享一2 i n I 手 矿T 一2 3 方程含有曲线积分 倒3 l 设函数Q x y 在x O y 平面上具有一阶连续偏导 数 曲线积分 I 2 x y d x Q x y d y 与路径无关 并且对任意t 恒有如1 o 2 x y d x Q x y d y 瞄 昌2 聊出 Q 算 y a y 求 Q x y 分析此题有关曲线积分与路径无关的充要条件 沿折 线路径积分及对变限积分求导 解由曲线积分与路径无关的条件知挈 喜 2 碍 2 于是姒力 c y 其中c y 为待定函数 臌笛2 x y a z Q x y a y 肛2 C y l a y t 2 h 1 C C y d y 瞄 昌2 哆出 Q 工 y a y t o 1 2 C y l d y I g C y a y 由题设知t 2 c y a y t g C y d y 两边对t 求导得 2 t l c t c f 2 t 一1 从而c y 2 y 一1 所以o y J 2 2 y 一1 4 方程含有曲面积分 故 车一2 汽f f 2 8 从而 善2 c o s 工 拿某 倒4 2 1设 曲在 0 删内有连续的一阶导数 且 方碍皂亨霎里堡分 一 解方程舸 撇一x y f x d z d x P 2 z Z d v d y o 倒2 设可导函数 工 0 且曲线y J 与直线 F i 墨怂 竺受j 曲兰氅釜耋瑟菇所得立 爹由蛊襄鬈釜蠢翥嚣分性质 恸微分方程黼 体体罄苎该挚望登学孽塑鬯型堡 塞矍堕照 一 o 巅曲a y a z x y 1 二 荔 一e 2 z z 捌4 t y 士 f 可 工 一x x 一p 分析由旋转体体积 平面图形面积得含交限积分方程 i 求导后化为微分方程求解 其中V 为S 围成的有界闭区域 当有向曲面S 的法向量 七日篓依题 知彬2 c 触训 c 触 消新后两边对 裴它竺蹬蓄 蒜喜嚣嬲j 是竺曼黧 求导銎 2髻赡wo n v尸知 曲茹似 库 0二 二 l雠兹荔藉然t1 令 代入得f 2 1 o 1 又已知 毒 0 故 神 i 1 P 功2 i 善 o 一 一 一 1 1 上式两边对f 求导得 式 有 曲 J 哇坷止产 J c 1 了t a J ip 旷饿 c 善舻 c 2 f O f f 2 f 矿 f 令 工 f 工 y 得微分 J L J 方程2 y y 2 y 叫 整理得害 去善 l 由通解公式得通解 由于 l i r af x 姆半 l 必碉州t h n c h o 即 1 o 上 兰v 用x 1 y l 代 i 入 j 得 昙 故曲线方程为 从而c 2 1 于是 z 等 e 一1 y 3 7 3 两献 2 1 刎 西安兰冁 褫黧 国家行政学院出版社 2 0 0 9 S e v e r a lK i n do fI n t e g r a lE q u a t i o nS o l u t i o n A b s t r a c t R e s t so n 也eh i g h e rm a t h e m a t i c sk n o w M g es y s t e m 也er e l a t i o n sa n dm ep r o c e s s i n gq u e s t i o n s p e c i a lm e t h o d a n a l y z e dt h r o u t h ee x a m p l ei n c l u d e dt h ed 占f i n i t ei n t e g r a l t h ev a r i a t i o nr a n g ei n t e g r a l t h e c u r v i l i n e a ri n t e g r a la n dt i l es u r I a c ei n t e g r a lt u n c t l o n a le q u a U o ns o l u t i o ns t r a t e g y IK e yw o r d sIm t e g r a l e q u a u o n I t m c t t o n p r o b l e m s o l v i n gs t r a t e g t e s 收稿日期 2 0 1 0 0 2 0 3 作者系邢台学院数学系副教授 万方数据 几种积分方程的求解几种积分方程的求解 作者 刘俊先 作者单位 邢台学院 数学系 河北 邢台 054001 刊名 湖北广播电视大学学报 英文刊名 JOURNAL OF HUBEI RADIO 第二节介绍了该部分所使用的主要工具 即 解线性偏微分方程的特征曲线法 第三节证明了这些主要结果 第二部分 研究了一些非线性波方程的 精确孤立波解 将机械化数学方法应用于偏微分方程领域 建立了构造一类非线性波方程的精确孤立波解的许多算法 如 双曲正切函数展开法 双曲函数方 法等 并在计算机数学系统上加以实现 因而推导出了一批非线性波方程的精确孤立波解 该部分的主要结论如下 利用双曲函数展开法 在行波条件下 对 Sawada Kotera方程 Kaup Kupershmidt方程 五阶KdV方程 Fisher Kolmogorov方程 等几类非线性波动方程求解 将其孤立波表示为双曲函数的多项式 从 而将非线性波方程的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题 并借助于计算机代数系统求解非线性代数方程组 最终获得了这些非线性波动方程的 若干精确孤立波解 该部分由三节组成 第一节介绍了所讨论的几类非线性波动方程 第二节介绍了该部分所使用的基本工具 即 双曲函数方法 第三节给 出了这些非线性波动方程的若干精确孤立波解 3 期刊论文 肖锋 XIAO Feng VSIA 一种求解流体力学方程的多积分矩公式 计算物理2003 20 6 使用变量间的积分矩公式给出一种构造流体力学方程数值格式的方法 即体积面积分平均方法 VSIA 该方法使用两种积分矩VIA 体积积分平均 和 SIA 面积积分平均 给出一种完全的守恒型体积积分公式 基于一类守恒型半Lagrange输运算法CIP CSL 能够清晰地构造出VSIA 对一般演化方程进行讨论 并应用于Burgers湍流 无粘可压流和不可压粘性流 4 学位论文 宋春合 振荡积分和高阶Schrodinger方程的两个问题 2006 振荡积分理论是现代调和分析的核心部分之一 振荡积分的研究受到了特殊函数Fourier变换性的渐近性 Fourier积分算子和拟微算子等研究的巨大 振动 近二十多年来 振荡积分在线性及非线性偏微分方程的研究中起着越来越重要的作用 偏微分方程研究中出现的诸多论起成为振荡积分研究的新 的动力 自上个世纪二十年代以来 Schrodinger算子理论一直是现代数学物理研究中的中心课题之一 而Schrodinger方程的时空估计 Kato局部光滑性仨 计及极大算子估计已成为近二十多年来Schrodinger算子理论中的一些重要论题 这些论题既具有很强的理论意义 又有很丰富的应用背景 本文的主要目的就是研究一类含参变量的振荡积分的估计和一类高阶Schrodinger方程解的局部光滑估计 全文共分两部分 第一部分讨论相位函数 含参变量并且可退化的振荡积分的估计 第二部分讨论一类高阶Schrodinger方程解的局部光滑估计 在第一部分中 首先给出了问题研究的背景及其最 近的研究成果 然后证明了相位函数的估计 最后利用所得到的结论证明了振荡积分的估计 第二部分中 首先给出了问题研究的背景及其最近的研究 成果 然后利用球调和分解和Hankel变换技术 得出了方程解的局部光滑估计 5 期刊论文 刘周 朱自强 王晓璐 吴宗成 Liu Zhou Zhu Ziqiang Wang Xiaolu Wu Zongcheng 基于N S方程的尾迹 面法翼型气动阻力计算 北京航空航天大学学报2006 32 3 研究了计算翼型阻力改进的方法 尾迹面法及尾迹面积分的位置和相应的积分技术 在亚跨声速时分别采用了表面积分和尾迹积分求得给定翼型 RAE2822的阻力 结果显示 2种方法具有相同的结果 表明尾迹面积分方法是有效的 与实验值吻合较好 尾迹面法中 尾迹面位置应处于离后缘相对弦长距 离0 6 1 0之间 尾迹面积分方法中积分结果不依赖于物体的详细几何外形 可以预计对曲率变化大的三维复杂外形 该方法有更大的优势 6 期刊论文 王琛 刘浩吾 线性积分模型和微分模型的普遍流变方程 土木工程学报2003 36 10 给出了适合线性粘弹塑性流变模型的积分形式流变方程 并给出了普遍流变积分模型的流变方程 当该积分形式流变方程的蠕变核为负指数函数形式 时 给出了相应的微分形式 K C M B 的流变方程 7 学位论文 尧小华 高阶Schrodinger方程的L估计 2004 自上世纪二十年代以来 Schrodinger方程就一直是数学物理界所关注和研究的核心论题之一 其理论及应用背景十分丰富 高阶Schrodinger方程是 Schrodinger方程的自然延伸和发展 对其研究不仅会对数学本身提出更多的挑战 同时也能进一步加深对Schrodinger方程的认识 该文主要研究了高阶 Schrodinger方程解的Lp估计 包括自由情形时方程解算子的Lp Lq估计和带位势情形时解的Lp估计 其中在讨论自由高阶Schrodinger方程时 该文还进一 步把主算子分为齐次和非齐次两种情形来分别进行处理 特别地 针对齐次情形 该文得到了更为完善的结果 此外 作为该文的一个相关论题 我们也得到 了一类广义Kato位势的一些性质和刻画 并给出了相关的应用 在具体的研究中 该文主要采用的是调和分析的方法和技术 同时还结合了泛函分析的一些 重要工具和手段 这其中包括算子插值 曲面上Fourier变换 单位分解技术 Hardy Littewood Sobolev分数次积分 积分半群 Straub分数幂等 特别 地 在研究自由高阶Schrodinger方程时 该文还采用了一些最近才出现的振荡积分有关的技术和结果 这些技术和结果大多都是首次出现在高阶 Schrodinger方程的研究中 与已有的工作相比较 该文的主要特点是处理带有高斯曲率消失特征的高阶Schrodinger方程 其所得结果不仅进一步发展和完 善了高阶Schrodinger方程的Lp理论 而且在这一问题的研究中还首次突破了以往关于高斯曲率处处不消失这一基本假设的限制 8 会议论文 刘家宏 王光谦 基于积分形式槽蓄方程的Muskingum方法研究 2005 马斯京根法由于其简便性 成为在天然渠道和河流的洪水演进计算中最常用的方法之一 但它并不是很完善的方法 马斯京根法的一个缺陷是它假定河 道槽蓄量和 示储流量 之间是线性关系 本论文将介绍一种积分形式的槽蓄方程 这个新的槽蓄方程即使在河道槽蓄量和 示储流量 之间是非线性关 系的条件下也能给出正确的河段蓄量 马斯京根法的方程式经过改进来适应新的槽蓄方程 在新的槽蓄方程和改进的马斯京根方程的基础上 一种新型的洪 水演进方法建立起来了 新建立的演进方法从一个侧面解释了马斯京根参数x的含义 同时 它还揭示了x和马斯京根法计算中的 负反应 现象之间的关系 即 x值越大 负反应 现象越明显 基于对 负反应 现象的认识 建立起另一种能控制 负反应 的河道演进方法 从质量守恒的观点看 这两种新的 方法都满足质量守恒原理 新的流量演进方法被应用在湖南省沅江的沅陵 王家河河段 演算结果显示 新的流量演进方法在加上 负反应 控制机制后 比 常系数马斯京根方法更精确 9 学位论文 李会序 Stein流形上不含边界积分的Koppelman Leray Norguet公式及 e 方程解的一致估计 2007 众所周知 Stein流形是 个极其重要的流形 在Stein流形上有很多非常数的全纯函数 Cn就是 个Stein流形 所以在Stein流形上研究多元复分析是 很自然的 积分表示方法是多元复分析的主要方法之一 它的主要优点是象单复变数的Cauchy积分公式一样便于估计 在本文中 作者利用Hermitian度量 和陈联络 在Stein流形上构造了在不变度量下关于 p q 微分形式新的积分核 得到了Stein流形边界不必光滑的强拟凸域上新的Koppe