膜结构找形分析中的二次节点平衡法策略.pdf

第1 l期 2 o 0 8 年l1 月 广东土 木与建 筑 GUANGD ONG ARC HI T E C TU RE CI VI L EN GI NE ER I N G N o 1 1 N OV 2 0 0 8 膜结构找形分析中的二次节点平衡法策略 张琴 1 深圳 中广核工程设计有限公司 深圳 5 1 8 0 0 0 曹国辉 2 2 深圳奥意建筑工程设计有限公司 深圳 5 1 8 0 3 1 摘 要 依据大变形几何非线性理论 在 节点平衡法的基础上提 出了二次节点平衡 法找形 策略 并以锥形和马鞍 形曲面索膜结构为例对比两种找 形方 法的计算结果 发现二 次节点平衡法的计算工作 量增加 不大 且节点不平 衡 力分布更均匀 其计 算结果更精确 能克服 节点平衡 法 自身的缺点 能为裁剪和荷载分析提供更精确的数据 关键词 二 次节点平衡 法 找形分析 膜结构 程序设计 1 引言 索膜结构是近几十年发展较迅速 的大跨空间结 构 其造型适应性强 力学性能好 自重轻 充分体现 了结构的轻巧 高强 透光等特点 与传统的刚性 结构不同 索膜结构属于柔性结构 必须通过施加预 应力才能形成刚度 使结构成形 这一过程称为找形 过程 即给定结构的控制点位置和初始预应力大小 分 布等 并 求解 结构 的几何形 状 膜结构设计分析主要包括 3个方面 即找形分 析 载荷分析和裁剪分析 其中找形分析和裁剪分 析的精确性对成形后的膜结构外观起到决定性作 用 而 找形 分 析 是 裁 剪 和 载 荷 分 析 的 基 础 找形结果 的精确 性 直接 决 定 了膜结 构 的 成 败 对 于 曲 率 变 化 急 剧 的 部 位 和 边 界 部 位 则 需 要 更 为 精确 的 网格来 刻 图1 膜面褶皱实例 画膜的形态 否则很易产生褶皱 如图 1 找形方法主要有力密度法 动力松弛法和非线 性有限元法等 其中非线性有限元法是在固体力学 大变形问题 的基础上展开研究的 可同时考虑各单 元节点问的受力平衡和变形协调 以及材料正交异 性的影响 随着结构单元划分的不断加密和迭代计 算次数的增加 该法 的计算结果总是不断向准确解 收敛 比前 2种方法更为精确 本文在节点平衡法 的基础上 提出了二次节点 平衡法策略 即根据节点不平衡力的大小及分布 对 2 0 相关 节点周 围网格进行 进一步 细化 再 次进行 节点 平衡法找形 使找形结果更加精确 为后续的裁剪及 载荷分析提供更有效的数据 2 节 点平衡 法 由于索膜结构在预应力的作用下 结构的变形 具有小应变 大位移的特点 属于几何非线性 问题 采用 U p d a t e d L a g r a n g e 描述对索膜单元进行分析 由t 时刻的位形可得 f t 时刻的平衡方程为 a t t K T S t xt t R 1 式中 t 为该法得到 的增量形式的单元切线刚度 矩阵 t 分别为线性刚度矩阵和 几何刚度矩 阵 尺 是时刻 t 的应力场 s的等效节 点力向量 t 为单元节点位移增量 在 找形 分析 过程 中 求解 的是在 指定预应 力条 件下的静力平衡形态 若考虑材料属性则会导致找形 后的最终预应力不是 初始 指定预应力 因此找形分析 时将材料矩 阵置为零 另 外在 找形过 程 中无外荷 载 的作用 则方程 1 改写为 Ks 一 t R s 2 节点平衡法是先给定结构的初始几何态 并设 定初始预张力的大小和分布 在初始几何态的基础上 依据方程 2 进行计算 最终得到结构的平衡形态 但 计算结果是否收敛 与给定的初始几何态关系很大 当所选择的初始几何态较为接近平衡态时 结构迭代 计算的收敛性才能得到保证 该法中预先给出的结 构初始几何态可以根据建筑方案的控制点坐标进行 曲面拟合得到 3 1 2 0 0 8 年1 1 月 第ll期 张琴等 膜结 构找 形分析中 的二 次节 点平衡 法策略 N O V 2 0 0 8 N o 1 1 同时克服 了为得到更精确解而对 网格盲 目加密 导 3 二次节点平衡法找形策略 致计算工作量成倍增长而不能有效降低节 不平衡 力 的缺 点 节点平衡法能够找出膜 曲面的平衡面 但对于 膜曲面中某些 曲率变化急剧的部位和边界部位 节 点不平衡力远大于所有节点的平均不平衡力 使得 迭代难以收敛 计算结果的精度无法对这些部位进 行有效的刻画 导致提供给裁剪分析和载荷分析的 数据 不准确 并最 终可 能引起 成形 后 的膜面 褶皱 二次节点平衡法找形策略是在节点平衡法找形 结果的基础上 根据计算结果的不平衡力的分布 以 及膜面形态和设计人员 的要求 对与不平衡力二范 数大于平均不平衡力二范数 5倍的节点相连的网格 进行加密 在此基础上进一步进行节点平衡法找形 从而可以得到一个更为精确 的形态 节点不平衡力 的分布也更为均匀 克服 了一次节点平衡法的缺点 整个过程的程序分析流程如图 2 该法充分利用了 随着网格加密 有限元近似解收敛于真实解的特点 图 2二次节点 平衡法程序流程图 4 找形算例分析 4 1 锥 形 索膜结 构 找形 初态 如 图 3 a 模 型 平 面投影 为 5 0 re x 5 0 m 的正方形 中问顶点高度为 2 5 m 共有 4根脊索和 4 根边索 见图中粗线 4个角点和顶点为不动铰支约 束点 膜初始预应力为 1 O MP a 索预应力为 5 0 k N 节点平衡法找形结果如图 3 b 顶点处网格过稀 有限 元网格不能有效地模拟膜曲面 计算结果难以收敛 主要由于个别节点引起 B C及平均节点不平衡力 见表 l 对称 节点 相 同 针对此情况 将找形初态 中间部分的网格加密 1 倍后找形 但结果不理想 且增加 了计算量 说明尖 顶现象是由节点平衡法 自身缺点而造成 并非初态网 格过稀而引起 根据图 3 b 节点不平衡力在 B C两点 处 最为 突 出 图 3 c 是在 是在 图 3 b的基 础 上将 B C 处的网格加密 计算的终态如图 3 d 尖顶处有足够的 网格刻画膜曲面 各种方法计算的不平衡力见表 1 找形初态网格加密后的计算结果稍有改善 但计算 量成倍增加 显然二次节点平衡法使 B C两点的不 平衡力趋于均匀 其结果也更理想 网格总数仅增加 1 6 其初态较接近平衡态 所 以更易收敛 一一 a 节点平衡法初态 b 节点平衡法终 态 一一 C 二次平衡法初态 d 二次平衡法终态 图 3 锥形索膜结构 的找形形态 表 1 节点不平衡力二范数对 f N 管七吐 算例 1 算例2 平均B点C点 平均B点D点 节点平衡法 0 2 l 2 2 8 5 2 O 3 1 5 3 6 4 5 5 6 3 0 节点平衡法 网格加密 0 1 5 2 1 2 7 1 9 2 二次平衡 O 0 2 1 3 6 1 0 6 O 1 3 4 7 9 l 3 8 21 2 0 0 8 年1 1 月 第ll期 广东 土 木与建 筑 N O V 2 0 o 8 N o 1 1 以图 3 b中A点的平面投影点为坐标原点 将其 与二次节点平衡找形图中A B段和 A C段 的节点纵 坐标进行对 比 图 3 b中 AB A C的中间点坐标按直 线插值计算得到 其对 比结果见表 2 可见膜面的影 响比脊索大 误差最大达到 2 8 e m 对比表明其余网 格节点坐标也有微小变化 4 2 马鞍形 膜面 结构 找形初 态如 图 4 a 模 型平面投影 为 1 0 0 mx l0 0 m 的正方形 对角顶点一边提升高度为 5 0 m 另一边 降低高度为 5 0 m 共有 4根边索 见图中粗线 4个 角点为不动铰支约束点 膜初始预应力为 0 5 M P a 索 预应力 为 2 0 0 k N 节 点平衡 法 找形结 果如 图 4 b 其中 B点的不平衡力最为明显 其次为边索的中点 D点 对称节点 相同 将图 4 b中 B点处部分 的网 格加密 由二次节点平衡法得到的最终形态 如图 4 c d 求解结果得到明显改善 由表 1 可知 虽然在二 次节点平衡法中 D点处的网格未加密 但由于 B点的 计算结果得到很好的改善 使得 D点的不平衡内力也 明显减小 可见 由节点平衡 法得出 的不平衡 内力较大 的点会对周围的点的不平衡力产生较大的影响 进 一 步影 响整个 膜 面 2 2 态 C 二次平衡法初态 d 二次平衡法终态 图 4 马鞍形膜面结构的找形形态 以图4 a中模型的中心点为坐标原点 将图 4 b d 中A B段和 A C段的节点纵坐标进行对 比 其中图 4 b 中AB A C的中间点坐标按直线插值计算 其结果见 表 2 可见膜面的影响比边索大 误差最大达 1 6 A cm 对比表明其余网格节点坐标也有微小变化 说明约束 点 处 网格 过稀 使整 个膜 曲面形 态产 生 了较大 变 化 5结论 由于找形的初始形态一般只能由几个关键点控 制 初始形态与指定预应力下的膜等应力面相差甚 远 使得节点平衡法很难收敛 尤其是在曲率变化急 剧 的部 位 和边界部 位 不平衡 力远远 超 出所有节点 平均不平衡力 进一步影响周围节点 这些正是节点 平衡法无法逾越的问题 二次节点平衡法找形通过 跟踪节点平衡法计算所得的节点不平衡力大小及分 布 对与不平衡力较大节点相连的网格进行进一步 细化 再次 进行 节点平衡 法找形 由于此时 找形初 态 已经较接近平衡态 使找形分析的结果更为精确可 靠 直接解决了一次节点平衡法的缺点 通过对比两 种找形方法的计算结果 可以发现二次节点平衡法 在计算工作量增加不大的基础上 使节点不平衡力 分布更为均匀 计算结果更精确 有效的避免了由于 找形分析不精确引起的膜褶皱问题 由于实际膜形 态的复杂多变 在设计工作中 甚至可以采用多次节 点平 衡法 以得 到理想 的膜结 构形态 参考文献 1 蓝 天 膜 结 构 成 就 问 题 与 展 望 C 第 九 届 空 间 结 构学术会议论文集 2 0 0 0 2 1殷有泉 固体力学非 线性有限元 引论 M 北 京大学 出 版社 清华大学出版社 1 9 8 7 3 郭璐 蓝天 张拉结 构初 试几何曲面的确定 A 第六届 空问学术会议论文集 C 广州 地震 出版社 1 9 9 2 表 2 AB AC段竖 向坐标计算结果对比 m 算例方法及误差 B A C A 算 节点平衡法1 6 5 6 1 8 2 5 1 9 9 4 2 1 6 2 2 3 3 1 2 5 0 o 1 6 3 9 1 8 1 1 1 9 8 3 2 1 5 6 2 3 2 8 2 5 0 0 例 二次平衡法1 6 5 2 1 8 0 7 1 9 7 0 2 1 3 9 2 3 1 4 2 5 0 0 1 6 3 1 1 7 9 1 1 9 5 6 2 1 2 8 2 3 0 9 2 5 0 0 1 误差 0 0 0 4 0 1 8 0 0 2 4 0 0 2 1 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 o 8 0 0 2 0 0 0 2 7 0 0 2 8 0 0 1 7 0 0 0 0 算 节点平衡法 2 3 2 5 2 8 6 0 3 3 9 5 3 9 3 0 4 4 6 5 5 0 0 0 2 2 4 4