通信原理2-预备知识.ppt

第二章预备知识 第二章预备知识 信号和系统的分类确定信号的分析随机信号的分析高斯随机过程平稳随机过程通过系统的分析窄带随机过程信道与噪声 一 信号和系统的分类 信号的分类数字信号和模拟信号周期信号和非周期信号确定信号和随机信号能量信号和功率信号 能量信号是一个脉冲式信号 通常只存在于有限的时间间隔内 或者信号虽然存在于无限的时间间隔内 但能量的主要部分是集中在有限的时间间隔内 能量信号信号在 T 2 T 2 时间内在1欧姆电阻上所消耗的能量是消耗的能量是有限的 即使积分间隔是无限时 能量信号在1欧姆电阻上所消耗的能量仍然是有限的 功率信号当时间间隔趋于无限时 其在1欧姆电阻上所消耗的能量也趋于无穷大 但在1欧姆电阻上消耗的平均功率则是大于零的有限值 则f t 为功率信号 周期信号是功率信号非周期信号可以是功率信号也可以是能量信号 周期信号是能量信号还是功率信号 一 信号和系统的分类 2 系统的分类系统是指包括有若干元件或若干部件的设备 假设输入信号为x t 通过系统后得到的输出为y t 则信号在系统中的变换和传输可表示为 其函数关系 y t f x t 系统的分类线性系统和非线性系统如果叠加原理适用于一个系统 则该系统就是线性系统 否则为非线性系统 若线性系统 x1 t 的响应为y1 t x2 t 的响应为y2 t 则当输入为 x1 t x2 t 时 系统的响应为 y1 t y2 t 即对于线性系统 一个激励的存在并不能影响另一个激励的响应时变系统和非时变系统系统内的参数不随时间变化时 该系统称为时不变系统 恒参系统 只要系统内的一个参数随时间变化 该系统就是时变系统 变参系统 二 确定信号的分析 1 周期信号的频域分析周期信号的三角傅里叶级数表示周期信号的指数傅里叶级数表示 周期信号的三角傅里叶级数表示任何一个周期为T 即T 2 0 的周期信号f t 若满足下列狄里赫利条件 1 在一个周期内只有有限个不连续点 2 在一个周期内只有有限个极大值和极小值 3 积分存在 则该周期信号可以展开为下列傅里叶级数 周期信号的三角傅里叶级数表示式中 周期信号的三角傅里叶级数表示由于三角函数可以展开为令式中三角傅里叶级数可以归并为 周期信号的指数傅里叶级数表示任一周期为T 即T 2 0 的周期信号 当满足狄里赫利条件时 则可用指数傅里叶级数表示为式中 三角傅里叶级数和指数傅里叶级数不是两种不同类型的级数 而是同一级数的两种不同的表示方法 指数函数是傅里叶变换的基础 是频域分析的运算工具 1 周期信号的频域分析周期信号的三角傅里叶级数表示周期信号的指数傅里叶级数表示 二 确定信号的分析 2 非周期信号的频域分析一个非周期信号f t 可以看成一个周期信号fT t 周期T 即 反变换 正变换 2 非周期信号的频域分析可以在整个时间内 t 用指数函数来表示非周期信号f t 即傅里叶变换有一些重要的运算特性 反映了信号的时域特性与频域特性之间的内在联系 二 确定信号的分析 3 信号的能量谱与功率谱能量 信号f t 在1欧姆电阻上所消耗的能量定义为信号的归一化能量只有在上式给出的积分值为有限时信号能量的概念才有意义 二 确定信号的分析 3 信号的能量谱与功率谱功率 当信号能量 时 其平均功率存在 即P为平均功率 简称功率 T为取时间平均的区间 3 信号的能量谱与功率谱帕什瓦尔定理若f t 为能量信号 其傅里叶变换为F 则说明时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和若f t 为周期性功率信号 则有其中T为f t 的周期 Fn为f t 的傅里叶级数系数说明周期信号的总平均功率等于各个频率分量功率的总和 3 信号的能量谱与功率谱设能量以E表示 功率以P表示 如果在频域内有则称E 为能量谱密度 单位为J Hz 简称能量谱 称P 为功率谱密度 单位为W Hz 简称功率谱 3 信号的能量谱与功率谱对于能量信号f t 其能量谱密度E E F 2是 的一个实偶函数对于功率信号 对f t 只保留 t T 2部分 被保留的部分称为截短函数fT t 由于T为有限值 所以fT t 只具有有限的能量 3 信号的能量谱与功率谱对于功率信号fT t 的能量为f t 的平均功率为T 时 FT 2 T趋于一个极限值 功率谱密度 3 信号的能量谱与功率谱对于功率信号则平均功率P可以表示为由于P P 所以功率谱密度是 的偶函数 二 确定信号的分析 4 波形的自相关与互相关相关是在时域中描述信号特征的一种重要方法通常用相关函数衡量波形之间的关联或相似程度 二 确定信号的分析 4 波形的自相关与互相关设f1 t 和f2 t 为两个能量信号 其互相关函数式中t表示时移 为虚设变量若f1 t 和f2 t 为两个功率信号 其互相关函数式中T为时间平均的区间 4 波形的自相关与互相关若f1 t 和f2 t 是周期为T的周期信号 其互相关函数若两个信号的形式完全相同 其自相关函数R t 对于能量信号对于功率信号对于周期信号 互相关函数的重要特性若对所有t R12 t 0 则两个信号互不相关当t 0时 互相关函数表达式中f1 t 与f2 t 的前后次序不同 结果不同R12 t R21 t R12 t R21 t 当t 0时 R12 0 表示f1 t f2 t 在无时差时的相关性对于能量信号对于功率信号 二 确定信号的分析 4 波形的自相关与互相关实际使用时 常用归一化相关函数 12来衡量两个函数相似的程度 12 1若 12 0 表明f1 t 与f2 t 完全不相似若 12 1 表明f1 t 与f2 t 完全相似若 12 1 表明f1 t 与f2 t 完全相反的相似 自相关函数的重要特性自相关函数是一个偶函数 即R t R t 自相关函数在原点的数值R 0 为最大 即R 0 R t R 0 表示能量信号的能量或功率信号的功率 相关函数与谱密度的关系能量信号f1 t f2 t 且有f1 t F1 f2 t F2 则有R12 t F2 F1 R t E 对功率信号有R t P 互能量谱密度 5 卷积卷积定义卷积定理时域卷积定理令 则有频域卷积定理令 则有 6 希尔伯特变换希尔伯特变换定义希尔伯特变换希尔伯特反变换称和为希尔伯特变换对 希尔伯特变换性质 7 解析信号解析信号定义令有实信号 则称复信号为的解析信号 解析信号的性质令 有 解析信号的能量等于实信号能量的两倍 三 随机信号的分析 随机信号 信号参数具有随机性的信号 随机噪声 凡是不能预测的噪声统称 简称噪声 随机信号和噪声都不能表示成一个确定的时间函数 须用统计学中随机过程理论来描述 随机过程 是无穷多个随机函数的总体 其中每一个随机函数叫做随机过程的一次实现或样本函数 三 随机信号的分析 1 概率及随机变量概率 从统计的角度预测事件发生的可能性 一个事件的概率是小于或等于1的非负数 对于必然事件 PA 1 不可能事件 PA 0 若实验有多个结果发生 且它们互相排斥 则有 概率联合概率 事件A和事件B同时发生的概率 记为P A B 条件概率 在事件A已发生的条件下 事件B发生的概率 记为P B A 或也可以表示为 概率贝叶斯公式 当P A B P A 和P B 给定 且P A 0时若事件A和事件B相互独立 有P A B P A P B P B A P B P A B P A 随机变量随机变量 变量的取值是随机的 概率分布函数FX x 是X的取值小于或等于x的概率 即FX x P X x 2 69 概率分布函数特性 1 0 FX x 1 2 FX 0 FX 1 3 FX x 是非降函数 即当x2 x1时 恒有FX x2 FX x1 随机变量概率密度函数PX x 是概率分布函数的导数 即 2 70 概率密度函数PX x 用曲线的形式表示 称为概率密度曲线 随机变量概率密度函数PX x 的性质 随机变量联合概率分布函数FX Y x y 设二维随机变量 X Y 的FX Y x y 是X x和Y y的联合概率 即联合概率密度函数PX Y x y 假设联合分布函数FX Y x y 是处处连续的 则其偏导存在且处处连续 有 随机变量联合概率密度函数PX Y x y 若PX Y x y 已知 可导出其中任何一个一维随机变量的概率密度函数 随机变量联合概率密度函数PX Y x y 一般情况下 PX Y x y 可以表示为PX Y x y PX x PY y x PY y PX x y 其中 PX x y 和PY y x 是条件概率密度若X Y相互独立 则PY y x PY y PX x y PX x 联合概率密度函数PX Y x y PX Y x y PX x PY y 边缘概率密度 随机变量的数字特征数学期望定义 是随机变量X的统计平均值 记作aX物理意义 反映了X取值的集中位置若g x 是随机变量X的函数 则g x 的数学期望是 例题和习题 测量某随机电压 测得为3V的概率为2 5 为3 2V的概率为2 5 为3 1V的概率为1 5 求该随机电压的数学期望 解 对于离散型随机变量aX xiPi 3 2 5 3 2 2 5 3 1 1 5 3 1V 随机变量的数字特征方差定义 是随机变量X与它的数学期望aX之差的平方的数学期望 记作D X 物理意义 表示随机变量取值偏离中心值的程度 随机变量的数字特征协方差是用来描述二维随机变量X和Y之间相关性强弱的数字特征 设E X aX E Y aY 则有 2 随机过程及其统计特性 随机过程的概念在时间上不断出现的随机变量集合或随机的时间函数叫做 随机过程兼有随机变量和时间函数的特点随机变量的样本空间是一个实数集合随机过程的样本空间是一个时间函数集合 随机过程的统计特性数学期望设一随机过程X t 在某指定时刻t1上为X t1 是一个随机变量 X t1 的数学期望为随机过程X t 的数学期望a t 为a t 反映了随机过程瞬时值的数学期望随时间而变化的规律 是随机过程各个样本的统计平均函数 随机过程的统计特性数学期望a t 反映了随机过程瞬时值的数学期望随时间而变化的规律 是随机过程各个样本的统计平均函数 随机过程的统计特性方差方差是时间t的函数 描述随机过程X t 在任意瞬间t偏离其数学期望的程度 随机过程的统计特性 随机过程的统计特性自协方差函数其中 t1 t2 任取的两个瞬间X t1 X t2 随机过程X t 在两个瞬间的取值a t1 a t2 分别为X t1 X t2 的数学期望P2 x1 x2 t1 t2 随机过程的二维概率密度函数自协方差函数反映了X t 在两个瞬间取值的相关程度 随机过程的统计特性自相关函数自相关函数也用来反映了X t 在两个瞬间取值的相关程度当数学期望a t 0时 RX t1 t2 CX t1 t2 3 平稳随机过程 平稳随机过程概念设X t1 X t2 X tn 是随机过程X t 的随机变量 它们是在t1 t2 tn时刻所选取的样本 样本的取值分别用x1 x2 xn表示 其概率密度函数为Pn x1 x2 xn t1 t2 tn 若对X t 在 ti 时刻取样 得到一组新的随机变量X t1 X t2 X tn 其概率密度函数记作Pn x1 x2 xn t1 t2 tn 无论n和 取何值 都有Pn x1 x2 xn t1 t2 tn Pn x1 x2 xn t1 t2 tn 则称X t 为平稳随机过程 狭义平稳 可见 平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变 平稳随机过程概率密度函数一维概率密度函数与时间无关P1 x t P1 x 二维概率密度函数值和时间间隔 t2 t1有关P2 x1 x2 t1 t2 P2 x1 x2 数学期望和方差 是与时间t无关的常数 平稳随机过程自相关函数是时间间隔 的函数 与所选择的时间起点无关有描述了平稳随机过程在相距为 的两个瞬间的相关程度 平稳随机过程的自相关函数性质 1 R R 2 R 0 E X2 t S 3 R 0 R 各态历经性与时间平均值获得随机过程的数字特征在任取的某固定瞬间对随机过程的所有样本取统计平均值 例a t t R t t 对随机过程的一个样本函数取对应的时间平均值 各态历经性与时间平均值设x t 是随机过程的一个样本 其时间平均值时间平均的方差时间平均的自相关函数 各态历经性与时间平均值上式中 若X t 是信号电压 或电流 则a表示信号的样本x t 的直流分量 2表示x t 消耗在1欧姆电阻上的交流平均功率具有以下性质的平稳随机过程称为具有各态历经性的随机过程a a 2 2R R 即平稳随机过程的各个统计平均值等于它的任何一个样本的相应时间平均值 各态历经性与时间平均值 各态历经 的含义该随机过程的任意样本函数都经历了随机过程可能有的状态 因此 对它的任何一个样本函数取时间平均值就相当于同时对所有的样本函数取统计平均 通信系统中所遇到的信号和噪声都是各态历经的平稳随机过程 平稳随机过程的功率谱密度随机过程X t 的功率谱密度为随机过程X t 的平均功率为平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度也服从维纳 辛钦关系 即它们互为傅里叶变换对 R PX 例题和习题 求乘积z t x t y t 的自相关函数 已知x t 与y t 是统计独立的平稳随机过程 且它们的自相关函数分别为RX 和RY 解 由于x t 与y t 统计独立 有RZ t t E z t z t E x t y t x t y t E x t x t E y t y t RX RY 四 高斯随机过程 高斯过程又称为正态随机过程是指n维分布都服从高斯分布的随机过程 高斯过程具有以下性质 广义平稳和狭义平稳等价高斯过程在不同瞬间的值 互不相关和相互独立等价一高斯过程通过线性系统 其输出也是一个高斯过程 四 高斯随机过程 若随机变量X t 的概率密度函数表示为 则称X t 为服从正态分布的随机变量 式中a和 为常数 a为均值 2为方差 p x 具有以下性质 p x 对称于直线x ap x 在 a 内单调上升 在 a 内单调下降 且在点a处达到极值 当x 时 p x 0且 不变时 对于不同的a 表现为p x 图形的左右平移 当a不变时 对于不同的 表现为p x 图形随 的减小而变高和变窄 正态分布的概率密度函数 四 高斯随机过程 当a 0 1时 称为标准化的正态分布 有计算高斯随机变量X大于某常数C的概率 引入Q函数Q 是标准高斯概率密度函数曲线在区间 所围的面积 Q 是 的单调减函数 它的值随 的增大而减小 且有以下结论Q 1Q 0 1 2Q 0Q 1 Q 0 四 高斯随机过程 利用Q 函数表 可以方便的求得高斯随机变量大于某个常数或位于某区间的概率其中 erf为误差函数erfc为互补误差函数 高斯白噪声定义一维概率密度函数为 且其功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声 即白噪声的功率谱密度及其自相关函数如下图 特点说明由于白噪声的带宽无限 其平均功率为无穷大 所以 真正 白 的噪声是不存在的 它只是构造的一种理想化的噪声形式 实际中 只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带 我们就可以把它视为白噪声 如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布 则称之为高斯白噪声 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间 不仅是互不相关的 而且还是统计独立的 五 平稳随机过程通过线性系统 假定输入X t 是一个广义平稳随机过程 通过线性系统 输出将是随机过程Y t 有即输出随机过程等于输入随机过程与系统单位冲激响应的卷积 五 平稳随机过程通过线性系统 输出随机过程的数学期望其中 aX是X t 的数学期望 H 0 是线性系统在 0时的传输特性 即直流增益 五 平稳随机过程通过线性系统 输出随机过程的自相关函数其中 t2 t1RY 是时间间隔 的函数 与时间的起点无关 五 平稳随机过程通过线性系统 输出随机过程的功率谱密度可推导得其中 H 系统传递函数H 的复共轭PX 输入随机过程X t 的功率谱密度 五 平稳随机过程通过线性系统 E Y t aX H 0 RY t1 t2 RY t2 t1PY H 2PX 显然 若线性的系统H 和输入随机过程的数字特征 功率谱密度给定 利用这些关系就可以确定输出随机过程的数字特征和功率谱密度 平稳随机过程通过乘法器乘法器的输出设某乘法器的一个输入为随机过程 另一个输入为载波 乘法器的输出 其自相关函数为 显然 由平稳随机过程的定义可知 为非平稳随机过程对于非平稳随机过程 其功率谱密度可表示为 即也就是说 乘法器输出的功率谱密度等于对输入随机过程的功率谱密度的线性搬移 什么是窄带随机过程若随机过程X t 的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围 f内 即满足 f fc的条件 且fc远离零频率 则称该X t 为窄带随机过程 窄带随机过程的表示式其中 六 窄带随机过程 窄带随机过程的自相关函数由于所以功率谱密度为 四 信道与噪声 信道的定义信道是信号的传输媒质 分为有线信道和无线信道 狭义信道 信道除包括传输媒质外 还包括相关的装置 广义信道 1 信道的定义广义信道可以进一步划分为调制信道和编码信道 七 信道与噪声 2 信道的数学模型调制信道模型 调制信道用来传输已调信号 可抽象为一个输出端叠加有噪声的二对端时变线性网络 eo t k t ei t n t 其中 k t 是依赖于网络的特性 是乘性干扰n t 是不依赖于网络的特性 是加性干扰 2 信道的数学模型调制信道模型根据乘性干扰k t 的变化快慢 可将调制信道分为 恒参信道 k t 不随时间变化或基本不变化随参信道 k t 随机快速变化乘性干扰特点 当没有信号时 没有乘性干扰 编码信道编码信道用来传递已编码信号可用数字的转移概率来描述二进制编码信道简单模型 无记忆信道模型P 0 0 和P 1 1 正确转移概率P 1 0 和P 0 1 错误转移概率P 0 0 1 P 1 0 P 1 1 1 P 0 1 四进制编码信道模型 恒参信道和随参信道恒参信道恒参信道是指参数不随时间变化而变化的信道 恒参信道举例 各种架空明线 卫星信道 恒参信道 非时变线性网络 信号通过线性系统的分析方法 无失真条件振幅 频率特性 为水平直线时无失真相位 频率特性 要求其为通过原点的直线 即群时延为常数时无失真右图为典型电话信道特性 随参信道随参信道是指参数随时间变化而变化的信道 随参信道举例 短波电离层反射 超短波视距绕射 随参信道特性 衰减随时间变化时延随时间变化多径效应 信号经过几条路径到达接收端 而且每条路径的长度 时延 和衰减都随时间而变 即存在多径传播现象 多径效应分析设发