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专题七 数学探究和数学建模第一讲张思明（北京大学附属中学 特级教师 张思明）： 各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学新课程国家级远程培训。我们这一讲的主题是高中数学新课程的“数学建模和数学探究”。也许大家听到这个词有一点儿陌生，当然也有很多老师已经开展过这些活动了，我们先来介绍一些在北京常年开展这项活动的一些学校的代表，也是我们请来的两位主讲的嘉宾。（北京第 15 中学 特级教师 隋丽丽） 我身边的这位是北京第 15 中学的特级教师 隋丽丽老师，我身边这位是北京首都师范大学附属中学的李大永（首都师范大学附属中学 高级教师 李大永） ，他是高级教师，也是北京市的青年骨干教师。这边这位大家很熟悉，是我们首都师范大学的博士生导师、教授 王尚志老师（首都师范大学 教授 博士生导师 高中数学课程标准研制组负责人 王尚志） 。我们一起讨论这个话题，为了使大家对这个背景了解的更清楚，我们先请隋丽丽老师向大家介绍一下，中学所提到的中学数学建模是什么概念。 中学数学建模的概念隋丽丽（北京第 15 中学 特级教师 隋丽丽）： 首先我们用一个非常简单的描述方式，先说说什么叫数学建模。简单的说，数学建模就是把一个具体的实际问题转化成一个数学问题，然后我们用数学方法解决它，之后我们再把它放回到实际生活当中去，用我们的模型解释现实生活当中的种种现象和规律。这次我们数学建模首次进入了高中的课程，我们再看看课程标准的要求。主要有这样的几点要求，一个是问题一定来源于学生的日常生活和现实生活当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。实际上数学建模的过程不仅仅限于课外，它和课内也是有结合的结合点，一会儿我们会去讨论这些。 案例介绍 下面我们来看一个具体的数学建模例子比如说我们同学们都经历过烧开水的过程，如果它没有经历过至少也接触到了家里烧开水。下面我们用具体的实际问题来看怎么建立数学模型，了解这一实际问题。首先我们这里有家庭中用的煤气炉，如果不是在城市里面，在农村我们也有燃气灶或者其他的炉灶。这里面就有一个生活当中的现实问题，如何用比较节省的燃料烧开一壶水。在烧开水的问题提出以后，我们可以希望同学们努力在交流的过程当中转化成一个数学问题。要转化成数学问题，首先这个问题必须明确，这么多实际问题中的变量，如何转化成具体的实际问题呢？必须分清的主要变量和次要变量，去掉次要变量。因为变量生活当中的问题，变量是非常多的。这样一来，定位在节约用气的情景下烧开一壶水，这时候就需要在这个模型的转化过程中，需要采集一些数据。采集数据的问题主要是希望能够通过我们具体的数据建立适当的数学模型，因此我们看到在采集数据当中涉及一些实验，选到极限情况的位置两端的位置。极端的位置就可以较好的节省这样的难题吗？我们会知道现实生活当中，也许会出现，即使到极限状态水也烧不开的情况。 这时候我们看到在学生经历采集数据以及做实验的过程当中，仍然对它有一个方法的选择，策略的选择，这里就要搀杂着老师适度的指导，而不是去替代。当我们选定了实验的方式以后，我们可以根据自己不同的家庭燃气灶的情况，来做一些数据的采集工作。因为煤气灶的旋钮不可能对火势做很精密的控制，因此就要适当的点播同学，并不是采集数据的点越多越好，应该依据自己的炉灶选取一些适当的点，来采集一些数据。之后我们可以在直角坐标系当中把我们的数据用散点图做出来，让学生利用已有的数学知识和他自己熟悉的函数，估计大致的散点走向，用他学过的初等函数做一个数据拟合。拟合以后，我们就可以得到所谓的数学模型，这个模型是否能够解释刚才所说的问题，就需要进行检验。而这个检验就可以代入一些当时采用的极端点的数值，如果出现问题，我们当然就会回到具体的原始数据采集的过程当中，看看是不是数据的采集出现了误差，然后进行调整，修正模型。一旦我们把模型提炼出来，我们就可以用我们这样的模型回答刚才同学们提出这样的问题，就是当旋钮在大概什么位置的时候，可以使得燃气的用量的较为节省，直至烧开一壶水。在检验的过程当中，学生们还要学会再回到实践问题去分析。我们在分析之后，对它可以进行适度的调整，实际上这就是一个完整的数学建模的过程。 张思明：对于这个过程，请 王老师帮助我们提炼一下，大概有什么应该做的？数学建模的过程王尚志：（首都师范大学 教授 博士生导师 高中数学课程标准研制组负责人 王尚志） 主要就是我们要在实际中发现一些问题，这是我觉得第一个需要关注的问题就是我们培养学生的问题意识。第二个就是我们能把这个问题说清楚。通常我们要提出问题，发现问题要能够先用自然语言表述清楚，然后再从数学方面来说。我们更关注这类问题，就是可以用数学方法来解决的问题。也许是需要有一组这样的模型，然后我们要根据数学模型来求数学的解，得到一个数学的解答。这个数学的解答应该说只对数学模型负责任，我们对这个方程负责任，我们要讨论我们所得到的数学结果和我们提出来的实际问题是不是相符合，如果相符合这就是我们实际的答案。如果不相符合或者差距比较大，我们就要做一些分析，要修改我们的模型。这样一个过程，通常我们管它叫做数学建模。 张思明： 王老师对数学建模做了一个具体的解释，老师们也关心数学建模比较新，你们也提到了数学探究。我们中学里面，特别是高中新教材里面的探究，是有什么意义。数学探究的概念李大永：（首都师范大学附属中学 高级教师 李大永） 实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要有一个尝试，一个探索的过程。比如说我们立体几何当中，比如制作这个立体几何模型，这里面学生就有由他所观察到的，比如一个锥体一些线、面的结构，它们之间的关系，然后用一张纸如何作出一个（几何模型）。张思明：探究 ( 几何体 ) 展开后是一个什么样子的。李大永：或者说我们可以像三角函数那部分，借助计算机发现函数的图象变化，表达适当的 A ， ， 这几个参数的变化是如何影响图象的，这样发现它们内在的规律，这就是一个探究的过程。总之探索问题是以问题作为一个引导，引导学生的思维不断的深入，它是以问题的不断发现和解决为过程，这样的一种数学活动。张思明：它（数学探究活动）的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当中得到更多的知识。探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心，大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它的要求、定位和为什么把这些领域加到我的标准当中，你应该怎么看待这部分内容，我们想请 王老师作为课程标准研制的负责人之一谈谈您的看法。数学建模的发展过程王尚志：我想简单的想把数学建模这样的历史做一个简单的回顾。可能最早提出数学建模把它进入课程的是英国的专家和学者。有一个英国的专家，他在开设这些课程中，同时他承接了一个国家课题。后来他就想，我为什么不把这样的课题的研究和我的教学有机的结合起来。于是他就把这个课题，让解决的问题原原本本告诉他的学生，就是说我要解决这些问题。我们围绕这些问题开展教学，你们来成为我解决问题的助手。于是他就把解决问题的整个过程变成一个教学的方式，我们首先要把这个问题说清楚，然后我还会碰到什么问题再说清楚，我怎么样选择数学模型。结果他没有想到学生对这门课非常的感兴趣，并且为解决这个问题提供了实质性的帮助。结束了这个课题以后，这位老师就想，为什么不能把它变成一种课程。 于是在博士生课程里面就提出了数学建模的课程就把他解决整个问题的过程变成一种教学来讲，受到了学生的欢迎。有人说在硕士层面形成这样的课程，把我们数学解决很多问题的办法和解决问题实例的分析变成一个课程。很大层面借鉴了一些商业，经济的案例分析的教学模式。于是，在博士、硕士，进而在本科生层面开展了所谓数学建模的这样一门课程。大体上就几种不同的分类方式，一种就是按数学方法和他要解决的问题设计数学建模的过程。另一类是所要解决的问题，以及解决问题的过程作为数学建模过程的展开模式。 到了 20 世纪末和 21 世纪初，人们又提出问题，既然这样的一个东西对于学习数学非常有好处，也帮助我们的学生更好的理解数学的价值，是不是在中学可以做一些实验，中国也有一些专家，比如说像 叶其孝教授，北京师范大学的 刘来福教授和首都师范大学的 杨守廉教授，还有复旦大学的一些教授，他们就在考虑是不是能把大学这样的教学模式能够迁移到中学去。由 刘来福教授、 叶其孝教授， 杨守廉教授等发起，就在中学开设讨论班讨论这些问题，然后又把它怎么转换成为中学的活动，推出了一个数学建模的活动或者数学应用知识竞赛的活动。在这个基础上，又把它转换成为一种教学方式，隋老师、 李老师等参与了这样的过程，开设了一些讲座，进而变成了一些活动，在中学效果还是不错的。大概这样的一个过程从 1992 年开始实验，一直到 1997 年。到了课程标准研制再一次提出这个问题，思明也参加了这个问题的论证，最后获得了标准研制组的一致赞同，同意数学建模和数学探究作为一个课程内容放到高中的课程里面，并提出了相应的要求。隋老师刚才介绍了数学课程标准对数学建模和数学探究的具体要求，就是希望每一个高中学生能在三年时间里面经历一次比较完整的数学建模和数学探究活动。刚才他们也介绍了这种活动的形态应该是一个什么样子，这样就在中学安家落户了。开展中学数学建模的意义为什么要把这样的一件事情放在中学呢？结合到我们数学，我个人觉得有这么几件事情是为什么我们要把数学建模和数学探究活动放在中学的一个基点。第一个就是我们现在新课程强调，要培养学生学习数学的兴趣，我们有什么办法来培养学生学习数学的兴趣？这是一个挑战性很强的。在传统中，我们有一个办法，就是让学生做一些有挑战性的数学习题，我觉得这是吸引学生，特别是好学生对数学感兴趣的一个非常好的载体。我们一定不能否认这样一种载体的作用。但是这样一种载体可能不能吸引更多的学生，比如说学习有一定困难的学生，可能你用做难题的办法不一定能够起作用，我觉得数学建模问题和数学探究问题，因为它强调的是问题，强调的是过程，强调的是不同人都可以用不同的方式上手。因此我觉得它有可能成为吸引学生对学习数学有兴趣的一个重要载体。我们的实验过程当中，也的确看到了这样的一个效果。所以我觉得这是一个很重要的方面。就是他有了兴趣，有了自信他就可以调整自己的学习数学的心态，投入到数学学习当中去，我觉得这是一个。 第二个 ，我们这轮课程改革中，一个很重要的，关乎到我们国家发展的事情，就是培养学生的创新意识，我觉得在中小学阶段，创新意识最重要的体现是培养学生的问题意识。我们总要有问题，我们要有解决问题的欲望，所以我想数学建模和数学探究活动本身都是以问题为导向的，以过程为目标的一个学习过程。因此，我觉得有可能会对培养学生的创新意识起一个非常好的作用。另外也会提供给我们一部分同学一个创新的空间。因为现在无论是在北京还是在上海，还有一些其他地方，都提出了这样的一个问题，要为一些学习好的学生提供一个更宽广的发展空间。比如现在北京成立了少年科学院，现在一些最优秀的大学，像北大、清华、复旦、交大这些学校都在调整招收学生的一个评价标准。我觉得数学建模和数学探究可能会为我们这些学生提供一个非常好的发展空间。我们也像清华在数学建模实验过程当中，确实发现了一些很有潜质的学生，我们也向清华、北大、复旦、交大提供了一些这样好的学生，也做了推荐，也受到了这些学校的接收和欢迎。所以我想培养创新的意识，培养创新的能力是我们高中课程责无旁贷的。 第三个方面 就是我们在高中的教学中，希望我们的学生能对数学有一个比较全面的认识。我记得在第一次数学建模颁奖大会上，丁石孙先生原北大的校长，在这个大会上对我们这一项活动谈到了这样一个看法，他就认为你们这项活动有可能帮助学生对数学有一个比较完整的看法。因为我们数学一个非常重要的（作用），是数学与其他学科的结合，数学要来解决科学技术、人文社会科学中所需要解决的一些问题，也就是说我们通常所说的数学的应用意识。这是我们形成对数学一个完整看法的重要组成部分。我觉得这个数学建模和数学探究也会通过我们这样的活动告诉我们的学生，数学需要关注的一些方方面面，是数学真正的价值所在。 我觉得第四个方面，对于教师的专业成长也会起一个非常重要的作用。我们要让学生做得老师首先要做，更何况我们老师在教学的过程当中，难道不是扼要经历这样的过程吗？我们要发现问题，我们要寻求解决问题的设计和办法，我们要得到一些结果，我们这些结果也要受到实践的检验。这样的一种研究能力，也是我们教师专业成长的一个重要的载体。所以我想从这些方面来说，把数学建模和数学探究放在中学，放在高中的数学课程当中，是有着非常重要的积极意义。张思明： 王老师对数学建模的功能定位做了一个分析。为了使老师对这个数学建模怎么开展，有一个更具体的印象，我们给大家准备了两个短片。第一个短片我们让老师了解一下“结合课堂教学数学建模的设计”，我们找的线索是针对三角函数的应用。测量这个课题大家都非常的熟悉，我们先看第一短片，这是我带北大附中高一年级做的测量课的实例，我们一起来看。刚才我们看到这个片子当然是一节课的片断，如果老师们对这个课感兴趣，可以在我们阅读资料里面找到这个课的教学设计。这是一个结合课堂内容，还有一些就是真正的课堂内容本身，我们希望老师来揭示这个内容的应用背景，像这样的问题我们也请大家看一个案例。这是由人大附中 仇金家老师介绍的周期现象，我们一起看这个课例。 这个课例也是一个片断，我们看到了老师在课堂上组织大家学习周期函数的时候，介绍了好多的背景，其中包括潮汐，超过游乐场的大轮，这种观光的轮。我们看到老师提出的现象重点引起学生们的重视，我想这两个例子都说明了在课堂里面挖掘数学内容的应用背景是大有可为的，不知道两位老师还能给我们提供一点什么背景资料，或者你们做过类似的工作吗？怎样辅导学生进行数学建模隋丽丽：其实比如说像刚才 邱老师做的那个有关周期现象的课内挖掘建模的课，这里面主要描述了孩子们生活特别熟悉的摩天轮的旋转过程当中怎么提炼数学问题。其实我们孩子们也都接触过，比如像升旗，它也是一个周期现象。你不管是农村学校还是城市的学校，它都会举行这样的升旗仪式。我们可以通过这样的升旗仪式来引导孩子做一个课外的建模活动。这时候他就牵扯到几个环节，首先就是你的数据是怎么来的，然后这个数据做了以后，我应该怎么去处理它等等。当然这个过程我们希望老师要有一个设定的目标，自己要有一个明确的指导方案，然后带领学生制定一些执行的计划。有一些任务上的建议，但是一定不要替代，这个是最糟糕的。包括数据的来源，一定给他做一个引领上的介绍就足够了，你没有必要把数据拿到跟前再做，这就失去了我们建模的意义。我们希望同学们能够真正的经历数据采集，数据处理，从处理数据的过程当中怎么利用他所学的数学知识做出这个模型，做模型的过程当中就是用数学去解决问题，确实体验数学在生活当中是怎么用的。我们从这样的实际问题引发孩子们的兴趣，让他们知道数学在实际生活当中的价值体现。接下来可以带领他们再去具体的处理这些东西，最后有一个交流是最好的。因为每个孩子都有不同的数据采集方式，有不同对这个问题的理解，有不同数学处理的手段，有不同的信息技术的支持和整合。我们最后最好能够给孩子提供一个平台，让他们做交流，让孩子之间有一个分享，大家得到好的结果和收获的共同分享。 李大永：其实也可以找一些社会的热点问题，比如咱们这几年的（生物入侵），其实学生也是很感兴趣的，比如水壶，那个滇池把几千公顷，一千多公顷的水面全部（被水藻）封满，其实这个学生很感兴趣，可以提供学生一个网址，让他收集相关的信息。比如滇池的水温，水壶它的生长的特点，这时候可以做一个估计，实际上大学里面生物模型有一个单一种群函数模型，就是指数函数。从这个当中做一个估算，比如就是有一亩的水面，按照它的发展变化它的生长速度是什么样的，这样一算是很可怕的，了解到指数函数的特性，它的增长速度是非常非常快的。还有像咱们近几年说的城市人里面的买房问题，到底是等额本息还款还是等额本金还款，到底哪个更加有利于自己，怎么作出一个更加客观的分析，这个也是提供给他这样一个资料。如果有时间可以课堂上做一个引导，然后更多的其实可以放在课下让学生完成，有的学生对这个很感兴趣。这种问题是在背景上吸引他注意，而不是一个像刚才 王老师说的吸引学生兴趣，有些是数学的挑战性，其实有的时候是一种有趣性。这个就是有趣性或者跟他现实的一种更加接近，还有孩子说他父母就在买房，在家里面讨论怎么买房合算，他就给做一个设计。其实他就是用数学这种感觉，他跟老师说：“我父母说你能做什么。”但是他做出来以后一分析父母觉得挺惊讶，念书没白念，确实学到一些东西他也觉得很自豪。张思明：我们也看看，当然我们时间短，做了一个简单的分析。如果大家关注我们的教材，挖掘教材的应用背景，让学生体会到教材内容和生活实际的联系，我们就知道数学有用，能用，然后我们引导学生让他可用、想用、会用，最后能够用他们自己了解的数学知识解决更多的问题。我们这一讲先到这里，下一节课我们一起讨论在课内外结合和课外怎么样开展数学建模和探究的活动。谢谢大家的参与，我们期待下一课和大家再见。第二讲张思明（北京大学附属中学 特级教师 张思明） ：各位老师大家好，欢迎各位老师继续参加高中数学新课程国家级远程培训。我们这一讲的题目是继续上一讲高中数学新课程中的数学建模和数学探究。上一节课里，我们重点分析了结合课堂内容、结合教材内容的数学应用意识的挖掘，数学探究、数学建模举了几个例子。在这节课里面我们将把这种活动推广出去，开拓出去，我们希望老师们能了解数学建模和应用一直可以做成数学课内外结合的形式，和课外学生自主科研的形式。这方面我们请到了两位老师有着充分的经验，我们先请 李大永老师介绍他在首都师范大学附中开展这方面活动的一些经验。首师大附中是怎样开展数学建模活动李大永 ：（首都师范大学附属中学 高级教师 李大永） 现在从教学来讲，课堂上的内容时间上还是比较紧张。所以在这个活动上，实际上可以选择一个主题，让它尽可能里边隐藏的问题非常的丰富。这样我们把它做一个源，在课上用一个相对少的时间，比如一节课引导学生对这个问题源进行发现和挖掘。有了这样一个开端以后，我们让学生组成一个小组，自己选定一个研究的题目，然后做一个课下的研究，这届学生高一的时候我们利用一个学期的时间布置这个任务。我的做法首先就是做一个准备工作，因为高一学生对这个数学建模不是很了解，我用了 03 年人大附中一篇做水的优化一篇文章，先让学生去阅读，阅读之后在课堂上以这篇文章做评析，让学生了解如何去做一个数学实际问题的探讨，它一般过程和策略是什么。然后我自己采集了大量超市很多丰富的图片，给他们展示，让他们从这个当中自己挖掘发现问题，然后组成小组，这是第一节课。 张思明： 先看看这个过程，我们先看看 李大永老师带着学生做这个过程，也是一个教学片断，我们一起看看。（插李大永的教学案例）大家对这个活动有了比较直观的印象，李老师您再继续给我们说明这个活动设计的一些想法。李大永： 因为从学生来讲，他是对数学的学习，本身我们现在教学学习的是书本上的一种知识，其实它少了对知识的全过程的了解。知识是什么？是人认识世界的成果，我们学生更多注重结果的呈现形式，而忽视了数学产生的源头，还有它整个产生的过程是什么，应用的场所是什么，我们在应用当中的实践又是如何的，这些都是他缺少了这些环节的了解。我们课堂的时间有限，我们结合课外活动搞。张思明： 可以结合课堂的紧张时间，但是这个过程比较长，一下子做不完。李大永 ：时间很长，需要时间很长，这样我把它拉成了一个学期的任务，在这个中间不断让学生接触，他进展到什么程度了，另外也是督促他，有时候学生做着做着就把这个事放下了，督促他利用周末的时间怎么做，另外方案怎么制定，你们小组里面各个人的分配，是如何分配的，给他们这样的一个引导。其实在这种不仅是一个数学方面的活动。比如有的小组定了很多方案都是牵扯到调查，做问卷调查。一开始他们就说太难了，发一张试卷给人家，别人都很忙，都不理我，不理我怎么办？他说我们都是求他们，这种过程给他们这种体验，他觉得感触很深这些方面。在最后到一个学期快结束的时候，我们当时参加了有 30 几个人，最后作出比较完整结果的有 20 几个人，还有一部分做了很小的问题，所以很快就完成了，有的相对专题提供的比较大，时间比较长。这样做完了以后，我们最后给了一个时间，就像刚才隋老师所说的，他做完了如果没有一个评价，没有一个展示的机会，下次就不愿意搞这个东西了。它有一个需要交流的平台，所以我们又找了一节课，让同学把自己整个的研究过程，你的研究的成果，你的研究的感受做交流，并且像答辩一样，我们底下有些同学提质疑，比如说你这个试卷的答卷有效度怎么样，有的提出这种疑问。然后他们这种一一解答，我们最后做一个评价，引导学生不要太注重于这个结果如何，更注重于我们参加这样的活动，我们当中的收获，最终我们研究的结果，实际当中也未必是很有用的东西。但是在这个过程当中给我们一个感受，包括我们如何查阅资料，如何使用这些知识，如何与人打交道等等这些，其实都是对我们一个很大的能力上的提升，这点更为重要，包括我们同学之间的分工合作，像有的小组安排的非常合理，还有有效的动用自己家里的资源帮助自己完成这件事情。 339”王尚志 ：提供他一个接触社会的机会。首师大附中会对学生论文评奖李大永： 还有从选题的视角，有的很新颖，包括解决问题的方案制定非常的合理，很完整，很全面。还有的就是整个在数学解决过程当中，数学用的非常好，都有他部分的闪光点。这样我们评出各种奖，最佳创意奖，最佳问题解决奖，最佳合作等等，这样给学生一个很大的激励。我们学校研究性学习是有一个学分的，所以我主张他们这次大家讨论完了提出的质疑，后续问题可以做到高二继续做研究，最终他们在高二，整个我们年级有一个答辩，我看里面有相当一部分学生仍然在这个问题上做了进一步的研究，把它作为自己高中生活重要的研究性学习来完成。 14”隋丽丽： 确实呈现了一种在问题的滚动中，不断的生成新的问题，问题生成问题，不断的解决问题。李大永： 有的是从初始的一个问题，到后期我已经又想到相关其他问题，已经完成跑到另外一个问题上面去了。王尚志 ：有一些可以把我们数学教学，课内、课外做一个延伸，比如说有些统计问题，比如说流行歌曲的趋势，学生最喜欢的流行歌曲等等，我觉得这是一种在很大层面上提供了一种我们寻求一些新的教学模式的动力，也是一种能力，老师把这个课上活了。数学建模对老师也有益隋丽丽： 其实它给老师也增加了一个非常大的空间，等于你教师在这里挖掘教材可生成问题的因素。比如说像我们教材里面提到指数的增长这些问题，教材有很小的一部分，我们能不能在这里面从中挖掘出一些问题引领学生探究，探究到最后，我们可以上他再去看你生活当中的一些现实问题，哪些属于指数增长，对数增长。这样他觉得会更有趣，这种趣味性融入于生活，而且这个对教师也是极大的挑战，你不去挖掘，你不去找这样的素材提供给学生做这件事情的话，可能一开始学生也是有难度的。因此我觉得咱们这种新课程，数学探究也好，数学建模也好，不仅仅给老师一个很宽的口径，也引领我们在这个过程当中提升我们自身的专业化的水平。 王尚志： 有时候（数学建模）和我们教学联系很密切。你比如说像隋老师做的升旗问题，比如正选函数，我记得隋老师问过这个问题，在这里面，时间单位和长度单位之间的关系，就问这个弧度在这个里面起的作用。学生就会体会，我为什么不仅仅用角度刻划就足够了，我们还需要互助，互助给我们带来什么好处。像这样的一些问题的探索，也会对某些数学知识本身带来比较深刻的理解。李大永： 全面的，很重要的理解。王尚志： 所以可以看出课内外结合的形式，就把我的数学某些东西可能弄的更活一点。张思明： 我们看到了数学建模，就是把一件事情拉长了，把课内和课外结合起来，但不是说诚心（拖延时间），我们这个（辅导学生建模的）过程是有的，教育功能和数学学习的功能发挥到极至，发挥到更好的水平。北京还有一些比较优秀的学校或者生源比较好的学生一直坚持开展学生的数学建模活动或者小论文写作的活动。十五中是非常典型的学校，他们学校每年都有一批学生在北京市高中数学知识应用竞赛当中获得论文的优秀成绩，很多学生做了一些出色的结果，一直给我们留下深刻的印象。学生做的在数学通报，东北师大给他们出了专辑。我们特别想请隋老师来做这方面的介绍，在这个之前我们先看一下隋老师为我们配的短片，这个片子你看看十五中是怎么开展活动的。（插入十五中隋老师的视频短片）隋丽丽的课 论文研读张思明： 这个片子确实是隋老师开展活动，他们学校数学组老师开展活动的一个片断。由于时间关系我们不可能把这个线索展示的特别清楚，我们下面请隋老师为我们介绍一下开展这个活动的框图和他们宏观设计是什么。怎样辅导学生进行数学建模隋老师： 辅导学生撰写数学小论文有这样几个主要环节。最主要的我们先是把这样的活动，我们给定位为一个师生的双边非常好的活动的途径之一，并且我们觉得经历这样的过程，实际上学生经历了一个在教师指导下的微型科研活动。在这样的活动当中学生亲身经历了问题的提出，问题的发现和问题的解决，真正的实际生活当中问题提供一种解决的途径。我们现在看，我们在辅导小论文的时候主要采取了以下几个阶段：第一个阶段就是前期的辅导阶段，还有一个就是中期，再有就是后期的辅导。前期辅导： 前期的辅导我们最主要的是引领同学们在自己的生活周围发现一些生活当中的问题，争取能够在学生自己选择的问题过程当中，学会来舍弃一些次要的因素，突出主要研究的变量，找出这样的事物本质。希望他们学会自己设计一些调查问卷、采访、访谈录或者和有关部门的接洽和交流，提取他们自己要准备做这个论文的一些有用的资料。希望他们能够在这个过程当中，能够把问题更凸显，转化成一个具体的数学问题。中期辅导： 之后我们进入到中期指导的时候，我们要进入到，首先他选择问题的可行性，以及他的科学性和他自己的可驾驭，可操作性，我们在这个地方做一个评估，然后再让他往下做，免得出现他自己能力范围内所不及的事情，这样就失去了我们要做这件事情主要的意义。所以中期指导主要对这件事情和同学们做一个交流。接下去同学们自己用自己已有的知识准备处理收集的这些数据，他的数据资料的文献综述，以及文献综述这些方面，相对于他们自己来说较为科学的表述。后期辅导： 后期阶段就是当他的文章形成以后，我们对他整个的研究、探索，整个数学的方法、手段以及一些调研的方式或者他的信息技术整合的应用方面做一个全面的指导，渐进性的交流。在后期我们还会做学生的论文答辩，汇报，成果的汇报，底下像刚才 李老师所说的，也有同学在这里质疑，也有老师质疑。在这个过程当中学生摒弃了被动的学习方式，他真正成为了学习主人的态势，提升他们在学习过程当中的主动意识、愿望，以及他所关注的一些问题的侧重点。而不是我们硬性从课堂上，我们必须教他哪些知识，我们教材上的东西是什么样的。这些现在的东西应该是来自于社会，来自于大自然的东西，而且问题的来源没有任何的限制，整个的操作模式、方式也没有限制。每个人处理问题的角度和视角也是不同的，这样我们更能彰显一个学生自己在学习能力潜能的挖掘和提升。在整个这个过程当中，不仅是学生获得了一种学习的能力，如果说的更高一点的话，其实他获得了一种有效的学习能力，一个积累经验的过程。我们感觉到，其实我们的教育在这里做的是一个什么呢？很多教育家都提到，我们教育最终的目的是把一个人的创造力诱发出来，我们就会发现，在建模的过程当中是非常好的诱发学生创新能力的展示平台。所以，我们觉得这样的过程当中，我们辅导的时候，我们一直可以做到确实真正的体现和实现师生双边的活动。 王尚志： 我补充一下，实际上十五中我比较熟悉，他们形成了一个良性循环。就是新生入校这么一个环节，隋老师刚才没有说。我们要向新同学介绍你们师兄、师姐原来做的东西，这个对学生是一个非常好的熏陶，然后让新老同学在一起座谈，这个活动给我们带来的好处。生活当中坚持了这么多年以后，我觉得他们不仅仅在数学，在其他学科都开展了这样生动活泼的综合实践活动。甚至于形成了十五中的办学特色，我觉得现在这件事情已经成为十五中的一个品牌了。 我想补充的另外一件事，在北京地区，不仅是十五中，还有很多这样的学校，不仅是我们通常所说的重点中学，还有一些一般的学校，也通过开展数学建模活动使得学校的学习、科研、教研的面貌发生了变化。所以，我觉得可能不单单数学建模，数学探究活动是好学校的专利，也是所有学校改变学校面貌一个非常好的平台。展示学生作品：张思明： 刚才隋老师介绍的情况，其实我们深有同感。在隋老师表达这个过程的时候，我们看到了学生创新精神的展现。我们北京市从第一次竞赛到现在已经做了接近 14 年，我们一直在做学生在数学知识竞赛成果的展现，这几年每年大概都能接收到 1 千 2 千篇这么多学生的成果。在这些成果当中我们看到了中学生的创造性会展现出来。时间关系我非常快的给大家看一下我们最近一些学生的成果。比如说我们的学生利用放假去洞庭湖，跟以前不一样，他会观察鸟群迁徙的种类，我们看到的这只鸟，推测这个种群有多少。学生喜欢打篮球，马上写一篇 NBA 怎么安排能够提高转播率。我们去邮局看到各种各样的邮票，学生提出问题，邮票有五分、一毛，三毛、六毛好多，现在这个邮费，这种邮票失去了价值，应该怎么设计邮票的面值，能够使在信封上不超过三枚或者四枚邮票完成邮寄的任务。还有女生喜欢十字绣，这次也获一等奖的同学，把把十字绣里面的过程做了一个数学建模，怎么能够线短，缝的时间好，用的知识很简单，就是我们所说的“耐克函数”或者“对勾函数”，但是他的分析写的非常的清楚。还有我们清华附中做的城区单向交通规划，怎么提高运量，在每个路口冲突怎么解决。还有我们手机电话卡的选择等等，还有全球通， 还有本伏特定律，也是现在李肖迪同学破译，第一数字定律有什么奥秘，学生非常感兴趣，探究了像（等比）数列等这样的一些规律。还有食品涨价，从猪肉开始，学生非常关注生活，五中的同学做的事情。 还有如何使风筝飞得更高，是一个同学天天去看风筝，自己去做风筝，发现 45 度的迎风角会有比较好的效果，当然还要考虑风的质量。很多很多这种的例子，不仅仅是做了数学，也做了数学和化学，数学和其他学科的结合，包括十五中，包括首都大附中每年都能收到几十篇这样有成果。 北京市高中生数学知识应用竞赛介绍王尚志：顺便我们想把数学知识竞赛做一个简单的介绍。数学应用知识竞赛经历了这么几个过程，第一个就是我们通常所说的初赛，我们将提供 6 道左右的现实生活当中的问题，让学生拿回家去做，可以参考各种各样的文献，也可以跟人家讨论，但是你一定要说我跟谁讨论过，做过一些什么。一个很开放的 team （团队），大家都可以从看到我们这样的一些问题，在附录里面我们可以做介绍。第二个环节 就是做论文，我们希望学生在日常生活当中发现一些问题，提出一些问题，或者也可以修改别人提出的问题，选择一个论文的题目。大概用一年左右的时间完成一个数学建模的过程。第三个环节就是有一个决赛，出一些题目，用两个半小时解决 6 道左右的现实生活当中的问题。相当于我们高考的应用题，但是比应用题更开放一些，阅读量也比较大。第四个环节就是我们做论文的评选，这是可能也是我们非常重要的一个环节，评选的结果我们要组织全国性的答辩活动，邀请北大、清华一些教育研究专家参与这个学生的答辩，有一些好的结果我们也推荐给一些学校。最后我们有一个评奖活动，这个评奖活动的厉害关系不是特别大，我们一直在淡化这件事情。但是实际上会给学生提供一定的好处，我们也希望有实验区的各个学校来参与这样的活动，我们参与这个活动的过程是公开的，也不收费，比如说初赛、决赛，大家都可以和我们张思明老师联系，我们可以参与到这样的活动来，给我们学生一个更开放的空间。 张思明： 王老师对北京市数学知识竞赛做了一个介绍。我们前面比较多的时间把数学建模的几种方式做了一个介绍，很多老师会说，数学建模可能对我来说有点儿困难，但是我想数学探究这个活动本身和我们日常教学有比较好的结合。我们也想请两位老师介绍你们在日常教学当中怎么利用课本或者教材，利用哪些环境让学生用探究的方式学习，你们有什么样的考虑，能不能举一些比较小的具体的例子？怎样利用教材和问题环境开展数学探究李大永：我看到数学有一些习题，这种 习题是老师首先做这个习题，发现它蕴含着更丰富的背景在里面。比如解析几何当中的过焦点的直线，要从大学几何里面看有很多丰富的性质。另外圆锥曲线，椭圆双曲线，抛物线它们之间有内在的联系，比如椭圆有这种性质，其他曲线也有这种性质。我们把它作为一个问题提供给学生，我讲了一个椭圆的问题，然后椭圆还有什么其他的问题，请学生去类比研究其他的曲线。这就是做个小活动可以写出来，每次搞大约班里面相对比较优秀的学生，十几个人他们写出成型的小文章，如果比较好的就贴在教室的后面，推荐给大家看一看。还有双曲线这块，在初中学反比例函数双曲线，这个双曲线和高中学圆锥曲线是什么关系，它们到底是不是一回事？让学生去研究。研究完了以后再引他“耐克函数”，这个“耐克函数”跟它是什么关系。从我们画出图象或者电脑画出来以后也有间距线，有间距线是不是也是双曲线，如果是的话怎么证明呢？这个引导学生就是一步一步深入的学习。张思明：它（数学探究）和课堂学习联系更密切，但是我们不希望用结果形式告诉，（而是）让学生去探究。李大永：他经过这个过程去用学习的这些内容，像函数这块实际背景是很丰富的，有时候就提供他这个实际背景的东西。有一本书摘录汽车里面的刹车距离，人的反应时间，现在交通事故总出追尾的事故，怎么避免追尾事故，这个时候要考虑到人的反应时间，在这个里面起多大的作用。包括交通上，高速路上车速，提高车速，好象路的交通流量就大了。我们考虑了通行量的问题，但是它有一个什么关系？当车速大到一定程度的时候，反而通行量会降低，因为你要保持和前车的距离会增加，这时候在车速很大的情况下，人的反应时间可能零点几秒就影响非常大。在车速比较低的时候可能提高车速，对车的通行量就有很大的提升。这中间都是一个什么样的关系，其实用的都是很一般的函数。二次函数、一次函数，还有反比例函