多项式与乘法公式.doc

多项式与乘法公式11 多项式的加减重点整理 1. 多项式 ：由数和文字元号进行乘法和加法运算所构成的式子，称为多项式。例如：3x + 5、2x2 - 3x + 1是x的多项式；6y2 - 3y是y的多项式；2x + 3y、x2 - 2xy + y2是xy的多项式。 2. 多项式的项与系数 ：多项式3x2 - 2x + 1中，3x2、- 2x、1都称为这个多项式的项。3x2这一项中，3是x2的系数；- 2x这一项中，- 2是x的系数；1称为常数项。 3. 多项式的次数 ：一个多项式中，以次数最高的项的次数为多项式的次数。例如：3x2 - 5的次数为2，5x + 3的次数为1。不为0的常数多项式，次数为0；零多项式不讨论次数。 4. 降序排列 ：将一个多项式的各项按某一文字元号的次数由大到小排列，这种排列方式称为降序排列，如3x3 - 2x2 - 5x + 1。 5. 升幂排列 ：将一个多项式的各项按某一文字元号的次数由小到大排列，这种排列方式称为升幂排列，如6 - 3y + 2y2。 6. 同类项 ：两项所含的文字元号相同，且相同文字元号的指数也相同，称为同类项；常数项都是同类项。 7.用横式做多项式加、减运算时，如果有括号，应先去括号，再合并同类项。 8.用直式做多项式加、减运算时，通常先把多项式按降序排列，并将同类项对齐，再将系数相加或相减。 9. 分离系数法 ：即直式运算中，省略文字元号，只写出各项系数。在写出系数时，遇到缺项，通常都补0。课本基础题一、选择题（ C ）1.下列何者为x的多项式？(A) 5x2 - 4x + 3 = 0(B) 4x +(C) 3x - 5(D)6x - 4。（ D ）2.若ax2 + bx + c为一次多项式，则下列叙述何者正确？(A) a = 0，b = 0(B) a 0，b 0(C) a 0，b = 0(D) a = 0，b 0。（ B ）3.设a、b、k为常数，若x的多项式3x2 + kx - 3与3ax2 + 2bx + 3b相等，则下列叙述哪一个是正确的？(A) a = 3(B) a = 1(C) k = 2(D) k = 6。（ B ）4.设A、B为多项式，若A = - 5x2 - 7，B = 9x4 + 5，则A + B为几次多项式？(A) 2次(B) 4次(C) 6次(D) 8次。（ A ）5.设多项式A = ax + b，当x = 0时A = - 2，当x = 2时A = 4，则x = 3时，A =？(A) 7(B) 9(C) 11(D) 13。二、填充题 1.多项式 - 9x3 - 4x + 7为x的 3 次多项式，x2 系数为 0 ，常数项为 7 。 2.多项式A = - 3x + 7x2 + 5 - 9x3(1)将A按降序排列得： - 9x3 + 7x2 - 3x + 5 ；(2)将A按升幂排列得： 5 - 3x + 7x2 - 9x3 。 3.计算下列多项式的结果： (1)3x2 + 6 + 4x - 9 = 3x2 + 4x - 3 ；(2)6x + 4x2 + 3x2 - 9x - 4 = 7x2 - 3x - 4 ；(3)3x2 - 5 - 2x2 - 2x + 3 = x2 - 2x - 2 ；(4)(4x2 - 2x) + (3x2 - 7x) = 7x2 - 9x 。 4.设A为多项式，若( - 9x2 - 3x + 5) + A = - 3x2 + 5x - 4，则A = 6x2 + 8x - 9 。 5.设A、B为多项式，若A = - 5x2 - 9x + 1，B = 3x2 - 4x + 5，则：(1)A + B = - 2x2 - 13x + 6 ；(2)A - B = - 8x2 - 5x - 4 ；(3)2A - 3B = - 19x2 - 6x - 13 。三、综合题 1.计算下列各多项式，并将结果依降序排列：(1)( - 3x2 - 5x + 2) + (4x2 + 3x - 8) =？x2 - 2x - 6(2)(4 + 2x2 - 5x) - (3 - 4x2 + 8x) =？6x2 - 13x + 1(3)(4x2 - 5 + 3x) + (5x2 - 7 + x) + ( - 6x2 + 2x + 6) =？3x2 + 6x - 6(4)( - 8 - 3x) - (5 - 7x2 + 2x) + ( - x2 - 3x + 6) =？6x2 - 8x - 7 2.请利用直式计算下列各式，并将结果以降序排列：(1)(4x2 - 5x + 3) + (2x2 - 6x)(2)(6x2 - x + 2) + ( - 3x2 - 3x + 5)6x2 - 11x + 33x2 - 4x + 7(3)( - 5x2 + 2x - 1) - (3x2 - 4x + 2)(4)( - 7x2 + 2x - 5) + (2x2 - x + 6) + (3x2 + 2x - 8)- 8x2 + 6x - 3- 2x2 + 3x - 7 3.请利用分离系数法计算下列各式，并将结果以降序排列：(1)( - 3x2 + 9x - 7) + (4x2 - 5x + 9) =？x2 + 4x + 2(2)(9x2 - 2x) + (3x2 - 7) =？12x2 - 2x - 7(3)( - x2 + 2x + 7) - (4x2 + 8x - 3) =？- 5x2 - 6x + 10(4)( - 2x2 + 3x + 5) + (1 - 5x2 + 8x) + ( - 6x2 + 3x - 9) =？- 13x2 + 14x - 3 4.右图，相交的线段都互相垂直，试以x表示此图形的周长。2x - 1解3x - 418x + 84x + 9延伸进阶题一、选择题（ D ）1.设a、b、c为常数，若a2 + b2 = 0，则多项式ax2 + bx + c是何种多项式？(A)四次(B)三次(C)二次(D)常数多项式。（ A ）2.若(a2 - 1) x2 + (2a2 + a - 1) x + (b - 5)为零次多项式，则下列叙述何者正确？(A) a = - 1，b 5(B) a = 1，b 5(C) a = - 1，b = 5(D) a = 1，b = 5。（ D ）3.设A、B都是4次多项式，若A + B = C，则多项式C的次数为下列何者？(A) 8次(B) 4次(C)高于4次，但低于8次(D) 4次或低于4次。（ B ）4.若ax3 + 2x2 - x3 + ax2 - 3x + 4为x的二次多项式，则化简后可得x2的系数为何？(A) - 1(B) 3(C) 1(D) - 3。（ B ）5.3x2 - 5x + 6与4x2 + 2x - 3的和加上多项式A之后，成为零多项式，则A =？(A) 7x2 - 3x + 3(B) - 7x2 + 3x - 3(C) - x2 - 7x + 9(D) x2 + 7x - 9。二、填充题 1.设a、b为常数，若a - 3x3 + b + 5x2 + ax + b为x的一次多项式，则a = 3 ，b = - 5 ，当x = 5时，这个多项式的值为 10 。 2.若(x2 - ax - 3) - (bx2 - 2x + c)的结果为x的零多项式，则a = 2 ，b = 1 ，c = - 3 。 3.多项式x2 - 2xy + y2，(1)依x的降序排列： x2 - 2xy + y2 ；(2)依x的升幂排列： y2 - 2xy + x2 。 4.计算下列各式：(1)3a2 - 2ab - b2 - 2ab + 5a2 = 8a2 - 4ab - b2 ；(2)x2 - 2y2 + 4x2 - 5xy - xy = 5x2 - 6xy - 2y2 。三、综合题 1.计算下列各式：(1) =？6x2 - 8xy - 4y2(2)6a2 - 3a - (5a2 - 4a) - 7a =？11a2(3)=？5a2 + 4ab + 6b2(4)=？- 2x2 - 4xy + 10y2(5)=？7a2 + 3ab + 3b2 2.设A为多项式；若A +，则A =？解- 7x2 + 7xy - 12y2 3.设a、b为常数，A = a (x2 + 2x - 1) + b (x2 + 3) + 4x - 5，若A为零次多项式，则A =？解3 4.设A = 2x2 - 3x + 1，B = x2 + 2x，C = 3x - 5，求2A - 3B + C =？解x2 - 9x - 3 5.A、B为多项式，且2A + B = 8x2 - 5x + 3，3A - 4B=x2 - 2x + 32，求A、B。解A = 3x2 - 2x + 4B = 2x2 - x - 512x + 32x - 1x + 34x - 2 6.如右图，若两线段相交相互垂直，求右图的周长。解38x + 6 7.有一个多项式ax2 + 5x + c以x = 2代入，其值为16，以x = - 1代入其值为- 8；当x = 1代入此多项式的值为何？解2资优挑战题 1.如右图，4x、6x、2x分别为三个小半圆的直径，外围是一个大半圆，求甲部分的周长。解 12p x 2.如右图的圆，若直径，且，求斜线区域(PAB)的周长。（以x表示）解 9p x 3.有一个多项式A = - 12587x + 9569143；当x为下列何数时A的值最大？968，- 968，14296，- 14296，98764，- 98764解 - 98764 4.设x的多项式=，求：(1)a + b + c + d + e的值(2)a - b + c - d + e的值解 (1) 19(2) - 3 5.A、B为x的多项式，A = x2 + ax + b，B = ax2 + bx + 25，若以x = 5代入A、B两多项式所得的值相等。求a：b的值？解 -12 多项式的乘法与乘法公式重点整理 1.两单项式相乘时，系数与系数相乘，文字元号与文字元号相乘。 2.一个单项式乘以一个多项式的积，就是单项式与多项式的每一项乘积的和。 3.a、b、c、d为任意数，利用分配律得(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 4.两多项式相乘的结果，是其中一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项乘积的和。 5.展开多项式的乘积时，可用横式、直式与分离系数法。 6. 和的平方公式 ：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。 7. 差的平方公式 ：(a - b)2 = a2 - 2ab + b2。 8. 平方差公式 ：(a + b)(a - b) = a2 - b2。课本基础题一、选择题（ D ）1.若多项式A = ( - 4x2 + 9x - 5)，B = (3x2 - 4x + 2)，则A B的积中，x2的系数为何？(A) - 12(B) - 23(C) - 36(D) - 59。（ C ）2.若多项式A = 3x + 1，B = 3x - 1，则A2 + 2AB + B2 =？(A) 18x2 + 12x + 2(B) 18x2 - 12x + 2(C) 36x2(D) 1。（ B ）3.(x2 - 5x)与(x4 - 3)的乘积是x的几次多项式？(A) 8次(B) 6次(C) 4次(D) 2次。（ A ）4.若2392 - 2612 = 500 a，则a =？(A) -22(B) 22(C) -68(D) 68。（ C ）5.若9992 = A + 1，则A =？(A) (999 + 1)2(B) (999 - 1)2(C) (999 + 1)(999 - 1)(D) (999 - 1)2。二、填充题 1.展开下列各式(1)2x2(x - 5) = 2x3 - 10x2 ；(2)(x + 1)(x - 1) = x2 - 1 ；(3)(2x - y)2 = 4x2 - 4xy + y2 ；(4)(x + 2y)(x - 3y) = x2 - xy - 6y2 ；(5)(a2 - b)2 = a4 - 2a2b + b2 ；(6)(x2 - 2x)2 = x4 - 4x3 + 4x2 。 2.利用乘法公式计算下列各式的值(1)10012 = 1002001 ；(2)9992 = 998001 ；(3)397 - 403 = 159991 ；(4)(27)2 - (22)2 = 250 ；(5)9982 - 4 = 996000 。 3.若(5 - x)(6 + x) = - x2 + px + q则p = - 1 ，q = 30 。 4.若大圆的半径87公分，小圆半径13公分，则大圆的面积减去小圆的面积= 7400p 平方公分。 5.若A = (x - 1)，B = (x + 1)，C = 2x - 5，则：(1)(A + B) C = 4x2 - 10x ；(2)A B + C = x2 + 2x - 6 ；(3)A B C = 2x3 - 5x2 - 2x + 5 。三、综合题 1.展开下列各式：(1)(5x - 3)(2x + 8) =？(2)(3x + 1)2 =？10x2 + 34x - 249x2 + 6x + 1(3)(x + 1)(x - 1)2 =？(4)(x - 1)2 + (x + 1)2 =？x3 - x2 - x + 12x2 + 2(5)(2x + 3)(x - 5) + (x + 1)2 =？(6)( - 5x + y)2 =？3x2 - 5x - 1425x2 - 10xy + y2(7)(6x + 1)(x2 - 3x + 1) =？(8)(3x - 2y)(3x + 2y) =？6x3 - 17x2 + 3x + 19x2 - 4y2(9)(2x + 1)2 - 3x + 5 =？(10)(x - 2)(x + 2)(x2 + 4)(x4 + 16) =？4x2 + x + 6x8 - 256 2.设A为多项式，且A + (2x - 1)(3x + 4) = 5x2 - 4x + 5。求A =？解- x2 - 9x + 9 3.已知梯形的上底是(8 - x)，下底是(3x - 12)，高是(x - 4)，求梯形的面积。解x2 - 6x + 8 4.(1) 展开(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2)(2)利用(1)式，展开(x2 - 2x + 4)(x2 + 2x + 4)解(1)a4 + a2b2 + b4(2) x4 + 4x2 + 16延伸进阶题一、选择题（ B ）1.( - a + b)2与下列何者相等？(A) - (a - b)2 (B) (a - b)2 (C) (a + b)2 (D) ( - a - b)2。（ D ）2.若(999.5)2 = 9992 + a，则a =？(A) 0.25 (B) 0.5 (C) 1998 (D) 999.25。（ B ）3.已知a = 9998 9998、b = 9997 9999、c = 99972 + 2 9997 + 2，a、b、c的大小关系为下列何者？(A) a b c (B) c a b (C) b c a (D) c b a。（ C ）4.若a = 312，b = 511，则a2 - 2ab + b2 =？(A) 398 (B) 3980 (C) 39800 (D) 38800。（ C ）5.若ab = k(a + b)2 - (a - b)2，则 k =？(A) (B) (C) (D)。二、填充题 1.(x - 1)2 - 3x = x2 - 5x + 1 。 2.(2x + 3)2 - 4x2 = 12x + 9 。 3.(3x2 - 4x + 5)(4x2 - 2x + 1) = 12x4 - 22x3 + 31x2 - 14x + 5 。 4.(6x - 1)(2x + 1) = 12x2 + 4x - 1 。 5.(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 。 6.若48.52 = 482 + a，则a = 48.25 。 7.若2094 1906 = 20002 - a2，则a = 94或 - 94 。三、综合题1. 计算下列各式：(1)(x + 3)2(x - 3)2 =？(2)(2x - 5)(2x + 5) - 5x - 8 =？x4 - 18x2 + 814x2 - 5x - 33(3)(3x + 1)2 - (3x - 5)2 =？(4)(x - 2y)(x + 3y) =？36x - 24x2 + xy - 6y2(5)(6x + 1)2(3x - 1) =？108x3 - 9x - 1 2.利用分离系数法计算下列各式：(1)(2x - 6)(3x + 7) =？(2)(x2 - 2x + 3)(x - 5) =？6x2 - 4x - 42x3 - 7x2 + 13x - 15(3)(x + 4)(2x2 - 3x + 1) =？(4)(x2 - 3x + 1)(x - 4)2 =？2x3 + 5x2 - 11x + 4x4 - 11x3 + 41x2 - 56x + 16(5)(2x2 + 5x - 6)(3x2 - 2x) =？6x4 + 11x3 - 28x2 + 12x 3.若x += - 3，则x2 +的值为多少？解7 4.设a + b = 3，ab = - 4求：(1) a2 + b2 =？ (2) (a - b)2 =？ (3)+=？解(1)17 (2)25(3) 5.若a + b = 5，(a2 - b2) = 10求(a2 - ab + b)(a2 + ab + b)的值解 6.若a2 + 2a - 4 = 0，则(a - 1)(a + 3) =？解1 7.若x -= 8，且y -= 7，则xy +=？解：58资优挑战题 1.设a + b = 5，b + c = 6，c + a = 7，求(1)a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc的值。(2)a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac的值。解(1) 55(2) 81 2.设2a2 - 7a - 4 = 0(1)求(2a - 1)(a - 3)之值。(2)试将写成a的一次多项式。解(1) 7(2) 3.求x2 + 4x + 1的最小值。（注：配成(x + a)2 + b的形式）解- 3 4.(1) 展开(x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)(2) 展开(2x + y - 5)(4x2 + y2 + 25 - 2xy + 10x + 5y)解(1) x3 + y3 + z3 - 3xyz(2) 8x3 + y3 - 125 + 30xy 5.abc 0，且=，x =，求x的值。解- 1或813 多项式的除法重点整理 1.在多项式除法中，(1)余式不为0时，余式的次数必小于除式的次数；(2)余式为0时，即为整除。 2.多项式除法满足被除式 = 除式商式 + 余式的关系，我们可以利用这个关系式来检验求得的商式与余式是否正确。 3.多项式除以多项式时，先按同一文字元号做降序排列，再用直式算法来演算。 4.除法也可以用分离系数法来演算。和乘法一样，用分离系数法计算除法时，如果有缺项都必须补0。课本基础题一、选择题（ D ）1.若以2x + 5除多项式A，所得的商式为3x - 1，余式为- 5，则A =？(A) 6x2 + 17x(B) 6x2 + 17x - 10(C) 6x2 + 13x(D) 6x2 + 13x - 10。（ D ）2.设A、B为多项式，若A B的余式为三次多项式，则下列何者不是多项式B的次数？(A)零次(B)一次(C)二次(D)三次。（ C ）3.若A、B分别为x的三次与二次多项式，则下列叙述何者正确？(A) A + B为x的五次式(B) AB为x的六次式(C) A B的商式为x的一次式(D) A - B为x的一次式。（ A ）4.若= (x + 3) + B，则B =？(A) (B) (C) 7 (D) 1。（ A ）5.若多项式除以的余式为ax + b，则a + b =？(A) 1 (B) - 1 (C) 3 (D) - 3。二、填充题 1.计算下列各式的结果：(1) = 15x ；(2) = - 15 x ；(3) 2ab =；(4) ( - 8x) = - 3x 。 2.求下列各式的商式及余式：(1)(21x2 + 12x) ( - 3x)商式 = - 7x - 4 ，余式 = 0 ；(2)(18a2 + 6a + 7) (4a)商式 = ，余式 = 7 ；(3)(x2 - 2x + 1) ( - x + 1)商式 = - x + 1 ，余式 = 0 ；(4)(x2 - 27x - 15) (x - 6)商式 = x - 21 ，余式 = - 141 ；(5)( - 2x2 + 5x + 1)( - 4x + 2)商式 =，余式 = 3 。3.有一长方形面积为(3x2 - 4x - 15)平方公分，若宽为(x - 3)公分，则长 = 3x + 5 公分。三、综合题 1.求下列各多项式除法的商式与余式：(1)(x2 + 3x + 2) (x + 1)(2)(x2 - 5x + 1) (x - 1)商式：x + 2 余式：0商式：x - 4 余式：- 3(3)(x2 - 13x - 30) (x - 15)(4)(2x2 - 3x + 4) (x + 2)商式：x + 2 余式：0商式：2x - 7 余式：18(5)(3x2 - 6x - 7) (3x - 1)(6)(3x2 + 5x) (x + 4)商式：x - 余式：-商式：3x - 7 余式：28(7)(16x2 - 1) (4x + 1)(8)(3x2 + 5x) (2x - 1)商式：4x - 1 余式：0商式： 余式： 2.设k为常数，且多项式x2 + kx + 11x - 6，能被x - 2整除，则k =？解k = - 10 3.设A为多项式，且A(3x + 5) = 6x3 + 7x2 - 14x - 15，求A =？解A = 2x2 - x - 3 4.设A为多项式，且 = (x + 2) -，求A =？解A = - x2 + 2x + 2 5.计算：(8x2 + 2)(2x + 1) - 5除以2x - 1的商式及余式。解商式：8x2 + 8x + 6 余式：3延伸进阶题一、选择题（ C ）1.若多项式x4 + 3x3 - 2x2 - 5x + 10除以x2 - x - 2的余式为ax + b，则下列何者正确？(A) a = - 18(B) b = 7(C) a + b 0(D) ab 0。（ D ）2.多项式x4 - 4x3 + x2 - 2x - 1除以(x + 1)2的余式为何？(A) 7(B) - 7(C) 3x - 8(D) - 20x - 13。（ B ）3.若多项式A被x - 1除，得商式x2 + x + 1，余式为1，则多项式A与(x + 1)的乘积被x - 1除，所得余式为何？(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4。（ A ）4.若 x3 = (x2 + 1)Q + R，其中R为x的一次多项式，则R =？(A) - x(B) x(C) x - 1(D) x + 1。（ C ）5.若多项式A除以多项式B，得商式Q，余式R，则3A B的商式与余式为下列何者？(A)商式3Q，余式R(B)商式Q，余式3R(C)商式3Q，余式3R(D)商式，余式R。二、填充题 1.求下列各式的商式与余式：(1)(2x2 - 5) (3x + 1)商式 = 余式 =；(2)(5a2 + 9a - 63) (a - 2)商式 = 5a + 19 余式 = - 25 。 2.有一三角形的底边长为(2x + 1)公分，面积为(6x2 + 13x + 5)平方公分，则高为 6x + 10 公分。 3.计算x4 (x - 2)的商式 = x3 + 2x2 + 4x + 8 ，余式 = 16 。