大师间的讨论1.doc

【To：冯祖鸣 Three Problems Sat, 13 May 2006 23:23:39 +0800 (CST)】Hi，Zuming今天做了三个挺有意思的小题，是一位网友传来的。附上供一阅。06-05-13附件：闵飞doc（197KB）；06051302gsp（52KB）【From：闵飞 几道三点共线与特殊角的命题 Tue, 9 May 2006 14:36:14 +0800 (CST)】叶老师:您好!近日,用几何画板画了几道三点共线与特殊角互为充要条件的命题,只给出第一道的证明,余下两题没想出好的办法,在此发出在附件中,请叶老师看一看. 闵飞2006,5,9. 附件：三点共线与特殊角等价doc（114KB）题目1：过A作ABC的外接圆的切线，交BC的延长线于P点，APB的平分线依次交AB、AC于D、E，BE、CD交于Q，求证：BAC=的充要条件是O、P、Q共线。题目2：在ABC中，A的平分线交BC于D，ABC、ABD、ACD的外接圆圆心分别为O1、O2、O3，且O是O1O2O3的外心，求证：BAC=的充要条件是B、O、C共线。题目3：在ABC中,AB、BC、AC均不相等，BC的中点为D，在直线AC、AB上分别取点E、F，使BF=CE=BC，记ABC的角A内的旁心为I，AEF的外心为O，求证：BAC=的充要条件是O、D、I共线这里给出题目1的证明：首先证明AQOP过P作O的另一条切线，切点为T，设AT与BC交于F，由角平分线性质知：，又=从而由Ceva定理知AF、BE、CD三线共点于Q结合ATOP有AQOP必要性：设BAC=，在ADE中，ADE=ABP+BPD=PAC+APD=AEDADE是等边三角形又，且BDE=DEC=BDEDEC DBE=EDCEDC+BED=DBE+BED=ADE=BQC=DQE=又BOC=2BAC=O、B、C、Q四点共圆，A、D、Q、E四点共圆OQD=OBC=，DQA=DEA=OQAQ结合前已证AQOP有O、P、Q共线。充分性：设O、P、Q共线，则OAP=OQA=PA2=PQPO，又PA2=PCPBPQPO=PCPBO、B、C、Q四点共圆从而，且有QE平分AQC，即AQE=CQE另一方面由O、B、C、Q四点共圆知OQD=OBC=OCB=OQB=PQE结合OQA= PQA =知DQA= AQE由、知DQA=AQE=CQE=从而BQC=BOC= 2BAC=即有BAC=【To：闵飞 回复】闵飞老师：你好！三个题已收到，非常有趣。我都已给出了解答。题目1我是直接用计算的办法，与你原有的方法稍许不同。虽有些烦琐，但揭示出了内在关系：【证明】如图，连接AQ，延长后交BC于D，交外接圆于T。由PABPCA及角平分线定理，知。在ABC中，由Ceva定理， 。由此知AD是类似中线，故。在ADC中，由Menelaus定理，即， 。得 。又取中线AM，由ABMATC， ，得。O、Q、P共线Q是AT中点即。将、代入得，而，得。由余弦定理， 。证毕题目2我给出了如下简证：【证明】分别记ABC、ABD、ACD的外心为O、O1、O2，OO1O2的外心为O。作出ABC的外接圆，并取中点N。不难证明A、N、O、O1、O2五点共圆。显然NOBC。为使B、O、C共线，即N、O关于BC轴对称，必须且只需满足BOCBNC，而 BOC3602A （注：O与顶点A位于BC边异侧）， BNCA， 3A360，即A120。证毕题目3的图形以往我曾经讨论过，我正是借用以前所得到的某些结论来证明的：【证明】作ABC的外接圆并取上、下的中点N、M。记ABC的内、外心为I、O。记AEF的外心为O。可以证明OION是平行四边形。为使O、D、I1共线，在I1O I中利用中位线知，必须也只需满足 。而 ， （外接圆半径），代入得 ，而由正弦定理， ，即， ， 。 。证毕这三个题中我认为题目2最有挖掘余地，例如可探究一般情况下（即AD是任意Ceva线）何时O落在BC上。在几何画板中，可由ABC逆向构造出满足上述条件的AD，它是唯一确定的。画板表明当A的大小不变时，直线AD的包络是二次曲线，以外接圆垂直于BC的那条直径为其长轴。当A90，包络恰好重合于外接圆；这时AD成为外接圆的切线。这时可改编为如下一题：“RtABC中，A90，过A外接圆的切线与BC延长线交于P点，O1、O2分别是PAB、PAC的外心。求证：O1O2的中点在斜边BC上。”而当A60或120时，包络会退化成线段。这时AP分别是外角平分线和内角平分线，前者就是你这题的情形，后者也可叙述成一个类似的题。另外，当A的大小固定（有向角）时，O1、O2的轨迹是分别经过顶点B、C和外心O的等轴双曲线，如下图中绿色和红色所示。由本题的证明过程还可引申出如下更一般些的图形：设N是ABC上任意一点，过N作BC的垂线交外接圆于另一点M，连接AM交BC于D，则ABD、ACD的外心O1、O2分别在NB、NC上，且A、N、O、O1、O2五点仍保持共圆！请参见所附的06051302gsp。不知这题原先的背景如何，是否由某竞赛题改编而成？暂写这些。祝 好！叶中豪06-05-13【From：冯祖鸣another way to ask the question Tue, 16 May 2006 19:02:41 -0400】Hi,the three problems you sent recently are interesting. I agree that problem 2 has lots of ideas in it. Here is my variation:Let $ABC$ be a given triangle. Point $D$ lies on side $BC$. Let $O_1$ and $O_2$ are the circumcenters of triangles $ABD$ and $ACD$, respectively. Let $O$ be the circumcenter of triangle $AO_1O_2$. As $D$ moves along segment $BC$, what is the locus of $O$?What do you think?Zuming FengPEA【To：冯祖鸣 回复： Wed, 17 May 2006 10:38:39 +0800 (CST)】Hi，你的问题答案如下：当D点在BC直线上运动时，记ABC的外心为O，则因A、O1、O2、O四点始终共圆（Salmon定理），故所共圆的圆心O轨迹是线段AO的中垂线。（注意：这时A、O两点都是定点。）这两天仍继续在此题的图形中作些探讨，又有若干小的结果：（1）所共圆经过D点的充要条件是A90。（2）当AD是ABC外接圆的切线时，所共圆与BC的中垂线相切于O点。且此时所共圆的直径总是R（ABC的外接圆半径）；等号成立当仅且当OABC。（注：上述结论是这样发现的在外接圆上拖动A点，观察所共圆的包络，形成共轴圆系，但有限制，圆最小不会小于外接圆的一半；圆心O也局限在两条射线上变化。）（3）Salmon定理的推广设D是ABC的BC边上任一点，延长AD交外接圆于M，作MNBC交外接圆于另一点N。又设O1、O2分别是ABD、ACD的外心。DO1交ACD的外接圆于X点，DO2交ABD的外接圆于Y点。则A、O1、O2、O、N、X、Y七点共圆。（4）一个有趣的模式设ABC的BC边固定，顶点A在外接圆上移动。P点是固定点，过A作ADAP，交BC于D点。ABD、ACD的外心分别为O1、O2，AO1O2的外心为O。则当A点运动时，O1、O2、O所描出的轨迹都是二次曲线，分别记为1、2、。其中1和2的离心率相同，分别经过B、C两点，且都经过外心O；的离心率与它们也有函数关系。经描点，函数图象大致如下图所示（乃是不连续的两段，出现两个尖点，且其中一段特别奇怪，呈现出一个小小的V字形），具体关系尚待研究。特别地，当P点取为外心O时，1、2同时成为等轴双曲线，而退化成射线（瘦死的双曲线）此即上述（2）中的情形。而当P点取在外接圆上时，则得到更重要的一种特例，这时，1、2、全退化成直线（乃是双曲线退化成其渐近线的情况，其中一支失去意义）此即上述（3）中的情形。最后这种情况非常有意思，想必还能从中挖掘出更为有趣的结论。叶中豪06-05-17附件：Hidoc（605KB）；06051302gsp（95KB）【From：冯祖鸣 RE: ?: Tue, 16 May 2006 23:13:05 -0400】I like the 90 degree variation. I think it can be a good problem 1, is it? My variation is too easy, is it? I tried to ide point O. But I think 90 degree version also did it. The original 120 degree version is fine too. I am think need a prolbem 1 (or 2)for USA Team Selection Test, what will be your suggestion? I put the adding two isosceles triangles problem (we tlaked about before) as problem 5. Please keep in mind the US students are not very strong on geo.Zuming FengPEA【From：冯祖鸣 RE: ?: Tue, 16 May 2006 23:24:02 -0400】In the generalization of Salmons theorem, how do you establish the fact that $X$ lies on the circle?Zuming FengPEA【To：冯祖鸣 continue Wed, 17 May 2006 12:15:04 +0800 (CST)】Hi，很快就收到了你的回复！你说的90度指的是哪题？是O1O2被BC平分那题？我后来想了一下，这题中的所有角度都很容易求出，似不适宜做赛题。等腰指的是哪题？闵飞的题如要用需征求他的同意。Salmon定理推广中，X、Y两点也在圆上是昨天刚刚发现的，还未找到好的证明。刚才最后所提到的模式，之所以很有意思，因为它把前面（2）、（3）两种情形统一在一起了。即使是1、2离心率相同也绝非是显然的，还未给出证明，仅仅是猜测！刚才又想了一种有意思的特例：当固定点P取无穷远点时，这时Ceva线AD方向恒定，这时1、2、退化成为三个等圆！由此可改编出如下一题：“设D是ABC的BC边上任一点，设O1、O2分别是ABD、ACD的外心。过ABC的外心O作OEAD交BC于E。求证：A、O、O1、O2，B、E、O、O1，C、E、O、O2分别共圆；且上述三圆为等圆。”这题难度不大，似可用作第1题。叶中豪06-05-17附件：continuedoc（30KB）【To：冯祖鸣 new discovery Wed, 17 May 2006 12:15:04 +0800 (CST)】又发现了重要的规律：当控制点P在BC的垂线上移动时，1、2、的离心率竟是固定不变的常数！从上述现象入手，有望揭开其离心率间函数关系的奥秘。叶中豪06-05-17附件：1doc（53KB）；1gsp（11KB）【To：冯祖鸣离心率规律搞清楚了！Wed, 17 May 2006 16:51:36 +0800 (CST)】花了整整一个下午，终于把1、2、的离心率之间的规律搞清楚了！函数关系式是：其中e是1和2的离心率，e是的离心率。但是当轨迹取双曲线时，其离心率可能在两个有效值之间跳动：e和，于是函数关系也可能变为等多种不同形式。上午那幅图中的函数图象就是因为杂揉了这几种形式从而造成分段和尖点的。在这一深刻联系的背后，还蕴含着很多有趣的不变属性，例如我观察到（当P点沿平行于BC的方向运动时）始终过两个定点；又如，当P点取定而BC边在外接圆中平移时，本身完全不变！1、2虽然在变，但其离心率还是不变。我正着手将这些现象总结成命题形式。估计可由此改编出不少题目。叶中豪06-05-17附件：2doc（50KB）；2gsp（22KB）【To：冯祖鸣 改编成一道题 Wed, 17 May 2006 17:38:28 +0800 (CST)】我将上午信中的（2）改编成如下一道题：“设AD是ABC的外接圆的切线，交BC边延长线于D点。O1、O2分别是ABD、ACD的外心。记ABC的外接圆半径为R，记过A 、O1、O2三点的圆的半径为r。求证：R2r；等号成立当且仅当BC90（注：这时ADBC）。”其中等号成立的充要条件也可表述为三角形式：“当且仅当cos A 2sinBsinC时”。叶中豪06-05-17附件：3doc（24KB）；06051701gsp（5KB）【From：冯祖鸣 RE: ? Wed, 17 May 2006 09:09:35 -0400】This is the prolbem I am using:Let $ABC$ be a triangle. Points $P$ and $Q$ are constructed outside of the triangle with $AP = AB$ and $AQ = AC$ and $ang BAP = ang CAQ$. Segments $BQ$ and $CP$ meet at $R$. Let $O$ be the circumcenter of triangle $BCR$. Prove that $AO perp PQ$.I think you just gave me too options, I do not need to use 120 degree version. But relate my thanks to Ming Fei.Zuming FengPEA【To：冯祖鸣 回复： Thu, 18 May 2006 11:52:40 +0800 (CST)】回家后一想，发觉Salmon定理推广中的七点共圆结论乃是平凡的， X、Y两点在圆上也很易说明。可改述为如下简化命题： “如下图，设D是BC上任意一点。O1、O2分别是ABD、ACD的外心。DO1交O2于E，DO2交O1于F。求证：A、O1、O2、E、F五点共圆。” （06051702gsp）注意到B、O、F；C、O、E分别共线，还可叙述为： “如下图，设D是BC上任意一点。O、O1、O2分别是ABC、ABD、ACD的外心。直线DO1与CO交于E，直线DO2与BO交于F。求证：A、O、O1、O2、E、F六点共圆。”这两题都可直接从角度关系导出，不适宜作赛题。昨天所编一题中，后来一想， R2r其实是显然的，只要知道所共圆经过外心O即可（不过题中并没有直接告诉，而需靠解题者自己去发觉；Salmon定理并不广为熟知）。这题好在等号成立的条件并不明显，这才是本题精彩的部分。AD取外接圆切线其实也不必要，对任意Ceva线结论也一样。只要将固定点P取在BC的中垂线上，就可作出类似的共轴圆系。等号成立的条件是ADBC（06051701gsp）今晚上探索的成果并不如想象中丰盛，只得到两三个结果，不过最后一个很是令人惊奇。第一个结果是： “如下图，作AD的垂线AE，交BC边的中垂线于E，延长AD，交平行于BC的切线于F，记EF的中点为L。则E、L皆在Salmon圆上，且L恰是弧O1O2的中点。” （06051703gsp）这个结果说明了当BC边平移时，前述轨迹为何不发生变化。第二个结果是从退化的轨迹总结而得到的：“如下图，设ABC的AB、BC两边与某椭圆相切，且BC平行于椭圆的长轴。A、C两点在以椭圆长轴为直径的圆上。则ABC的外心O到BC边的距离等于椭圆短轴的四分之一。” （06051704gsp）第三个结果是今天所有结论中最漂亮的：“ABC中，设O是AD所对应的Salmon圆的圆心。求证：（1）ODBC的充要条件是：AD恰好经过ABC的九点圆心！（2）记ABC的九点圆心为Ni 。作OEBC，垂足为E。则Ni EAD！” （06051705gsp）叶中豪06-05-17附件：4doc（59KB）；06051701gsp（9KB）；06051702gsp（10KB）；06051703gsp（5KB）；06051704gsp（8KB）；06051705gsp（9KB）【From：冯祖鸣 solution Wed, 17 May 2006 22:49:01 -0400】Hi, I look at your new 90 degree version (tangent to circumcircle at $A$), show that R = 2r. i find it very simple:Easy to see that triangle $ABO$ is similar to triangle $ADO_2$, so triangle $AOO_2$ is similar to triangle $ABD$. 2Rsin C = AB = 2sin C AO, 2rsin D = AO;so R/r = 2sin D = 2, equality with D = 90dg; that is ADperp BC.Zuming FengPEA【From：冯祖鸣 RE: ?: Thu, 18 May 2006 12:29:12 -0400】I have a question:In a lecture or a small test, can I use Ming Feis problems? Can you ask for me? He can still submit his problems to magazines, and so on. I am not sure about the such rules in China.What I usually do is the following: If I will write a book collecting these problems, I will put the original authors on (this seems not true in manyChinese MO books). But when I gave lectures to students, sometimes I put it on the hand-outs, sometimes not. But I do tell the audience the original author. If I put it on a practice test (not the big ones like USAMO, or USA team