高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 习题课2 抛物线方程及性质的综合应用课件 北师大版选修21.ppt

习题课 抛物线方程及性质的综合应用 一 二 一 利用抛物线的定义解题若抛物线的焦点为f 准线为l 点p在抛物线上 则点p到点f的距离等于点p到准线l的距离 一 二 二 抛物线的焦半径与焦点弦1 抛物线的焦半径抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径 其长度如下 一 二 2 抛物线的焦点弦过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦 若抛物线y2 2px p 0 的焦点弦的端点a x1 y1 b x2 y2 则有以下结论 1 ab x1 x2 p 2 ab 2x0 p x0是a b两点横坐标的中点值 3 ab垂直于对称轴时 ab叫通径 焦点弦中通径最短 6 以ab为直径的圆必与准线相切 一 二 做一做1 抛物线y2 8x上一点p到x轴距离为12 则点p到抛物线焦点f的距离为 a 20b 8c 22d 24 答案 a 解析 抛物线标准方程为y2 6x 2p 6 故通径的长度等于6 答案 c 一 二 做一做3 过抛物线y2 8x的焦点 作倾斜角为45 的直线 则它被抛物线截得的弦长为 a 8b 16c 32d 61解析 由抛物线y2 8x的焦点为 2 0 得直线的方程为y x 2 代入y2 8x 得 x 2 2 8x 即x2 12x 4 0 所以x1 x2 12 弦长为x1 x2 p 12 4 16 答案 b 做一做4 若抛物线y2 16x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离 则点p的坐标为 解析 根据抛物线的定义可知 点p到焦点f的距离等于它到顶点o的距离 因此点p在线段of的垂直平分线上 而f 4 0 所以p点横坐标为 2 代入抛物线方程得y 4 故点p的坐标为 2 4 答案 2 4 一 二 做一做5 已知抛物线x2 4y 经过其焦点f的直线与抛物线相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 求证 y1y2为定值 证明 抛物线x2 4y的焦点f 0 1 设直线ab的斜率为k 则其方程为y 1 kx 探究一 探究二 规范解答 利用抛物线的定义解决问题 例1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 且经过点m 2 y0 若点m到焦点的距离为3 则 om 等于 答案 b反思感悟利用抛物线的定义解题 其实质是利用抛物线的定义 进行了两种距离之间的一种转化 即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化 通过这种转化 可以简化解题过程 探究一 探究二 规范解答 变式训练1在抛物线y2 12x上 与焦点的距离等于9的点的坐标是 解析 抛物线的焦点为f 3 0 准线x 3 抛物线上的点p 探究一 探究二 规范解答 例2 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时点p的坐标 思维点拨 根据抛物线的定义 就是在抛物线上找一点p 使得点p到点a的距离与点p到准线的距离之和最小 然后可借助平面几何知识求解 探究一 探究二 规范解答 解 如图所示 作pn l于点n l为准线 作ab l于点b 则 pa pf pa pn ab 当且仅当点p为ab与抛物线的交点时 等号成立 探究一 探究二 规范解答 反思感悟这类与抛物线有关的最值问题 一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离 可利用抛物线的定义 即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离 构造出 两点间线段最短 或 点到直线的垂线段最短 使问题获解 探究一 探究二 规范解答 变式训练2定点m与抛物线y2 2x上的点p之间的距离为d1 点p到抛物线准线l的距离为d2 则d1 d2取最小值时 点p的坐标为 探究一 探究二 规范解答 解析 如图所示 连接pf 则d1 d2 pm pf mf 知d1 d2最小值是 mf 当且仅当点p在线段mf上时 等号成立 而直线mf的方程 答案 c 探究一 探究二 规范解答 抛物线的焦点弦问题 例3 已知抛物线方程为y2 2px p 0 过此抛物线的焦点f的直线与抛物线交于a b两点 且 ab p 求ab所在直线的方程 思维点拨 依题意只需求出直线ab的斜率即可利用点斜式求得方程 可根据焦点弦长度公式求解 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 方法二 探究一 探究二 规范解答 反思感悟求抛物线的焦点弦长度的两种方法 一是运用一般的弦长公式 二是直接利用焦点弦长度公式 即如果ab是抛物线y2 2px p 0 的一条过焦点f的弦 a x1 y1 b x2 y2 则弦长 ab af bf x1 x2 p 这种方法的实质是利用焦半径 把点点距转化为点线距 点到准线的距离 解决 这体现了抛物线的定义的重要应用 探究一 探究二 规范解答 变式训练3设抛物线c y2 4x f为c的焦点 过f的直线l与c相交于a b两点 1 设l的斜率为2 求 ab 的大小 解 1 依题意得f 1 0 所以直线l的方程为y 2 x 1 设直线l与抛物线的交点a x1 y1 b x2 y2 所以 ab af bf x1 x2 p 3 2 5 探究一 探究二 规范解答 2 证明 设直线l的方程为x ky 1 设直线l与抛物线的交点a x1 y1 b x2 y2 ky1 1 ky2 1 y1y2 k2y1y2 k y1 y2 1 y1y2 4k2 4k2 1 4 3 探究一 探究二 规范解答 抛物线中的定点与定值问题 典例 如图 过抛物线y2 x上一点a 4 2 作倾斜角互补的两条直线ab ac交抛物线于b c两点 求证 直线bc的斜率是定值 审题策略 欲证明直线bc的斜率为定值 可写出直线bc的方程 然后说明其斜率为定值 或直接用k0 写出斜率 然后说明k0的值与参数无关 而已知直线ab ac过定点 ab与ac两直线倾斜角互补 故两直线方程可用同一参数 直线ab的斜率k 来表示 探究一 探究二 规范解答 规范展示 设直线ab的斜率为k k 0 因为直线ab ac的倾斜角互补 所以直线ac的斜率为 k k 0 又直线ab的方程是y k x 4 2 消去y整理得 k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 因为a 4 2 b xb yb 是上述方程组的解 探究一 探究二 规范解答 故直线bc的斜率为定值 探究一 探究二 规范解答 答题模板 第1步 由已知条件寻求直线ab ac斜率之间的关系 第2步 写出ab的方程并与抛物线方程联立 利用根与系数的关系求得点b的横坐标 第3步 根据ab ac斜率之间的关系 写出点c的横坐标 第4步 利用两点连线的斜率公式写出直线bc的斜率 整理得到结果 第5步 得出结论 探究一 探究二 规范解答 失误警示通过阅卷统计分析 发现造成失分的原因主要如下 1 不能根据ab与ac两直线倾斜角互补 得出其斜率互为相反数 从而无法用一个参数设出直线方程 2 直线方程与抛物线方程联立后 不能利用根与系数的关系正确地求得点b的坐标 3 考虑不到利用ab与ac的斜率互为相反数来写出点c坐标 4 化简整理出现错误 探究一 探究二 规范解答 变式训练已知抛物线y2 8x的顶点为o 点a b在抛物线上 且oa ob 求证 直线ab经过一个定点 因此直线ab经过定点 8 0 12345 1 抛物线y2 mx的焦点为f 点p 2 2 在此抛物线上 m为线段pf的中点 则点m到该抛物线准线的距离为 答案 d 12345 答案 b 12345 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 若x1 x2 6 则 ab 解析 ab x1 x2 p 6 2 8 答案 8 1