表面粗糙度测量中的高斯递归滤波算法.doc

表面粗糙度测量中的高斯递归滤波算法摘要 基于中心极限定理，提出了一个高斯滤波器逼近模型，并利用冲激响应不变法设计了一个数字高斯滤波器。通过级联方法，该滤波器的幅度传输特性偏差可控制在(-0.28%+1.14%)以内。该滤波器采用递归实现算法，算法简便，易于实现。在递归算法的基础上，给出了一种预测边缘初始值的方法，有效抑制了递归算法的边缘效应。实验结果表明，该滤波器能够稳定可靠地提取工程表面中线，在普通计算机上提取11200点数据表面中线仅耗时170ms，效率很高。关键词 计量学 表面粗糙度 高斯滤波器 边缘效应中图分类号 TP2 文献标识码 A 国家标准学科分类与代码 520.604Gaussian Recursive Filtering algorithm to Surface Roughness MeasurementAbstract Based on the central limit theorem, an approximation model of Gaussian filter is put forward. Then, a digital Gaussian filter is designed by combination with impulse invariant transformation and this model. Through the cascade use, the amplitude transmission deviation of this filter can be controlled within(-0.28%+1.14%). Its recursive algorithm is so simple that it is implemented easily. A method of forecasting the initial value of the edge is proposed to restrain the end effect caused by this recursive algorithm. Experimental results show that this filter can extract the mean line of engineering surface stably and reliably, once extraction of 11, 200 point data on a general computer only consumes 170ms, efficiency is demonstrated.Key words Metrology Surface roughness Gaussian filter End effect1 引 言在表面粗糙度测量中，表面中线的确定是一个关键问题，它对评定表面特征参数有着重要的作用1。中线的提取是依靠轮廓滤波器完成的。国际标准曾经规定2RC滤波中线作为表面粗糙度评定基准线，但由于2RC中线本身的非线性相移会扭曲滤波结果，最终被淘汰。1996年，ISO11562推荐高斯滤波器中线作为新的国际标准，时至今日，仍然被广泛采用2。高斯滤波的幅度特性是一个高斯函数，既要精确又要快速地进行高斯滤波并不是一件容易实现的事情。围绕着如何准确快速地实现国际标准中规定的传输特性，国际上众多学者进行了广泛的研究，继而出现了许多高斯滤波器的逼近算法和快速算法3-5。本文叙述了一种用高斯函数的逼近法和冲激响应不变法设计出的数字高斯滤波器，并给出了其零相移的递归滤波算法，算法简单，易于实现。但是由于采用递归的计算方法，其运算结果难免会出现边缘数据失真，这种失真也被称为边缘效应。给出了一种预测边缘初始值的方法，在最小二乘的原则下抑制边缘失真，有效保留了边缘特征。2 高斯滤波器的逼近方法根据ISO115622，高斯滤波器的权函数和传输特性分别为： (1) (2)其中是常数，为波长，是截止波长。，为采样间距，为采样点数，为截止波长内采样点数。高斯滤波器具有线性相位，而且当，高斯滤波器的幅频特性为50%，所以。对于高斯函数，可以由泰勒级数展开为。当时， (3)定义函数 (4)由中心极限定理可知，的级联可以逼近高斯函数，表示如下： (5)其中，为级联标识符。例如，时，式(5)为二阶级联，时，式(5)为十六阶级联。因为时的幅度传输特性为50%，所以 (6)对于单个逼近单元式(4)，由于，所以 (7)将代入上式，得到 (8)它的极点为，只有在左平面，所以 (9)即为设计高斯逼近滤波器的模拟滤波器原型。3 IIR型高斯逼近滤波器对式(9)应用冲激响应不变法，设计IIR型数字滤波器6,7。得到如下： (10)其中，同样对应的z变换为 (11)由式(10)(11)的两个数字滤波器就可以构成零相移滤波器，有： (12)由，可得 (13)以式(12)(13)这样的零相移滤波器，经2n-1阶级联，就可构成IIR型高斯逼近滤波器。 (14)图1给出了一阶，四阶，八阶，十六阶高斯逼近滤波器的幅度传输特性图。可以看出，逼近滤波器的幅度传输特性随着级联阶数的增加逐渐逼于高斯滤波器。图2给出了逼近滤波器相对高斯滤波器的传输特性偏差。由图2可知，阶数越高，偏差越低，当采用十六阶级联时，其传输特性偏差仅为(-0.28%+1.14%)，接近1%，远小于ISO11562规定的高斯简化算法5%的传输偏差。图1 高斯滤波器与逼近滤波器幅度传输特性图2 逼近滤波器的传输特性偏差4 差分递归算法方程(14)是零相移的无限冲激响应(IIR)数字滤波器。设x(i) 是输入序列，r(i) 是中间计算结果，y(i) 是滤波器的输出序列。则输入信号x(i) 经过一级滤波后，将结果反序，再经过同一滤波器，就可以得到零相移滤波输出。方程(12)对应差分方程为： (15) (16)其中，N为评定长度上总的采样点数，i=1N。对于2n-1阶数字高斯逼近滤波器，就需要经过2n-1次式(15)(16)给出的两步递归运算。逼近滤波器的级联阶数越多，逼近精度越高，但计算时间也越长；反之，逼近精度减低，效率也就变高。由于具有零相移特性，因此滤波器结果不会出现相位失真。但由于采用递归算法，不可避免的要出现边缘失真。5 边缘效应的抑制边缘效应是存在于有限采样数据经过滤波器滤波后在数据边缘产生的数据失真。它也可以理解成数字滤波器滤波的过渡过程。考虑滤波器的单位冲激响应的衰减速度，边缘效应的影响范围通常为半个截止波长8。在数据量充足的时候，边缘效应不会有很大影响，但需要测量边缘数据时，边缘效应就会影响轮廓评定。为此，给出一种边缘效应的抑制方法，改善滤波结果边缘，从而加大表面评定长度。研究式(15)的计算过程，产生边缘效应的主要因素在于，如果的初始值即给定理想值，在很大程度上能够抑制边缘效应。设 (17)其中，是零输入且不为零时，式(15)的滤波输出；而是输入不为零且的情况下，式(15)的滤波输出。可以利用最小二乘法来确定，即寻找到使式(18) 最小的， (18)(1) 首先研究，设,，由式(15)可知， (19)(2) 研究，设，为待处理数据，由式(15)可知， (20)将式(19)和(20)代入到(18)中，并对建立导数为零的方程： (21)可得 (22)且于是，由式(22)可以在最小二乘方式下最终确定了初始值。同理，式(20)的计算也需要初始值，与确定初始值的方法相同，可以得到 (23)从而确定了。将式(22)确定的和式(23)确定的分别代入式(15)和式(16)中，即可有效地抑制高斯递归算法中的边缘效应。利用以上算法对一实际工程表面进行测量。选取的截止波长为lc=0.8mm，采样间距为0.5mm，总的评定长度为5.6mm。采用16阶高斯逼近滤波器及边缘抑制算法提取轮廓中线。在一台PentiumIV 2GHz的微机上使用matlab编程运算，完成一次中线提取耗时170ms。所得中线如图3所示，可以看出，上述算法可以有效可靠地提取表面中线进而提取表面粗糙度。图3 表面轮廓数据及滤波中线6 结 论利用高斯逼近函数与冲激响应不变法，构造出了用于表面粗糙度测量的IIR型数字高斯滤波器。当使用十六阶级联时，该滤波器的幅度传输特性偏差仅为(-0.28%+1.14%)，远小于国际标准推荐的高斯简化算法传输偏差。该滤波器采用两步递归算法实现，具有很高的计算效率。针对递归算法的边缘失真，给出了一种预测递归运算初始值的方法，它能在最小二乘准则下抑制边缘效应。实验表明，该滤波器不但能够稳定可靠地实现高斯滤波器滤波特性，还能有效抑制边缘效应，加大评定长度，在普通计算机上，对11200点数据提取一次表面中线仅耗时170ms，效率很高。参考文献1 Whitehouse D J. Survey of reference Lines in the assessment of surface textureJ. Annals CIRP, 1972, 21(2): 267-273.2 ISO 11562, Geometrical product specification (GPS) surface texture: profile method metrological characteristics of phase correct filtersS. 1996.3 Krystek M. A fast gauss filtering algorithm for roughness measurementsJ. Prec Eng, 1996, 19(2): 599-601.4 Luo N L, Sullivan P J, Stout K J. Gaussian filtering of three dimensional engineering surface topographyJ. Proc SPIE, 1993, 2101: 527-538.5 Yuan Y B, Qiang X F, Song J F, et al. A fast algorithm for determining the Gaussian filtered mean line in surface metrologyJ. Prec Eng, 2000, 24(1): 62-69. 6 强