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实变函数论测试题1、证明 。证明：设，则，使一切，所以,则可知。设，则有,使，所以。 因此，=。2、设。求在内的，。 解：， ， 。3、若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集。证明：对任何正整数， 由条件存在开集，使得。令,则是可测集，又因，对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。4、试构造一个闭的疏朗的集合，。解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时，一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为。所以最后所得集合的测度为，即。5、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于。证明 因为，则存在，使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到， 且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集外，收敛于，就是 a.e. 收敛到。6、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数，使得 于。证明： 因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有=。 所以对任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 证毕。7、设为a.e有限可测函数列，证明：的充要条件是。证明：若0，由于,则。又，,常函数1在上可积分，由勒贝格控制收敛定理得。反之，若（），而且，对，令,由于函数,当时是严格增加函数，因此。 所以，即。8、试求 。解 令，则为非负连续函数，从而非负可积。根据积分逐项积分定理，于是，。9、设，a.e.有限的可测函数列和，分别依测度收敛于和，证明 。证明：因为于是，
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