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一类平面动力系统的h o p f 分支问题 摘要 本文主要利用m e l n i k o v 方法研究如下一类平面h a l m i t o n 系统的 闭轨在原点处极限环个数的问题，即所谓的h o p f 分支问题。 一仁篓篡： p ( x , y ) = 1 + 口x 2 + ， 在文章的后半部分研究了一维周期方程解的重数及其扰动分支，给出 了p o i n c a r e 映射在原点的高阶导数公式，并就一些特殊方程给出了 零解的具体重数。 。7 7 关键词极限环，h o p f 分支，m e l n i k o v 函数，重数 h o p fbif u r c a t10 np r o b l e m sa b o u to n ep l a n a rd y n a mic a l s y s t e m a b s t r a c t t h i s p a p e r s t u d i e dt h en u m b e ro f1 i m i t c y c l e s o ft h e f o l l o w i n gp l a n a rd y n a m i c a ls y s t e m su s i n gm e l n i k o vf u n c t i o n s w e c o m p u t e d t h em e l n i k o vf u n c t i o n so ft h i s h i g h o r d e r b i f u r c a t e ds y s t e m ，a c h i e v e dt h em a x i m u mn u m b e ro f1 i m i tc y c l e s o fs y s t e m s y s t e m x = y p x , y ) + e x 2 ( x , y ) ， w h e r e 0i ss m a l le n o u g ha n d p ( x ，y ) = 1 + p + q y ， 2 工2 = 口“工y ， i + j = l 2 l = 厶f ，j y i nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d i e dt h ec h a r a c t e r o ft h es o l u t i o no fo n e p e r i o df u n c t i o n ，a c h i e v e dt h eh i g h d e r i v a t i v ef o r m u l ao fi t sp o i n c a r ea n dg a v es o m es a m p l e s k e yw o r d s ：1 i m i tc y c l e ，h o p fb i f u r c a t i o n ，m e l n i k o vf u n c t i o n 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：金前 日期：m ) 年f 月p 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密团。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：金雷 指导教师签名： 稚扳毋 日期：z 卵；年t 月功e t 日期：伊侔1 月d1 e t 第一章绪论 所谓分支现象，是指依赖于参数的某一研究对象当参数在一个特定值附近作 微小变化时，它的某些基本性质所发生的本质变化 本文主要利用m e l n i k o v 方法研究一类平面h m m i t o n 系统的闭轨在原点处极 限环个数的问题，即所谓的h o p f 分支问题。详之，考虑， r 系统p 鼍力+ 啦力 【y = 一】炉( 薯y ) + e ( 工，y ) 其中 0 充分小， p ( y ) = 1 + p x 2 + q y ， x 2 = 气一y ， l + j = l = 6 l ，x y 。 i + 1 = 1 在文章的后半部分研究了一维周期方程解的重数及其扰动分支，给出了一些特殊 方程零解的具体重数，获得了周期解的存在条件 第二章极限环基本概念 考虑系统 工= f l ( x , y ) ，y = 厶( x ，y ) ， ( 2 1 ) 其中 ，2 c ( r 2 ) ，且满足保证初值问题解的唯一性条件，我们知道，( 2 1 ) 的解= x ( f ) ，y = j ，( f ) ，称为周期运动，若存在正数t ，使对一切t r 有 x ( t + r ) = 工( f ) ，y ( t + t ) = y ( f ) 若t 是使上式成立的最小正数，则称t 为该周期运动的周期。周期运动对应于相 平面上的闭轨线。 筹2 页蔌3 4 页 下述引理给出了轨线不相交性质。 引理2 1 “方程( 2 i ) 任两条不同的轨线必不相交。 定义2 1 “1 设方程( 2 i ) 有一非平凡闭轨，记为三，若存在一包含的开集 u ，使( 2 1 ) 在u 内没有其他闭轨，则称为( 2 1 ) 的极限环。简言之，孤立的闭 轨线称为( 2 i ) 的极限环。 定义2 4 哈密顿( h a l m i t o n ) 系统： 对于一个给定的c 类的函数h ：r 2hr ，如下形式的微分方程 8 h x = 一 o y 8 h y2 一_ o x 称为哈密顿函数为h 的哈密顿系统。 第三章扰动系统与分支的基本概念 从现在开始，我们将讨论限于平面自治系统 x = ，1 ( 五_ y ) ，y = _ ，2 【工，y ) ， l 3 i ) 其中，f i ( x , y ) 采i 厶( x ，y ) 在( z ，y ) 平面上连续可微，以保证初值问题的解唯一。 下面给出扰动系统及其它几个概念。 定义3 1 记飒为所有形如( 3 1 ) 的系统之集合，其中五“y ) 和a ( x ，y ) 都是连续可微的，所谓研中某一给定系统( 3 1 ) 的扰动系统 去- p ( 蝴石a y _ q ( 砒 ( 3 2 ) 是指满足条件 i 六一p i + 陲一芸h 善一善i 啪一剑+ 陲一剖+ 眵一詈i 0 ，使系统( 3 l ) 与任意扰动系统都是拓扑等价 的，则称系统是结构稳定的。反之，称为结构不稳定。 定义3 4 “1 如果系统结构不稳定，则任意小的适当的扰动都会使系统的拓 扑结构发生变化，称这种变化为分支( b i f u r c a t i o n ) 。 下面给出h o p f 分支的例子 d x ：一y x ( x 2 + y 2 ) + 口 = 一y l 一十y 。l + 口 d t 。、 ( 3 4 ) 害= x - y ( x 2 + y 2 ) + 母， 出 。 。 第4 页菸m 霹 ( a ) s 0 ，无闭轨( b ) e 0 ，有闭轨 图3 2 h o p f 分支是本文的主要研究对象。 第四章h o p f 分支环性数 平面系统的h o p f 分支是指初等焦点或中心在自治扰动下极限环的分支问 题，虽然h o p f 分支是一种典型的局部分支，但它是全局分支的一个重要组成部 分。本节简要介绍平面h o p f 分支的一般理论。 4 1 后继函数与焦点量 考虑c ”系统( n 3 ) 膏= f ( x ，y ) ，夕= g ( x ，y ) 我们假设 f ( o ，o ) = g ( o ，o ) 一0 ( 4 1 ) d e t 鬻( 0 ，o ) 丢( 正坛) 2 ( o 0 ) ( 4 2 ) 条件( 4 2 ) 是说原点是( 4 1 ) 的线性化系统的初等焦点或中心，不失一般性，在 ( 4 2 ) 下可设 g 八( x 靠黧a y 篇g ( x 囊 s ， ，y ) = 一锻+ + ，y 、 第5 页共3 4 页 其中b o ，f ，g = o ( i x ，y 1 2 ) 对( 4 1 ) 引入极坐标交换x = r c o s o ，y = r s i n 0 ，并利 用( 4 3 ) 可得 ，= a r + c o s o f ( r c o s 0 r s i n o ) + s i n 0 g ( r c o s 0 + r s i n o ) 百：- b + 三 c 。s o g ( r c 。s o , r s i n 9 ) 一s i n 卵( ，c o s o , r s i n 0 ) 从而可得2 疗周期方程 万d r = r ( e ，r ) ( 4 5 ) 其中r 为c “函数，而当， 0 时，r 为c “的，r ( o ，0 ) = o n 关于。为2 丌周期的， 设r 佃，t o ) = r o 的解，则它关于 ，t o ) 为c ”1 的，从而可设 r ( 口，t o ) = r , ( o ) r o + r 2 ( o ) r 0 2 + + 一l ( o ) r o ”一1 + o ( r o “一1 ) ( 4 6 ) 于是 ( 4 5 ) 的p o i n c a r e 映射为p ( r o ) = ，( 2 7 r ，o ) ，令d ( r o ) = p ( r o ) - r o ，首先可 证 引理4 1 设存在m 0 使当0 ls i 0 ，使当0 i s 6 0 , 6 u 时，( 4 8 ) 在原点的某邻域内至多有k 个极限环，且存在这样的 ，占) 使k 个极限环可以出 现，则称数k 为( 4 8 ) 当0 i s f ，6 u 时在原点的环性数( c y c l i c i t y ) ，有 时称k 为( 4 8 ) 的h o p f 环性数或原点关于( 4 8 ) 的环性数。 于是定理4 2 给出了( 4 8 ) 在原点的环性数为1 的条件，其中a 3 * ( o ，6 。) 0 称为( 涉及中心的扰动的) h o p f 分支中的非退化条件。 下面我们设( 4 8 ) 为c 。系统，且当s = 0 时( 4 8 ) 为h a m i l t o n 系统，并讨论 确定h o p f 环性数的一般方法，设有c 。函数h ( x ，y ) ，使成立 ( f ( x ，y ) ，g ( x ，j ，) ) = “( h y ，一日，) ，u = 1 ， h ( x ，y ) = r ( x 2 + y 2 ) + d ( 1 工，y 13 ) ， ( 4 1 0 ) x 2 + y 2 0 第7 页共3 4 囊 易见，当0 h 0 ，使函数m ( ，6 ) 在 o ， + ) 上关于h 为c 。的，而若三r 有界，则在 h = h + 处一般仅为连续的，如果( 4 8 ) 为解析的，则m ( h ，6 ) 在 0 ，h ) 上关 于h 为解析的。 2 ) 如果存在紧集d 。d 及函数b k ( 占) 使成立 m ( h ，6 ) = b k ( 占) + “+ o ( h + 2 ) ， 0 h o 及开集u ( d o ) d o 和原点的邻域c ，使对 0 i | ，占u ( d 。) ，( 4 8 ) 在v 中至多有k 个极限环，即( 4 8 ) 在原点的环性 数不超过k 推论4 1 如果存在整数七o ，6 。d 使对原点的任一邻域v ，都存在 0 is i 1 ， 1 6 6 。l 函数m 的展开式 m ( h ，6 ) = b o ( a ) h + 6 l ( 6 ) j j l 2 + + 6 l ( 占) | j l + 1 + 0 ( + 2 ) ，0 h 0 与原点的邻域 v ，使当 o 1 l o 及原点的邻域v ，使当0 i s | o 充分小， p ( x , y ) = 1 + p x 2 + 秒， 匕= 6 f ，一y 。 j 主= y + e 而x 2 ( x , y ) ， p 搿， 该系统一阶m e l n i k o v 函数为 令x = 万s i n t ，y = 靠c o s t ， 故有 令f ( x ，y ) = p x 2 + 则 ( 5 2 ) 脚) = f ( 志出+ 志蛳 ( 5 3 ) p k y ) = 1 + h p s i n 2 t + q 、f h c o s t ；1 + ，( f ) ，( f ) = h p s i n2 t + q 打c o s t 第l o 页共斟页 则将了硒b 在零点处关于厂( 五y ) 泰勒展开可得 丽1 = 、一 斗f i f 七j 一 s 3 ”一；七f 、 则 = 卜而c o s t + 8 h 1 5 心p 7 q e o s t s i n l 4 t + h s p 8 s i n l 6 t + h ( q 2c o s 2 t p s i n 2 t 1 + 3 7 2 ( 一q 3c o s 3t + 2 p q c o s t s i n 2 ) + 2 ( 9 4c o s 4 f 一3 p q 2c o s 2 t s i n 2 f + p 2s i n 4 f ) 十 h 5 2 ( 一9 5c o s 5 t + 4 p q 3c o s 3 t s i n 2 t - 3 p 2 q c o s t s i n 4 f ) + ( 9 6c o s 6 t 一5 p q 4c o s 4 t s i n 2 t + 6 p 2 q 2c o s 2 t s i n 4 t - p 3 s i n 6 f ) h 7 2r q 7c o s 7y + 6 p q 5 c o s 5 t s i n2 t 一1 0 p 2 q 3c o s 3 t s i n 4 t + 4 p 3 q c o s t s i n 6r ) + h 4 ( 9 8c o s 8 f 一7 p q 6c o s 6 t s i n 2 t + 1 5 p 2 q 4 c o s 4 t s i n 4 f l o p 3 q 2 c o s 2s i n6 + p 4s i n 8 n + 9 7 2 ( 8 p q 7c o s 7 t s i n 2 t 一2 1 p 2 q 5 c o s 5 t s i n 4 t + 2 0 p 3 q 3 c o s 3 t s i n 6 t 一 5 p 4 q c o s t s i n 8 n + hs ( 2 8 p 2 q 6c o s 6 t s i n 4 t - 3 5 p 3 q 4 c o s 4 t s i n 6 t + 1 5 p 4 q 2c o s 2 t s i n 8 t p 5 s i n l o n + h i l l 2 ( 5 6 p 3 q 5c o s 5 t s i n 6 t 一3 5 p 4 q 3 c o s 3s i n 8 t + 6 p 5 q c o s t s i n l 0 1 + h 6 ( 7 0 p 4 q 4c o s 4 t s i n 8 f 一2 1 p 5 q 2c o s 2 t s i n l o t + p 6 s i n l 2 f ) + h t 3 2 ( 5 6 p 5 q 3c o s 3 t s i n l o t - 7 p 6 q c o s t s i n l 2 n + h 7 ( 2 8 p 6 q 2c o s 2 t s i n ”t p 7 s i n l 4 f 1 v 二1 2 - = ( c o s f s i n t a o l + s i n 2 t a i o ) + p ( x ，y ) 、“ 2 ( 9 2c o s 2f p s i n 2t ) ( c o s t s i n t a 0 1 + s i n 2t a l o ) 一 g c o s t ( c o s 2s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2t a l l + s i n 3t a 2 0 ) + 3 【( 9 4c o s 4 f 一3 p q 2c o s 2 t s i n 2 t + p 2 s i n 4 t ) ( c o s t s i n t a 。1 + s i n 2 t a l 。) + ( - 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3 5 p 4 q 3c o s 3 t s i n 8 t + 6 p 5 q c o s t s i n l o n ( c o s 2t s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2a 1 1 + s i n 3t a 2 0 + c o s 3f 6 0 2 + c o s 2t s i n t b l l + c o s t s i n 2 t b 2 0 ) 】+ h s ( 2 8 p 6 q 2 0 0 $ 2t s i n ”t q 7 s i n “t ) ( c o s t s i n t a o l + s i n 2 t a l o + c o s 2 t b o l + c o s t s i n t b , o ) + ( 5 6 p 5 9 3c o s 3 t s i n ”t 一7 p 6 q c o s t s i n l 2 f ) ( c o s 2t s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2a 1 1 + s i n 3 t a 2 0 + c o s 3t b 0 2 + c o s 2 t s i n t b i l + c o s t s i n 2t b 2 0 ) 】+ 9 【p 8s i n l 6 t ( c o s t s i n t a0 l + s i n 2 t a i o + c o s 2 t b o l + c o s t s i n t b i o ) + 8 p 7 q c o s t s i n l 4t ( c o s 2t s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2t a l l + s i n 3 a 2 0 + c o s 3t b 0 2 + c o s 2t s i n 呶l + c o s t s i n 2 ) 】 第1 4 页共m 页 由肘( ) = 薹m i h i = f ( j 者万出+ 7 寒j 砂) 可以求得m ；( i = 1 9 ) 的公式如 下： = r 8 ( c 。s f s i n t a 0 1 + s i n 2 t a l o + c o s 2 t b 。l + c o s t s i n t b l 。) a t = 一n ( a i o + 6 。1 )( 5 4 ) l = r “ ( g 2 c o s 2 f p s i n 2 f ) ( c 。s f s i n t a 。l + s i n 2 缸l 。+ c o s 2 f 6 0 l + c o s f s i n t b i 。) 一 q c o s t ( e o s 2s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2t a l l c o s t s i n 2t b 2 0 ) 】虎 + s i n 3 t a ”+ 0 5 3 f 6 0 2 + c o s 2t s i n t b l l + = 三石 ( 3 p 叮2 ) + q a l l + p 6 0 l 一3 q 2 b 0 1 + 3 q b 0 2 + q b 2 。】 胁2 = f 4 ( 9 4 c o s 4 f 一3 p q 2c 。s 2 t s i n 2 t + p 2s i n 4 t ) ( c o s t s i n t a o l + s i n 2t a l o + c o s 2 l + c o s t s i n t b l o ) + ( - q 3c o s 3 t + 2 p a c o s t s i n 2 t ) ( c o s 2 t s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2 t a l l + s i n 3 t a 2 。+ c o s 3 + c o s 2t s i n t b lj + c o s t s i n 2t b z o ) a t = 一5 x 7 r ( s p 2 3 p q 2 + 9 4 ) 口l 。+ ( 2 p q 9 3 ) 口l l + p 2 b o i 一3 p q 2 b o l + 5 9 4 l + 2 p q b 0 2 - 5 p 3 + 2 p q b 2 0 q 3 b 2 0 】 m 3 = j ：” ( q 6c o s 6 t - 5 p q 4 c o s 4 f s i n 2 t + 6 p 2 q 2c o s 2 f s i n 4 f p 3s i n 6 f ) ( c o s t s i n t a o l + s i n 2 t a l o + c o s 2 t b o l + c o s t s i n t b l o ) + ( - q 5c o s 5 f + 4 p 9 3 c o b 3 t s i n 2 t 一3 p 2 q c o s t s i n 4 n ( c o s 2 t s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2 t a l l + s i n 3 t a 2 0 + c o s3 t b 0 2 + c o s 2t s i n t b i l + c o s t s i n 2 t b 2 0 ) 坤 = 丽1 厅( 5 ( 7 p 3 - 6 p 2 q 2 + 3 朋4 _ q 6 ) 口1 。+ ( 1 5 p2 q _ 1 2 p q 3 + 5 q5 ) 口1 1 1 8 p ，2 q ，2 b o l + 2 5 譬? ”3 黔- + 矾6 0 2 _ 2 啊”3 5 q 5 b 0 2 + ( 5 7 ) 1 5 p 2 咖z o 一1 2 p q 3 + 5 q 5 2 0 ( 5 6 ) ( 6 6 ) m 4 = r 4 ( 9 8 c o s s t - - 7 p q 6 c o s 6 f s i n 2 f + 1 5 p 2 9 4 c 0 s 4 f s i n 4 f l o p 3 q 2 c o s 2 t s i n 6 t + p 4 s i n 8 t ) ( c o s t s i n t a 。l + s i n 2 t a l o + c o s 2 t b o l + c o s t s i n t b l 。) + ( 一9 7c o s 7 t + 6 p q 5c o s 5 t s i n 2 t - l o p 2 q 3c o s 3 ts i n 4 t + 4 p 3 q c o s ts i n 6 n ( c o s 2 t s i n t a 。2 + c o s t s i n 2 口l l + s i n 3 t a 2 。+ g o s3 t b 0 2 + c o s 2 t s i n t b i i + c o s t s i n2 t b 2 。) 弦 第1 5 页共3 4 贾 = 一西1 丌 ( 6 3 p 4 _ 7 0 幽2 + 4 5 p 2 9 4 2 1 p q6 + 7 9 8 ) 口1 。+ ( 2 8 p 3 q 一3 0 p 2 9 3 + 1 8 p q5 7 q7 ) 口l l + 7 p 4 b l 一3 0 p 3 q2 b o l + 4 5 p 2 q 4 b o l 一4 9 p q 6 b o l + 6 3 9 8 6 0 l + 1 2 p 3 q b 0 2 3 0 p 2 q 3 b 0 2 + 4 2 p q 5 b 0 2 - 6 3 q 7 b 0 2 + 2 8 p 3 q b 2 0 - 3 0 p2 q3 6 2 0 + 1 8 p q5 b 2 0 一7 q 7 b 2 0 】 ( 5 8 ) m 5 = | ： ( 2 8 p 2 q 6 c o s 6 t s i n 4 f 一3 5 p 3 q 4c o s 4 t s i n 6 t + 1 5 p 4 q 2c o s 2 t s i n 8 f p 5s i n l o f ) ( c o s t s i n t a o l + s i n2 t a l o + c o s 2 t b o l + c o s t s i n t b l o ) + ( 8 p q 7c o s 7 t s i n2 t 一2 1 p 2 q 5c o s 5 t s i n 4 t + 2 0 p 3 q 3c o s 3 t s i n6 t 一5 p 4 q c o s t s i n 8 f 1 ( c o s 2 t s i n t a 0 2 + c o s t s i n 2a l l + s i n 3 t a 2 0 + o