实数集与函数1.1.doc

数学分析上册教案 第一章 实数集与函数 河西学院数学系第一章 实数集与函数1.1实数授课章节：第一章 实数集与函数1.1 实数教学目标：使学生掌握实数的基本性质教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用教学方法：讲授（部分内容自学）教学过程：引言上节课中，我们与大家共同探讨了分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题： 为什么从“实数”开始答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（复变函数研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、 实数及其性质(一) 实数问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数其中,记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0例：利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？(二) 两实数大小的比较1、定义1：给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）规定：任何非负实数大于任何负实数2、 数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似；对于实数，其位不足近似；位过剩近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有 过剩近似当n增大时不增，即有命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为 的位不足近似，为的位过剩近似）命题应用例例1设为实数，证明存在有理数，满足证明：由，知：存在非负整数n，使得令，则r为有理数，且即3、实数常用性质（详见附录）1）封闭性：实数集对四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数2）有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：3）传递性：4）阿基米德性：使得5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数6）实数集与数轴上的点有着一一对应关系例2设，证明：若对任何正数，有，则提示：反证法利用“有序性”，取.二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）（一）绝对值的定义实数的绝对值的定义为（二）几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离认识到这一点非常有用，与此相应， 表示就是数轴上点与之间的距离（三）性质1）（非负性）； 2）；3），；4）对任何有（三角不等式）；5）； 6）（）三、几个重要不等式 (1) (2) 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有平均值不等式: 等号当且仅当时成立.(3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当 且 , 且时, 有严格不等式 证 由 且 (4) 利