高三二轮学案 函数与方程教师版.doc

邯郸市一中2012级二轮复习数学学案 制作人：高三数学组 段纪飞 使用时间 2014年12-3月函数与方程的思想一、知识要点：1函数与方程思想的含义(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点，解不等式f(x)0(或f(x)0，0.即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.当且仅当a1，即a3时取等号ab的取值范围是9，)法二：若设abt，则abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有即解得t9，即ab9.ab的取值范围是9，)法三：(看成不等式的解集)a，b为正数，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得 3或1(舍去)，ab9.即ab的取值范围是9，)(2)把方程变形为acos2xsin x.设f(x)cos2xsin x，x.显然当且仅当a属于f(x)的值域时，af(x)有解f(x)(1sin2x)sin x2，且由x知sin x(0,1易求得f(x)的值域为(1,1，故a的取值范围是(1,1答案：(1)9，)(2)(1,1角度二解决图像交点或方程根等问题例2设函数f(x)，g(x)x2bx，若yf(x)的图像与yg(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()Ax1x20，y1y20Bx1x20，y1y20Cx1x20Dx1x20，y1y20解由于函数yf(x)的图像在一、三象限且关于坐标原点对称，函数yg(x)的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x20，由于y1y2，故x1x2，y1y2一定异号问题即为方程x2bx仅有两个不同的实根，即方程x3bx210有一个二重根、一个单根根据方程根的理论，如果x1是方程x3bx210的二重根，x2为一个单根，则x3bx21(xx1)2(xx2)x3(2x1x2)x2(x2x1x2)xxx2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得xx21，则x20，所以x1x20，y1y20，则方程化为t22t(3k1)0(t0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，解得0得x24x30，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)minf(1).由于函数g(x)x22bx4，x1,2当b2时，g(x)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，故g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)(x1)(2)法一：记h(x)f(x)，当1x3时，由(1)得h(x).令l(x)(x5)3216x,1x3，则l(x)3(x5)22160，因此l(x)在(1,3)内是递减函数，又由l(1)0，得l(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).法二：记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0，因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)0，所以h(x)0，即f(x).角度四函数与方程思想在数列中的应用例4若数列an的通项公式为ann3nn(其中nN*)，且该数列中最大的项为am，则m_.解析令xn，则0b0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)设直线l的方程ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3，所以x13x2，所以则3(x1x2)24x1x20，即3240，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0，当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20，解得1m或m1，即所求m的取值范围为.5(2013西城模拟)如图，椭圆C：x21(0m1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称(1)若点P的坐标为，求m的值；(2)若椭圆C上存在点M，使得OPOM，求m的取值范围解：(1)依题意，M是线段AP的中点，因为A(1,0)，P，所以点M的坐标为.由点M在椭圆C上，所以1，解得m.(2)设M(x0，y0)，则x1，且1x00时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决数学思想专练(一)一、选择题1(2013青岛模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列an的公比为()A. B.C. D.解析：选B设等比数列的首项为a1，公比为q，则S1a1，S2a1a2a1a1q，S3a1a2a3a1a1qa1q2.由S1,2S2,3S3成等差数列，得22S2S13S3，即4(a1a1q)a13(a1a1qa1q2)，可得3q2q0，得q0或q，因为q0，所以q.2若a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)解析：选Be2212，因为是减函数，所以当a1时，01，所以2e25，即e0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1,3)解析：选C把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)a(x24x4)，则f(a)0对于任意的a1,1恒成立，易知只需f(1)x25x60且f(1)x23x20即可，联立方程并解得x3.4若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0解析：选B原不等式可化为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有xy，即xy0.5.如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0)，四边形OAQP的面积为S，当S取得最大值时的值为()A. B.C. D.解析：选BS|cos |sin cos sin sin，当时，S取得最大值6(2013西安模拟)已知函数f(x)cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m的值为()A. BC. D解析：选D假设方程f(x)m的两个实根x3x4.由函数f(x)cos x(x(0,2)的零点为，又四个数按从小到大排列构成等差数列，可得x3x4，由题意得x3x42，2x3x4，则由可得x3，所以mcos.二、填空题7若方程sin2x2sin xa0有解，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)sin2x2sin x，则f(x)的值域是1,3，因为方程sin2x2sin xa0一定有解，所以1a3，所以实数a的取值范围是3,1答案：3,18已知数列an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_解析：由an是递增数列，得anan1对nN*恒成立，即n2n(2n1)而(2n1)3，所以3.答案：(3，)9设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析：设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为奇函数又当x0，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以F(x)0)相交于A，B，C，D四个点(1)求m的取值范围；(2)求四边形ABCD的面积的最大值及此时对角线AC与BD的交点坐标解：(1)联立曲线M，N的方程，消去y可得(x4)22xm20，即x26x16m20，根据条件可得解得mx1，y10，y20.则SABCD(y1y2)(x2x1)()(x2x1) .令t，则t(0,3)，SABCD2，设f(t)t33t29t27，则令f(t)3t26t93(t22t3)3(t1)(t3)0，可得当t(0,3)时，f(x)的最大值为f(1)32，从而SABCD的最大值为16.此时t1，即1，则m215.联立曲线M，N的方程消去y并整理得x26x10，解得x132，x232，所以A点的坐标为(32，1)，C点坐标为(32，1)，kAC，则直线AC的方程为y(1)x(32)，当y0时，x1，由对称性可知AC与BD的交点在x轴上，即对角线AC与BD交点坐标为(1,0)12已知函数f(x)ax3(2a)x2x1(a0)(1)若a4，求f(x)的单调区间；(2)设x1，x2