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导数与微积分导函数导函数的概念涉及： 的对于区间（ , ）上任意点处都可导，则 在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为 的导函数，记作 。一、基本函数的导函数C=0(C为常数)(xn)=nx(n-1) (nQ) (sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ex)=ex(ax)=(ax)*lnalog(a,x) = 1/(x*lna)lnx= 1/x二、和差积商函数的导函数f(x) + g(x) = f(x) + g(x)f(x) - g(x) = f(x) - g(x)f(x)g(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)f(x)/g(x) = f(x)g(x) - f(x)g(x) / g(x)2三、复合函数的导函数设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y(x) = u(t)v(x) = uv(x) v(x)例 ：y = t2 ，t = sinx ，则y(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或。邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)设是任一正数，则在开区间（a-，a+）就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)=x|a-xa+。点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径。a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心邻域，有时把开区间（a-，a）称为a的左邻域，把开区间（a，a+）称为a的右邻域。 拓扑学的定义设A是拓扑空间(X,)的一个子集，点xA。如果存在集合U，满足U是开集，即U，点xU，U是A的子集，则称点x是A的一个内点，并称A是点x的一个邻域。若A是开（闭）集，则称为开（闭）邻域。可导 设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y=f(x),则称y在x=x0处可导。 如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y、或者。 原函数已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。例：sinx是cosx的原函数。关于原函数的问题函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，即：F(x)=f(x)，则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.如果定义在（a,b）上的函数F（x）和f（x）满足条件：对每一x（a,b），F（x）f（x）则称F（x）为f（x）的一个原函数。例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x31和x32也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为vv(t),要求它的运动规律 ，就是求vv(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。 几何意义和力学意义设f(x)在a,b上连续,则由曲线y=f(x),x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数(指代数和x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数,则f(x)的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。 几何意义如右图所示，设P0为曲线上的一个定点，P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于点P0时，并且割线PP0的极限位置P0T存在，则称P0T为曲线在P0处的切线。若曲线为一函数y = f(x)的图像，那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T，即PP0的极限位置存在时，此时，则P0T的斜率tan为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则f(x0) = tan，故导数的几何意义即曲线y = f(x)在点P0(x0,f(x0)处切线的斜率。 函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来：上式中，后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。extreme value在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限 在高等数学中，极限是一个重要的概念。极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。首先介绍刘徽的割圆术,设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1AN时，不等式|Xn - a|0（或aN时，都有xn0(或xn0)。4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。几个常用数列的极限：an=c 常数列 极限为can=1/n 极限为0an=xn 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式0|x-x。| 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作xx0+limf(x)=a.注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限注：一个函数是否在x(0)处存在极限，与它在x=x(0)处是否有定义无关，只要求y=f(x)在x(0)近旁有定义即可。函数极限的性质：极限的运算法则（或称有关公式）： lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )lim(f(x)n=(limf(x)n 以上limf(x) limg(x)都存在时才成立lim(1+1/x)x =ex 无穷大与无穷小：一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。无穷大数列和无穷小数列成倒数。两个重要极限：1、lim sin(x)x 1 ，x02、lim （1 + 1x）x e ，x （e2.7182818.，无理数）=举两个例子说明一下一、0.9999991？（以下一段不作证明，只助理解原因：小数的加法的第一步就是对齐数位，即要知道具体哪一位加哪一位才可操作，下文中0.33333的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准，所以对于无限小数并不能做加法。既然不可做加法，就无乘法可言了。）谁都知道1/30.333333，而两边同时乘以3就得到10.999999，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。100.999999 10.999999=9=90.9999990.999999=1二、“无理数”算是什么数？我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是00，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。几个常用数列的极限an=c 常数列 极限为can=1/n 极限为0an=xn 绝对值x小于1 极限为0 定积分 定积分的几何意义众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。 积分的分类实际上，积分还可以分为两部分。 第一种，不定积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。这也就是说它是一组函数，而不是有限个。 第二种，定积分定积分就是求函数F(X)在区间（A,B）中图线下包围的面积。即 y=0 x=a x=b y=F(X)所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。 定积分的定义：设一元函数y=f(x) ,在区间（a,b）内有定义。将区间（a,b）分成n个小区间 (a,x0) (x0,x1)(x1,x2) .(xi,b) 。设 xixix(i-1)，取区间xi中曲线上任意一点记做f（i），做和式： 和式若记为这些小区间中的最长者。当 0时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数f(x) 在区间(a,b)上的定积分。记做： _ab (f(x)dx)（a在下方，b在上方）其中称a为积分下限，b为积分上限， f(x) 为被积函数，f(x)dx 为被积式， 为积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。 微分 一元微分定义：设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + x在此区间内。如果函数的增量y = f(x0 + x) f(x0)可表示为 y = Ax + o(x)（其中A是不依赖于x的常数），而o(x0)是比x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy = Ax。通常把自变量x的增量 x称为自变量的微分，记作dx，即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。当自变量X改变为X+X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+X)，如果存在一个与X无关的常数A，使f(X+X)-f(X)和AX之差关于X是高阶无穷小量，则称AX是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。可导不一定可微，可微一定可导，这时A=f(X)。再记AX=dy，则dy=f(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。几何意义：设x是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，y是曲线在点M对应x在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应x在纵坐标上的增量。当|x|很小时，|ydy|比|y|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。多元微分同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。 运算法则：dy=f(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=duv+dvud(u/v)=(duv-dvu)/v2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。黎曼积分 如果函数f(X)在闭区间a,b上定义，而(P,)是这个闭区间的一个带点分割，则和(f；p,):= f(i)Xi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割(P,)的积分和，其中Xi=Xi-X(i-1)存在这样一个实数I，如果对于任何0可以找到一个0，使对区间a,b的任何带点分割(P,)，只要分化P的参数(P)，就有|I-(f；p,)|，则称函数f(X)在闭区间a,b上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间a,b上的黎曼积分。我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？ 微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：若F(x)=f(x)那么 _ab(f(x) dx ) = F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本定理，其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。从几何上看，它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系。下面就是该公式的证明全过程：我们知道，对黎曼(Riemann)可积函数f(x)于区间a,b上的定积分表达为：b(上限)a（下限）f(x)dx现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：(x)= x(上限)a（下限）f(x)dx但是这里x出现了两种意义，一是表示积