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平面向量数量积性质的应用江苏 袁军平面向量数量积性质的应用是考试的重点，为使同学们能熟练应用平面向量的数量积，下面就平面向量的数量积几种题型进行归纳，希望对同学的学习有用。应用一：平面向量的模长问题例1 已知，向量与向量的夹角为，求。分析：关系式可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求可求,将此式展开，由已知及向量与向量的夹角为可求。解：， =，=4，=。点评：利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）；（2）；（3）若。应用二：平面向量的夹角问题例2 已知向量，若，则的夹角为 。解析：向量，又设，由可得，假设与的夹角为，故可得，所求角为。点评：利用公式求向量的夹角是我们最常用的一种方法，在应用时，应考虑先将两个向量的数量积求出，再将它们的模的乘积求出，从而得到夹角余弦值。例3.已知且与的夹角为，则当为何值时，向量与垂直？解析：。即，。即为时，向量垂直。点评：（1） 非零向量是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握。（2） 若。应用四：平面向量的数量积的坐标表示例4.已知向量，。若点、能构成三角形，求实数应满足的条件；若为直角三角形，且为直角，求实数的取值范围。解析：已知向量，。若点、能构成三角形，则这三点不共线，故知，实数，满足条件。若为直角三角形，且为直角，则，,.点评：本题将平面几何中的三点不共线问题转化为向量，不共线问题，从而利用解决，而对于为直角，则可以转化为，因此，平面几何中的垂直，共线，夹角问题可用相应的向量知识解决练习：1. 在中，设且是直角三角形，求的值。2. 若|=2，|=，与的夹角为45，要使与垂直，则k= 。3. 若，与及的夹角均为，则= 。答案：1，的值为或或；2，；3，11.平面向量的数量积的性质包括
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