量子力学导论作业答案-第02章.pdf

waterysun 似水骄阳 2 由此得 2 2 mEa 2 ax 即为粒子运动的转折点 有量子化条件 hnamam dxxamdxxmEmdxp a a a a 22 22222 2 2 2 2 1 22 得 m n m nh a 2 2 3 代入 2 解出 3 2 1 nnEn 4 积分公式 c a ua ua u duua arcsin 22 2 2222 1 4 设一个平面转子的转动惯量为 I 求能量的可能取值 提示 利用 2 1 2 0 nnhdp p是平面转子的角动量 转子的能量IpE2 2 解 平面转子的转角 角位移 记为 它的角动量 Ip 广义动量 p是运动惯量 按量子化条件 3 2 1 2 2 0 mmhpdp mhp 因而平面转子的能量ImIpEm2 2 222 3 2 1 m 第二章 波函数与 Schr dinger 方程 2 1 设质量为m的粒子在势 rV 中运动 a 证明粒子的能量平 值为 3 Ed r 2 2 V m 能量密度 b 证明能量守恒公式 0s t 2 2 ttm s 能流密度 证 a 粒子的能量平 值为 设 已归一化 waterysun 似水骄阳 3 VTrdV m E 32 2 2 1 VrdV 3 势能平均值 2 3 2 2 2 3 2 2 动能平均值 rd m m rdT 其 中T的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为0 因 此 3 2 2 rd m T 3 结合式 1 2 和 3 可知能量密度 2 2 V m 4 且能量平均值 3 Ed r b 由 4 式 得 2 2 22 22 22 2 2 22 VV tmtttt VV mtttttt sVV tmtm sE t t t Es 几率密度 s 定态波函数 几率密度 不随时间改变 所以 0s t 2 2 考虑单粒子的 Schr dinger 方程 trriVrVtr m tr t i 2 21 2 2 1 1 V与 2 V为实函数 waterysun 似水骄阳 4 a 证明粒子的几率 粒子数 不守恒 b 证明粒子在空间体积 内的几率随时间的变化为 32 3 2 2 rd V Sd im rd dt d S 证 a 式 1 取复共轭 得 21 2 2 2 iVV mt i 2 1 2 得 2 2 2 22 2 2 2 2 2 iV m Vi mt i 2 2 2 V imt 3 即 0 2 2 V j t 此即几率不守恒的微分表达式 b 式 3 对空间体积 积分 得 2 3 2 33 3 2 2 2 2 rVdSd im rVdrd im rd t S 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 的几率 Sdj 而第二项代表体积 中 产 生 的几率 这一项表征几率 或粒子数 不守恒 2 3 设 1 和 2 是 Schr dinger 方程的两个解 证明 0 2 1 3 trtrrd dt d 证 1 2 2 1 2 V mt i 1 2 2 2 2 2 V mt i 2 取 1 之复共轭 1 2 2 1 2 V mt i 3 waterysun 似水骄阳 5 2 3 1 2 得 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 mt i 对全空间积分 2 2 1 1 2 2 3 2 2 1 3 2 rd m trtrrd dt d i 2 1 122 1 12 3 2 2 rd m 2 1 12 3 2 2 rd m 0 2 2 1 12 2 Sd m 无穷远边界面上 0 21 即 0 2 1 3 trtrrd dt d 2 4 设一维自由粒子的初态 0 0 xip ex 求 tx 解 2 2 0 0 t m p xpi etx 2 5 设一维自由粒子的初态 xx 0 求 2 tx 提示 利用积分公式 2sincos 22 dd 或 4expexp 2 idi 解 作 Fourier 变换 dpepx ipx 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 dxexdxexp ipxipx dpeptx Etpxi 2 1 mpE2 2 dpe pxt m pi 2 2 2 1 指数配方 dp t mx p m it e timx 2 2 2 exp 2 1 2 waterysun 似水骄阳 6 令 2 2 2 t mx p m t 则 42 exp 2 2 2 1 2 2 1 2 4 2 2 2 22 t mx i t m ee t m de t m etx itimx itimx t m tx 2 2 2 6 设一维自由粒子的初态为 0 x 证明在足够长时间后 t mx t imx i t m tx 2 exp4exp 2 式中 dxexk ikx 0 2 1 是 0 x 的 Fourier 变换 提示 利用 xee xii 2 4 lim 证 根据平面波的时间变化规律 tkxiikx ee mkE2 2 任意时刻的波函数为 dk ektx mtkkxi2 2 2 1 2 2 2 exp 2 1 2 t mx k m t ikdke timx 1 当时间足够长后 所谓 t 上式被积函数中的指数函数具有 函数的性质 取 mt 2 t mx ku 2 参照本题的解题提示 即得 kd t mx kke t m etx itimx 4 2 2 2 1 2 t mx ee t m timxi 2 4 2 3 waterysun 似水骄阳 7 2 2 t mx t m tx 4 物理意义 在足够长时间后 各不同 k 值的分波已经互相分离 波群在x处的主要成分为tmxk 即 mktx 强度 2 k 因子tm 描述整个波包的扩散 波包强度t1 2 设整个波包中最强的动量成分为 0 k 即 0 kk 时 2 k 最大 由 4 式可见 当t足够大以后 2 的 最大值出现在 0 ktmx 处 即mtkx 0 处 这表明波包中心处波群的主要成分为 0 k 第三章 一维定态问题 3 1 设粒子处在二维无限深势阱中 0 0 0 xayb V x y 其余区域 求粒子的能量本征值和本征波函数 如ba 能级的简并度如何 解 能量的本征值和本征函数为 m E yxn n 2 22 2 2 22 y x n n ab 2 1 sinsin 2 yx y x nn nn b yn a xn ab y x 若ba 则 2 22 2 22 yxnn nn ma E yx a yn a xn a y x nn y x sinsin 2 这时 若 yx nn 则能级不简并 若 yx nn 则能级一般是二度简并的 有偶然简并情况 如5 10 yx nn 与2 11 yx nn 3 2 设粒子限制在矩形匣子中运动 即 其余区域 0 0 0 0 czbyax zyxV 求