量子物理学(二).pdf

8 05 量子物理学量子物理学 二二 2002 年秋季课程年秋季课程 作业作业 10 阅读任务阅读任务 与作业 9 给出的一样 注意用算符方法解的库仑势的径向方程的补充笔记已经放到网页上 了 问题 1 和 2 要涉及到这部分笔记的内容 第十部分问题第十部分问题 1 用超对称性分析一对相关势用超对称性分析一对相关势 12 分 考虑一个粒子在范围为 2 2x 的一维势阱中运动 也就是 2 2 0 x 你要研究的是在这个范围内运动的粒子的能量本征值和 本征态 这个范围内有两种不同的势 在这个问题中 假设采用适当的单位使和 2m 在薛定谔方程中消失 考虑超势 1 a 用补充笔记中的方程 6 推导这个超势的两个哈密顿量H 1 和H 2 它的本征值和 本征态在笔记中已经涉及到了 b 由 8 04 知两个哈密顿量之一是很熟悉的 用 8 04 的经验写出它的本征值和本征 态 c 另一个哈密顿量看起来很陌生 用补充笔记中证明的一般结果和你得到的 b 中的 答案求出这个看起来很陌生的哈密顿量的所有本征值和本征态 d 并排画出两个势的草图 标出每一个的一些最低能量本征值 一些的意思是指 本征值为零的哈密顿量选三个 另一个选两个 画出与这些本征值相关的每一个哈 密顿量的本征态 2 用超对称性分析一组相关势用超对称性分析一组相关势 18 分 如果你不熟悉双曲线函数 例如关系式cosh2x sinh2x 1 和 tanh2x 1 sech2x 我建议你和你的伙伴合作解决这个问题 像前一个问题一样 我们将学习一维的量子力学问题 其中我们选定了特殊的能量和 x 的单位将薛定谔方程无量纲化 取 2m 1 的哈密顿量定义是 2 其中 n 0 1 2 3 所有非负整数 关于这个问题你们的任务是 求出所有的这些无限的哈密顿量的所有基态的能量和本征 态 a 考虑超势的无限多组态 3 其中 n 0 1 2 3 利用补充笔记中的方法 由 3 式的超势构造 1 2 nnnn AAHH 和 证明 4 与 1 2 nn HH和哈密顿量相关 b 证明有一个能量本征值 E 0 的基态 求出每一个 n 的基态波函数 你们不 需要把波函数归一化 也就是说 找出波函数的形式就可以 1 n H c 你已经证明了证明有一个能量本征值 E 0 的束缚态 利用它以及关系式 4 和补充笔记中相关知识 证明了的一般结果一定有一个特定的负能量束缚 态 求出这个能量本征值 现在你们已经找到了的两个束缚态 在 b 部分求出的基态和这里你找到的态 1 n H 1 2 H 1 2 H d 假设我告诉你们只有一个束缚态 也就是你在 b 中找到的基态 假定就 是这种情况 证明正好有 n 个束缚态 求出所有束缚态的能量本征值 写出与每个本征态相关的波函数的表达式 用算符作用在波函数 你在 b 部 分详细求出的 上的微分形式来表示 1 1 H 1 n H 1 n H e 考虑哈密顿量 这个哈密顿量的最低能量本征值是什么 利用这个证明本 征值在 0 和 1 之间的不可能有第二个束缚态 这里证明了只有一个束 缚态 正如你在上面假设的一样它的基态是 E 0 1 1 H 1 1 H 1 1 H f 哈密顿量所有的束缚态能量是什么 g 最后这部分是选作的 所以不计成绩 但是会给你们提供答案的 势也具有正能量的非束缚 散射 态 与谐振子不同 与你在 问题 1 种研究的势也不同 当x 时 势 n n 1 sech2x趋于 0 所以允许散射 你们知道 0 PT H的散射态是什么 能量k2的波函数是exp ikx 用这个问题前面用到的方法 求出n 1 和n 2 时能量k2被势 n n 1 sech2x散射的 散射态波函数 计算反射系数Rn k 和透射系数Tn k 并证明Rn 0 Tn 1 意思 是这些势是 无反射的 只计算 n 1 2 但是 实际上这些势对于所有的n 都是无反射的 3 氢原子的基态氢原子的基态 6 分 写出氢原子基态的归一化波函数 包含所有数字表示的因子 你可以从问题 9 或课本 中找到它 a 求出氢原子基态下的和 用玻尔半径表示你的答 2 0 am 2 e 案 b 库仑势的维利理论说 利用 a 部分的结果和 验证基态的维利理论 22 2 Epmer c 计算氢原子基态p2 m2c2的期望值 称你的答案为 2 计算 并说明它是无量纲的 它的值约等于 1 137 这个结果说明电子在氢原子中运动要用到相对论理论 注意 是测量电磁力的 一个无量纲参量 因为它只包含 e 和基本常数和 c 4 氘的氘的 衰变衰变 6 分 一个处在氘基态的电子 除了氘核有一个质子和两个中子外 氘就跟氢一样 氘核是不稳 定的 衰减 它可以认为是我们需要的瞬间 以后氘的核子就是一个 3 核 由两个质 子和一个中子组成 这样 Z 从 1 变成了 2 减少的质量 有一个很小的变化 但是你 可以忽略这点 我们说衰减是 瞬时 的 是指衰减之后的瞬间 此时原子内电子的波 函数与衰变之前瞬间的波函数相比还没有变化 但是 电子不再处于能量本征态 计算 电子处在 3 的基态的几率是多大 它处在 l 0 的某个态的几率是多大 后一个问题 不需要计算 He He 注意核子衰变产生一个电子和一个中微子 但是它脱离这个体系非常快 所以我们可以 忽略它们 这就是我说的衰变是瞬间的意思 5 制造与玻尔原子的联系制造与玻尔原子的联系 6 分 现在我们学习了在量子力学中怎样看待氢原子 在 8 04 中 你们学习了玻尔的部分成功 的尝试 他把经典的概念 电子沿经典的圆轨道运动 和量子力学的概念 角动量量子 化 结合到一起得出结论只有特定半径值的轨道是允许的 并尝试得到了正确的能量光 谱 现在我们已经证实了玻尔能量光谱 接下来想一想我们求出的玻函数中玻尔所允许 的半径是否有什么暗示 a 考虑一个给定的主量子数n相应的最大角动量的态 l n 1 0 的态 找出 这些态下的使 u r 2取最大值的r 将你的答案用n和玻尔半径表示出来 与玻尔 的结果作比较 b 关于和 a 部分一样的态 它实际上是 a0n n 1 2 和 的情况 计算 r 以及 n 的最大极限 我实际上应该要求你们计算和 很感激我吧 6 辐射波函数的性质特征辐射波函数的性质特征 12 分 通常很可能不用解微分方程就能理解量子体系的很多特性 在这个问题中 你要绘制出 边界的一些特征和汤川秀树势中的散射态 这个问题的所有部分都可以通过详细的画图 和标识曲线图或图片解答 假设一个粒子中心势V r V0e r r中运动 V0和 都是常数 这种势的径向薛定谔方程 可以写成 5 其中g是一个新的常数 它是什么 k 2 2 kmE 2 2 0 对应于一个连续态 描述这 个势的散射 对应于一个束缚态 22 0kk a 画出不同的 l g 和 的有效势 b 用图解法证明可以选择适当的参量 g 和 使得这个势具有以下特征 没有束缚态 有一些束缚态 c 假设选