对称性在积分中的应用.doc

华北水利水电学院数学实践报告 对华北水利水电学院 对称性在积分中的应用 学院：环境与市政工程学院 专业：建筑环境与设备工程 班级：2010108 成员： 王永辉 201010804 朱虹光 201010810 余维召 201010811 10对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为,若点 ,则关于直线对称，对称点与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称，称点与是关于的对称（显然当,对关于,轴对称）定义2: 设平面区域为,若点，则关于对称，称点与是关于的对称点.若点 ，则关于直线对称）1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域,与关于或轴对称.设函数在有界闭区域上连续，那么（）若是关于（或）的奇函数，则（）若是关于（或）的偶函数，则=2，注释：设函数在有界闭区域上连续（）若关于轴对称，则其中是的右半部分:=（ii）若D关于x轴对称，则其中是的上半部分：=定理2：设有界闭区域D关于x轴和y轴均对称，函数在D上连续且关和均为偶函数，则其中是的第一象限的部分：=定理3：则设有界闭区域D关于原点对称，函数在上连续，则其中=，=例1：计算，其中D由下列双纽线围成：(1)(2) 解：（1）由于围成的区域关于x轴y轴均对称，而被积函数关于（或轴）为奇函数则有 （2）由围成的区域对称于原点，而被积函数是关于,的偶函数则有=由极坐标知，代入得且由，知则于是定理4：设有界闭区域D关于对称, 函数在上连续，则=例2：设函数在上的正值连续函数证明：，其中为常数，证明：积分区域D关于对称设由函数关于两个变量，以上两式相,得，从而一般地，有以下定理： 定理5：设有界闭区域，与关于直线对称，函数在上连续，那么：（）若是关于直线的奇函数，则（）若是关于直线的偶函数，则2，2、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域，与关于坐标面对称，函数在上连续，那么：（）若是关于的奇函数，则=0（）若是关于的偶函数，则：=同时，若关于坐标面对称，关于奇函数或偶函数；或者若关于坐标面对称关于为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标，解： 若令，则质量为设重心坐标为,由对称性知，而=于是，重心为点（,）曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线,与关于（或）轴对称，函数在上连续，那么：（）若是关于(或)的奇函数，则（）若是关于(或)的偶函数，则=2,注：设平面分段光滑曲线关于轴对称，则 其中是的右半段：=定理8：设平面内光滑曲线,与关于轴对称且方向相反，函数在上连续，那么：（）若是关于的偶函数，则（）若是关于的奇函数，则,例4：求曲线积分，其中是单位圆周，方向为逆时针方向解： 曲线积分可分为上,下两个对称的部分，在对称点与上，函数大小相同，但投影元素在上半圆为负，下半圆为正在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故类似可知因此定理9：设是平面上关于直线对称的一条曲线弧（）若=,则（）若=,则=2例5：计算，其中是曲线所围成的回路 解： 关于轴及直线对称 设=则=设 =则=即=2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于时，投影元素为正，否则为负.就而言，考察在对称点上的符号定理2：若积分曲线T关于,具轮换对称性，则= 定理3：设是平面上关于对称的一条光滑曲线弧，任意,有，且，在轴投影方向相反，则（）若=-,则（）若=,则=定理3中，若，在轴投影方向相同，其他条件不变，则有（）若=-,则（）若=,则=例：计算=,其中抛物线上从到的一段弧解：= 因为关于对称= 由定理3有= 所以=0，即曲面积分的对称性 定义1：若有 成立，则称关于具有轮换对称性.定义2：若函数，则称函数关于函数具有轮换对称性.1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上被积函数的绝对值相等即光滑曲面关于(或,或)坐标面对称，则有（）,在对称点上取相反的符号即关于 (或,或)的奇函数（）=2，在对称点上取相同的符号即为关于(或,或)的偶函数推论1：若光滑曲面可以分成对称的两部分,且关于原点对称，则（），为关于(或,或)的奇函数（）=8,为关于(或,或)的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，其中为球面上的部分解： 利用对称性知 设= 则= = =例2:计算曲面积分,其中解： 令， 则 关于原点对称，解被积函数=为关于的偶函数由推论1.1= = =定理2：若积分曲面关于,具有轮换对称性，则： 例3：计算曲面积分，其中是球面解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷 球面关于,具有对称性 =2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与轴正向成锐角时，面积元素在面上的投影为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上|f|的值相等，则有（），在对称点上取相反的符号（）=，在对称点上的符号相同,对于积分，也有类似的结论定理2：若积分曲面关于,具有轮换对称性，则： =例3：计算，其中是球面的外侧解： 球面关于,具有对称性先计算为此应分别考虑前半球面（记为）及后半球面（记为）上的曲面部分的方程为，它在平面上的投影域为圆域，因此，若用表示前半球面的外侧则有： =对于在后半球面上的曲面积分，由于的方程为：而外侧即后外侧，故关于后半球面外侧（记为）的曲面积分为：=因此 小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一