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巧解高考题中抛物线的焦点弦问题陈小林重庆市綦江南州中学 抛物线的焦点弦问题是解析几何中的一个重要问题，同时也是高考中关于抛物线问题的高频考点。解决这类问题，如果能够熟练运用本文中讨论的4条性质，就可以将很多复杂问题简单化。如图AB是抛物线过焦点的一条弦。设、，AB的中点，过A、M、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1、M1、B1。A1A (x1,y1)M1M (x0,y0)B1B (x2,y2)F1FO一、抛物线焦点弦的4条性质性质1 过焦点的弦长 = 。证明：根据抛物线的定义有，故=。性质2 若直线AB的倾斜角，则 。证明：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：，代入得，所以，由性质1知=性质3 A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即， 。证明：当直线AB的斜率不存在时，即与x轴垂直时，所以。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：，代入得，所以。综述。性质4 为定值 。证明：当直线AB的斜率不存在时，即与x轴垂直时，所以=。当直线AB的斜率存在时，、，所以=由性质3知，所以=由性质1知=，所以=故 。综述为定值。注意：对于焦点坐标在其它三个半轴的抛物线的性质可类比得到。二、几个运用抛物线焦点弦的性质巧解高考题的实例例题1、（2010重庆（文）13）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则BF 。解：由抛物线的方程y2=4x知，由性质4知，所以，解得BF=2。例题2、(2012重庆（理）14)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。解：方法1：设、的坐标分别为、，由抛物线的方程y2=2x知，由性质3知=令为(1)式，由性质1知=，由题设知=，所以=令为（2）式，解（1）、（2）得，所以 。方法2：由抛物线的方程y2=2x知，由性质4知，所以，解得AF=。例题3、（2013年高考课标卷（文）10）设抛物线C :y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A 、B两点.若|AF|=3|BF|，则L的方程为（）A、y=x-1或y=-x+1 B、y=(x-1)或y=(x-1)C、y=(x-1)或y=(x-1) D、y=(x-1)或y= (x-1)解：由抛物线的
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