我们对网格图形中的格点三角形问题已比较熟悉了.doc

我们对网格图形中的格点三角形问题已比较熟悉了，可是在学习正方形内容时遇到一些由格点三角形变式的问题却感到有困难。在这些变式的问题里，网格正方形的大小可以不一样，形状也可变成长方形，而且其中的格点三角形不仅需要求面积，也可以求特殊内角的度数，题目的难度增加了。一、探究方法湖北省教学研究室编著的数学八(下)练习册上有这样一道题：如图1，正方形ABCD的边长为2，点E在AB上，四边形EFGB为正方形，则=_.分析：这道题让学生和部分老师“卡壳”了。注意到AFC（即图1的阴影部分）是一个一般三角形，根据图中已知条件易求出AC的长，由于E是AB上的任意一点，可以把E点理解为动点（E在AB上滑动），所以F点也是动点，那么想求出AC边上的高的思路打不开，因此直接用三角形面积公式求AFC的面积非常困难。笔者提示一下，如果我们把AFC放置在网格中（且A、F、C三点都在格点上），或把AFC置身于平面直角坐标系中（且知道A、F、C三点的坐标），那么读者，你的思路现在是不是打开了呢？可能大部分学生都能想到用一个长方形把AFC“框起来”（如图2）。对，割补法，将AFC的面积通过实施割补、剪拼等方法转化为规则图形（如矩形、梯形、直角三角形等）的面积之和或差，这样问题就能解决了。如图2，延长DA、 GF，两者相交于点H，矩形GCDH把AFC“框起来”。则（或者），可以说思路非常好，但是真正计算时，发现还是缺少条件，由于题目只告知了正方形ABCD的边长为2，而没有告诉正方形EFGB的边长，AH、HF、FG、GC无法求出，所以思路再次受阻。走到这一步，笔者需要提醒读者的是，在平时的数学学习中，要多注意“动点问题”的思维和训练，因为动点问题是近年来中考的一个热点问题。针对某些几何图形，我们要把它看“活”，而不是静止不动的。如图2中，点E是AB上的任意一点，我们可以把它理解为动点，随着动点E在线段AB上滑动，正方形EFGB的边长和AFC的形状在不断的变化，而题目既然让求出AFC的面积（即），大胆猜测，肯定是一个定值，难道说，AFC的面积大小与正方形EFGB的边长的大小无关吗？所以，不妨设正方形EFGB的边长为，则 =+- =2可见，这个结果中不含字母，所以，AFC的面积大小与正方形EFGB的边长无关。像这样，在三角形AFC的“外围”构造规则图形（如矩形、梯形等），把AFC“框起来”，进而想到用整体减去部分的方法求面积，笔者给取个名称，叫“外框法”。本题构造的“外框”有利于发展学生的思维水平和提高学生解题的兴趣，是网格面积的常规求解方法之一。另外，笔者发现了有少数学生采用了“特殊值法”，如把E看成AB的中点，也使文首的问题得到了解决。我们可以看出，此法虽然不可取，但也不失为作填空题和选择题的好方法。顺着这个思路再深入理解，当E点滑动到A点处或B点处时，在E点滑动的过程中， AC的大小和位置至始至终都没变，而AFC的AC边上的高的位置在不断的发生变化。而前面已大胆猜测题目所求的AFC的面积（即）肯定是一个定值，所以AFC的AC边上的高的大小不变。当E点滑动到B点处时，F点与E点重合于B点处，此时AFC的AC边上的高等于ABC的AC边上的高。可见AFC与ABC是同底等高的三角形，所以，为什么呢？经验告诉我们，两平行线之间夹的同底等高的三角形面积相等。从而想到连接BF（如图3），难道BF与AC平行吗？显然ACB=FBG=，所以BFAC。=2，这种方法，笔者给取个名称，叫“等面积转换法”。二、应用举例下面，我们进行“实战演练”。(一) 求矩形顶点构成的三角形的面积例1 （2010中考广西南宁）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图4所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为( )A10 B12 C14 D16方法一：外框法【解析】 如图5，延长AE交PK的延长线于点H设正方形ABCD、正方形RKPF的边长分别为、，则 = = = 16. 故应选D或许有些学生认为上面求SDEK的表达式比较麻烦，他们注意到四边形AHKD是一个梯形，这样，表达式变得简单多了。可是表面简单的问题有时实质并不一定简单，因为我们将化简得，由于已知条件并没有直接告诉的值，有的同学做到这里“卡壳”了。怎么办呢？笔者提示一下，这里需要利用相似形知识找出，的关系。我们注意到DCGGPK，则有，即，整理得.所以可得.当然只要读者肯动脑筋，求的表达式不止这两种。方法二：等面积转换法【解析】 从所给的选项可知DEK的面积可以求出来，而已知条件仅告诉了正方形BEFG的边长为4，我们可以大胆猜测：DEK的面积仅与正方形BEFG的面积有关，而与其它两个正方形的面积无关！于是我们应该设法让DEK与正方形BEFG发生联系！联想两平行线之间夹的同底等高的三角形面积相等，于是我们连接DB、GE、FK，如图6所示，则DBA=GEB=45，DBGE所以GED与GEB同底等高,同理于是=16,这样做是不是十分简捷呢？从以上两种方法可以看出，在解决数学问题的时候，思考问题的角度非常重要！这就要求我们在平时的学习和解题过程中，要注意积累解题经验和技巧，对于不同的数学问题，要注意选准问题的视角，然后“对症下药”，尽可能使复杂的问题简单化！(二) 求矩形顶点构成的三角形的特殊内角的度数例2 湖北省襄阳市樊城区2010-2011学年度八(下)数学期末检测卷上有这样一道选择题：如图7，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为( )A. B. C. D.【解析】 在检测过程中，很多学生在这道题上浪费了较多的时间，最后竟然拿量角器量出ABC的度数，但不知所以然。就原图（图7）而言，很难直接求出ABC的度数。经验告诉我们，可以用“外框法”。于是分别延长AH和EC相交于点D（如图8），再分别延长AG和EB相交于点F，连接AC，此时ABC就像被矩形ADEF“框了起来”（如图8）。易证ADCCEB，所以AC=BC在CEB中，BE=1，CE=2，E=，AC=BC=同理可得AB=所以，在ABC中，可得，ACB=（当然也可证ACD+BCE=而得）ABC是等腰直角三角