高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质（一）课件 北师大版选修11.ppt

1 2椭圆的简单性质 一 第二章 1椭圆 学习目标1 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质 并正确地画出它的图形 2 根据几何条件求出曲线方程 并利用曲线的方程研究它的性质 图形 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一椭圆的简单性质 对于方程c1 令x 0 得y 4 即椭圆与y轴的交点为 0 4 与 0 4 令y 0 得x 5 即椭圆与x轴的交点为 5 0 与 5 0 同理得c2与y轴的交点为 0 5 与 0 5 与x轴的交点为 4 0 与 4 0 答案 怎样求c1 c2与两坐标轴的交点 交点坐标是什么 思考2 椭圆具有对称性吗 有 问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形 也是以x轴 y轴为对称轴的轴对称图形 答案 思考3 椭圆方程中x y的取值范围分别是什么 c1 5 x 5 4 y 4 c2 4 x 4 5 y 5 答案 梳理 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c x a y b x b y a x轴 y轴和原点 a 0 0 b 0 a b 0 2a 2b 知识点二椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样 哪些量影响其扁平程度 怎样刻画 答案 梳理 1 定义 椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的 用e表示 2 性质 离心率e的取值范围是 当e越接近1 椭圆越 当e越接近 椭圆就越接近圆 离心率 0 1 扁 0 题型探究 类型一椭圆的简单性质 例1求椭圆9x2 16y2 144的长轴长 短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 椭圆的长轴长和短轴长分别是2a 8和2b 6 四个顶点坐标分别是a1 4 0 a2 4 0 b1 0 3 和b2 0 3 解答 引申探究已知椭圆方程为4x2 9y2 36 求椭圆的长轴长 短轴长 焦点坐标 顶点坐标和离心率 解答 可知此椭圆的焦点在x轴上 且长半轴长a 3 短半轴长b 2 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上 再利用a b c之间的关系和定义 求椭圆的基本量 反思与感悟 跟踪训练1设椭圆方程mx2 4y2 4m m 0 的离心率为 试求椭圆的长轴长和短轴长 焦点坐标及顶点坐标 解答 焦点坐标为f1 1 0 f2 1 0 b2 2 0 类型二求椭圆的离心率 命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题例2设f1 f2分别是椭圆e 1 a b 0 的左 右焦点 过点f1的直线交椭圆e于a b两点 af1 3 bf1 1 若 ab 4 abf2的周长为16 求 af2 解答 由 af1 3 f1b ab 4 得 af1 3 f1b 1 因为 abf2的周长为16 所以由椭圆定义可得4a 16 af1 af2 2a 8 故 af2 2a af1 8 3 5 解答 设 f1b k 则k 0 且 af1 3k ab 4k 由椭圆定义可得 af2 2a 3k bf2 2a k 在 abf2中 由余弦定理可得 ab 2 af2 2 bf2 2 2 af2 bf2 cos af2b 化简可得 a k a 3k 0 而a k 0 故a 3k 于是有 af2 3k af1 bf2 5k 因此 bf2 2 f2a 2 ab 2 可得f1a f2a 故 af1f2为等腰直角三角形 反思与感悟 跟踪训练2椭圆 1 a b 0 的两焦点为f1 f2 以f1f2为边作正三角形 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边 则椭圆的离心率为 答案 解析 方法一如图 df1f2为正三角形 n为df2的中点 f1n f2n nf2 c 则由椭圆的定义可知 nf1 nf2 2a 方法二注意到焦点三角形nf1f2中 nf1f2 30 nf2f1 60 f1nf2 90 则由离心率的三角形式 可得 命题角度2利用a c的齐次式 求椭圆的离心率 或其取值范围 例3 1 设椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 过f2作x轴的垂线与c相交于a b两点 f1b与y轴相交于点d 若ad f1b 则椭圆c的离心率等于 答案 解析 2 若椭圆 1 a b 0 上存在一点m 使得 f1mf2 90 f1 f2为椭圆的两个焦点 则椭圆的离心率e的取值范围是 答案 解析 由题意知 以f1f2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点 则c b 即c2 b2 所以c2 a2 c2 又0 e 1 若a c的值不可求 则可根据条件建立a b c的关系式 借助于a2 b2 c2 转化为关于a c的齐次方程或不等式 再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂 得到关于e的方程或不等式 即可求得e的值或取值范围 反思与感悟 跟踪训练3若一个椭圆的长轴长 短轴长和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 答案 解析 由题意知2a 2c 2 2b 即a c 2b 又c2 a2 b2 消去b整理得5c2 3a2 2ac 类型三利用椭圆的简单性质求方程 例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程 解答 所以b2 a2 c2 5 解答 在求椭圆方程时 要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴 从而确定方程的形式 若不能确定焦点所在的坐标轴 则应进行讨论 然后列方程 组 确定a b 这就是我们常用的待定系数法 反思与感悟 解答 椭圆过点 3 0 点 3 0 为椭圆的一个顶点 当椭圆的焦点在x轴上时 3 0 为右顶点 则a 3 当椭圆的焦点在y轴上时 3 0 为右顶点 则b 3 当堂训练 2 3 4 5 1 1 椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为a 13 0 b 0 10 c 0 13 d 0 答案 解析 2 如图 已知直线l x 2y 2 0过椭圆的左焦点f1和一个顶点b 则椭圆的离心率为 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 与椭圆9x2 4y2 36有相同焦点 且短轴长为2的椭圆标准方程是 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知点 m n 在椭圆8x2 3y2 24上 则2m 4的取值范围是 答案 解析 2 3 4 5 1 5 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 1 已知椭圆的中心在原点 焦点在y轴上 若其离心率为 焦距为8 解答 由题意知 2c 8 c 4 a 12 从而b2 a2 c2 128 2 3 4 5 1 2 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形 且焦点到同侧顶点的距离为 解答 规律与方法 1 已知椭圆的方程讨论性质时 若不是标准形式 应先化