第5.5节不可逆过程动力学的理论框架.doc

第5.5节 不可逆过程动力学的理论框架我们曾在第二章中导出了波尔兹曼方程、朗道方程、弗拉索夫方程，它们是由单粒子约化分布函数所满足的非线性封闭方程得到的。这些方程虽然没有考虑到分布矢量中其他分量的演化方程，但是能够描述大量实际系统的不可逆行为。足可见真空模式比关联模式更重要。前面几节所建立的投影算子CV，传播算子，分解算子等等对分布矢量的作用，虽然能够了解的详细演化规律，但是由于的存在使得分布矢量的真空分量Vf和关联分量Cf的演化方程之间相互交链: 例如这说明在有相互作用下CV分量不具有子动力学的属性，因此认为基于CV对关联模式的分类是不足取的，有必要建立新的理论框架，在这个框架内模式分类具有具有子动力学的属性，为此耗费物理学家、数学家们大量的精力，通过采用粗粒近似、时间平滑、渐近近似、方程链切断等近似技巧来处理精确的刘维，使精确的刘维方程变成为近似的动力学方程，终于找到一种分类：分布矢量可以作这样的分解：这种分类保证：（1）得具有第二四章中所讨论的特性，（2）是一个封闭方程，该方程能描述不可逆过程，即真空部分的演化只涉及。（3）在动力学理论中的作用则极小。具体做法是：引进新的与时间无关的投影算子，使分解为和两个分量，而且使部分的演化方程具有不可逆地向平衡态演化的特性。内容提要1 投影算子和2 算子的建立3 动力学传播算子一、 投影算子和在有相互作用的情况下，假定存在算子和，它们对分布矢量的作用，是把它分解为两个互补而不相交的子集：这里的投影算子 同样应当具备以下特性：称为的完全关系集，只有具备（5.5.7，8）特性的算子，才能使及子集是互补而不相交。为了使（5.5.6）的分解不受时刻的限制，系统从状态演化到的状态，不应当受各种算子操作顺序的限制。也就是说，算子先后运算结果相同（见图5.5.1所示）。这就要求 同 u(t) 是对易的：图5.5.1算子的不同作用顺序对分布矢量的演化结果必须一致。 下面我们来建立两个子集和的演化方程即同理可得由此可见，两个子集和的演化方程是封闭的，不存在交叉，而且在形式上满足同样的刘维方程。 问题（1）为什么这两个子集能独立地进行演化？答 这是由于我们引进传播算子u(t)与算子对易的结果。如果不对易将导致（5.5.12-13）式不成立（不满足刘维方程） （2）仅利用对易关系就能确定这两个投影算子吗？答 对无微扰刘维方程，投影算子CV具有子动力学的一切属性，因此在无相互作用情况下应当分别回复为V 和C 。这是寻找两算子时必须遵循的又一规则。综上所述，希望找到的投影算子，必须具备以下诸性质： 与传播算子u(t)对易 在无相互作用情况下 投影算子应当满足完全关系集（5.5.78）式的要求。 的时间演化方程是封闭方程 演化方程的定态解同平衡分布相当；和的演化方程互补彼此之间没有交叠。下面根据这些要求来寻找投影算子。二、 算子的建立要建立满足u与对易的条件（5.5.9）和的完全关系集的算子，首先利用（5.4.22），把同u的对易关系化成为对R的对易关系因为（5.4.22）所以上述关系对于非奇点所在的一切值都必须满足。求算子基思想是：（1）将（5.5.14）两边分别化为真空-真空，真空-关联，关联-真空，关联-关联四个分量。（2）利用上一节得到VRC， CRV， VRV，CRC同不可约演化算子的关系，求出算子的真空-真空，真空-关联，关联-真空，关联-关联四个分量，（3）在第二步基础上求和得到算子。下面先求真空-真空1 真空-真空分量因为 在与R之间插入V+C得到（5516）又因为（5.4.45-47）将VRC，CRV代入（5.5.16）将其化为同不可约演化算子有关的关系式：再将VRV代入上式中的用（5.4.44）代入，并令得到2 真空-关联分量同以上相似的推导，把其中VRC，CRC代入，可得根据同样道理，读者不难得到相应的R的C-V，C-C 两个分量的表达式。由于这两个分量对求没有贡献，可以不用求。说明：由于除(5.5.20)中第4项外,其余项在Z=0点表现奇性(多极性)，所以规定（5.5.18，20）式中的算子等算子都是在Z=0的邻域为规则函数，而且在Z=0处不等于零的函数(否则（5.5.18,20）成为恒等式)。满足这些附加条件的系统称为一类动力学系统，本书只讨论这类动力学系统。下面利用这些附加条件，将（5.5.18,20）各项都对Z沿Z=0点作圈积分，并利用下述形式的柯希留数定理：这里我们利用了缩写符号利用 (5.5.21) 将(5.5.18) 和(5.5.20)分别化为一下两个关系式：(5.5.20)中第4项经积分为零。从上两式可以找到算子了.(1) 平庸解 首先注意到是满足 (5.5.23) 和 (5.5.24) 的平庸解，这就表示这个解不满足在无相互作用情况下条件，因此必须抛弃。(2) 非平庸解1 从 (5.5.23) 及 (5.5.24) 可以看到，第二个解是：因为这个解代入 (5.5.2324) 时正负各项正好抵消，大括号内不能抵消的项正好由上述的第三个等于零的因子所满足。因为这个解不满足在无相互作用情况下条件，因此必须抛弃。（3）非平庸解2从 (5.5.23) 及(5.5.24)可以看到，如果解为：那末(5.5.23) 和 (5.5.24)中的各项正好逐对抵消而恒等于零。说明：如果仿照 (5.5.18,20)求出R 的C-V和C-C两个分量，那末最后得到的类似于(5.5.2730) 的关系式是相同的，这便说明再从C-V,C-C分量来寻找 算子是多余的。把相应的(5.5.2730)四式相加，即得为了证明取则满足在无相互作用情况下条件。为了证明(5.5.31)就是要求的解，下面证明与转播算子对易 三、动力学传播算子要证明由(5.5.31)表示的同传播算子u(t) 在任何时刻都对易，并不是一件很容易的事情，主要的证明可查阅本章的附录，这里只介绍简单的思路。 首先引入动力学传播算子 ：再根据 判断应当具有 表达式类似的结构：由此再证明因此，从(5.5.34)和(5.5.36)便说明我们找到的算子 确实满足同传播算子u(t)对易的要求。 说明 如果把传播算子u(t)在t为小量时展开为从传播算子u(t)与 的对易关系，可以得到对易关系： 小结：（1）到此为止，我们至少从原则上找到了完全满足要求的投影算子 。引入投影算子将f(t)分解为和两个分量，这两分量的演化决不重叠，同 互补的算子为（2）投影算子的具有性质(5.5.24) 直接证明性质很麻烦，参见本章的附录2。 （3）引进动力学传播算子 以后，我们就可以用 来描述系统演化的动力学方程，例如动力学分量的演化方程为如果再引进算子则可得f(t)的另一分量（4）在无相互作用下（5）t=0时刻（6）演化方程这两个方程说明，是的时间演化的精确结果。而 则是的演化结果，在整个演化过程中这两个互补的分量之间始终不出现交迭的事件。这说明它们按照各自的子动力学规律在各自的子空间中彼此独立地随时间演化。这种力学规律性存在于无相互作用的系统中，同样也存在于相互作用的系统中。这种普遍规律性的寻找耗费了众多物理学家和数学家的巨大精力，这也是统计力学最重大的成就之一。 下一章我们要在本节的基础上，把同第二章中导出的三个动力学方程联系起来。鉴于这个原因，今后我们把分布矢量的分量称为动力学分量，分量称为非动力学分量。 本节要求掌握投影算子的定义和求解，了解这些算子具有的性质，掌握动力学传播算子，了解动力学传播算子与传播算子u(t)的关系。第5.6节 关联的动力学分量和非动力学分量的演化方程前一节我们引进投影算子 和 ，使得分布矢量 分解为两个分量：这里我们把 这一分量称为动力学分量，而称分量为非动力学分量。因为这样的两个分量 、 的时间演化是彼此独立的，但直接解该方程是比较困难的。经过研究发现：将这个分量分解成真空和关联分量，例如则这两个分量与是互相独立的，而且只要求出，就可以直接给出。证明如下如图为二维笛卡尔空间。OV，OC 为一对彼此正交的坐标轴，用，表示另一对彼此正交（但原点相同）的坐标轴，其中 与OV的夹角为 . 设 是一个原点为o与OV的夹角为的矢量，它的两个分量和分别沿和轴，其中的 分量又可以进一步分解为沿OV 和OC的 及，很显然这就说明比值与矢量的原来方向无关，但只 与OV的夹角、 有关。因此，不管是何种矢量，不变。相反，原矢量的CV分量却是互相交链的：对于不同方向的， 的比值是不同的，这就说明与 这两个分量是彼此没有联系的。因此我们希望通过建立 ，的真空关联分量方程，并通过解这些方程来获得分布矢量。内容提要1产生算子和湮灭算子2动力学传播算子同及 的关系3的动力学方程4算子5与时间无关的函数形式，6动力学演化方程7分布矢量的非动力学演化方程一、产生算子和湮灭算子 在建立方程之前，先引入两个算子，因为它们与有关。在.节得到：分解算子R（Z）可用相互作用刘维及不可约演化算子 的组合下面我们先将进行拉普拉斯逆变换：将代如上式，零级项与无关，拉普拉斯逆变换后为，而另一项拉普拉斯逆变换结果记为，则其中的象函数为为了讨论的方便，我们引进两个今后常用的算子来表示的两个等价的拉普拉斯逆变换：从形式上可以看到，(5.6.5)定义的算子作用到某一函数上时，先由V把该函数取出真空分量，再通过CB的作于作用仅留下关联子空间的分量。这种最终留下关联的算子称为产生算子CB；相反，最终留下真空的算子VD则称为湮灭算子。这两个算子又可以用下述的卷积来定义：现在我们来说明产生和湮灭算子是与.事实上(5.6.9)这就说明引进CB(t)V,VD(t)C之后，具有形式上的对称关系。下面我们再来讨论如何将动力学分布矢量的关联分量用真空分量 的泛函来表示。二、动力学传播算子同及 的关系 根据上一节的引入了动力学传播算子可见它对刘维方程解有举足轻重的作用，为此讨论它的求解. 先把它分解为以下四个分量：为了把(t) 同 及 联系起来，利用当上式两边同时左乘C 以后，考虑到CV=0 ，。此外利用牛顿二项式： 再利用莱布尼兹微分公式则(5.5.35)可以化成为另一方面利用上式代入，积分变成对Z求q次偏导，从而有其分量为证明:因为所以（5.6.12）式中的因子这里应用了Lap逆变换因为所以证明结束按照同样的道理，我们可以用湮灭算子来描述另外两个分量：讨论:从(5.6.13)和(5.6.19)可以看到，引进产生算子和湮灭算子之后，我们就可以从时刻的 得到t 时刻的, 两个分量，再将他们代入(5.6.14) 和(5.6.20)就可以得到。因此，为了得到演化方程，只要求出动力学传播算子的V-V分量就可以了。通过算子可以把动力学分量的关联部分用真空部分表示出来：由此可见，只要将 的演化方程上式便得到了 。这是我们引进产生和湮灭算子的目的所在，也是关联动力学理论中各分量之间的约束关系.三、 的动力学方程f(t)的动力学方程为相应的真空分量的运动方程可写成：将（5.6.22）带入（5.6.24），可得：利用和得到这就是所满足的封闭方程。因此比直接解刘维方程要容易，因为后者不封闭。应当指出：这个方程不是真正的动力学方程。第二章所得到的玻耳兹曼方程、朗道方程和福克普朗克方程才是真正的动力学方程。也就是说：真正的动力学方程是单粒子分布函数的封闭的马尔柯夫方程。也就是说t时刻的函数的变化率只取决于同时刻的函数值 ，这样的演化过程才能称为马尔柯夫过程，而（5.6.25）右边的第二项却反映了t时刻的还同t-时刻的 有关。其次，演化方程必须明确地描述不可逆地朝热平衡的状态进行。下面将看到，只要对（5.6.25进行适当的变换，就可以得到真正的动力学方程。四、算子 如果存在一个与时间无关的算子，它只有 一个分量，其他的三个分量都等于零。很显然，方程（5.6.25）解可以由的指数形式表出：这里也是一个同t无关的算子。在此我们假定在感兴趣的具体物理问题中，总是存在的，至于解确实存在的普遍数学证明这是现在尚未解决的问题。 把（5.6.26）t求导，得动力学分布矢量的真空分布所满足的方程为：如果确实存在，那么方程（5.6.27）同（5.6.25）是等价的，即（5.6.26）是线性方程（5.6.25）的唯一解。 下面我们用逐次迭代法建立 算子。 将（5.6.26）代入（5.6.25）得 由这个方程可以的出的下列方程：这是一个极其复杂的非线性积分方程。对某些系统，可能不存在，不过我们只讨论方程（5.6.28）有解的系统。而且我们解可以用迭代法求出。 从（5.6.28）看到，零级近似为这个方程的物理意义留待6.3节再详细解释。考虑到从算子 经由6.3节的具体推演可以得到2.5节的符拉索夫方程（2.5.12），故这里 再引进一个符拉索夫传播算子关于的物理含义也留待6.3节再解释。值得指出的是 取决于相互作用。将（5.6.30）代入（5.6.28）的被积函数中，得(5.6.31) A B为了得出的更高阶近似。我们就要利用下述恒等式来计算这个算子的指数：其证明见(P255)将（5.6.31）右边的头一项看做A，第二项看做B，并利用（5.6.30），得到一个含 因子的一级近似式 B 利用这一结果，根据同样道理可以得到（5.6.28）的两次迭代形式为(二级近似式)：我们可以同样的方式反复地迭代下去，很容易发现相继各项之间具有极其规律的结果，因此的完整形式解可以写成为其中这里我们必须命令 因为添上完全是为了使奇数 宗量的积分限更有规律以及使 中的宗量逐个排列的更有次序。 结论 从（5.6.34）及（5.6.35）可以看到，我们的确 可以通过对算子 及符拉索夫传播算子有关的函数的多重时间积分得到所需的算子，借此，方程（5.6.27）才成为真正的封闭动力学方程即分布矢量动力学分量的真空分量的动力学方程只同t时刻的 有关，不像方程（5.6.25）那样同有关。称(5.6.36)为广义动力学方程，原因是第二章中导出的三个动力学方程只不过是它的几种特例引进算子使动力学方程成为同历史无关的马尔柯夫过程的演化方程。原先的时间相关性都转移到新算子 中来。 到此为止，在我们的理论筐架中的动力学既没有与任何力学规律相冲突，也没有采用任何概率性的描述。因此，动力学方程（5.6.27）或（5.6.36），是分布矢量动力学分量（恒定部分）的真空分量的精确的演化方程。尽管在推导中使用两个假定（5.5.20b）假设1.等等算子都是在Z=0的邻域为规则函数.假设2. 与时间无关算子存在但这些假设都是动力学假定，不是统计假定。上面得到的算子涉及到对时间宗量的积分，这是使非马尔柯夫方程（5.6.25）变成马尔柯夫过程（5.6.36）所付出的代价。为了把对不同时间宗量积分的函数，转化为计算同一时刻的泛函，下面我们不作证明，通过将 同的类比，得到几个实用的算子方程，目的是给出分布矢量的其它关联分量。证明设则对时间积分 五、与时间无关的函数形式（即、） 考虑到关于的方程（5.6.26）可以写出的相应方程可以进一步证明下述镜像对称性同样成立：这里的算子形式上同相似，同样可以用下述的展开式来表示：其中这里我们同样应令，以上关系说明 同 之间具有镜像对称性。（前者时间从大到小，从算子开始，后者从小到大，从算子开始） 下面再考虑 将（5.6.37）代入可得：或这里我们引入一个新的算子（5.6.41）将关联分量通过一个与时间无关的算子 与同时刻的真空分量 联系了起来。实际上这还是把同历史有关的积分因素归并到之中，我们称为时间无关算子，当C放在动力学传播算子前时算子C相当。 利用与 类似的指数展开，我们可以得级数展开式：其中对比可以看出（43-44）两式完全类同于（5.6.34）和（5.6.35），差别只是被积函数中的头一个因子是而不是 下面导出另一个算子将 同 结合起来，我们得到：即（可见当C放在传播算子后算子C相当C=VDC）其中这里的算子正如前面的算子 一样，也可以以同样的方式展开，在此我们只写出同（5.6.44）头一项相应的一项：以上就是我们要给出的两个时间无关算子，给出他们的目的是为了给出除分量外其他分量的演化方程。下面先给出演化方程 六、 动力学演化方程 下面给出演化方程，说明演化完全由决定。由上面讨论得到因此（5.6.49）实际上是关于的非线性关系。下面将说明，从（5.6.49）可以导出并且Cf可以由Vf给出利用（5.6.9）及（5.6.42）得到将（5.6.50）代入（5.6.49），就回复到动力学方程（5.6.25）因为这就是我们要给出的方程。可见演化完全由决定。 为了后面应用和参考的方便，我们把