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10-11-2 数学物理方程与特殊函数（A卷）参考答案一填空题 1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题；2，函数 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程；3，；4，；5，；6，； 7，；无界的；8，二解：相应方程的特征方程为：，即：，。由此得积分曲线：，。作特征变换：，则：，；，。代入原方程，整理得：，则通解为：，其中是任意两个连续二次可微函数。因此原方程通解为： 。由初值条件有： ，。由微分方程有：因此 ，。代入通解得到所求解为：。三解：设函数分别是下列两个定解问题的解：（） （）则根据线性方程解的叠加原理，原定解问题的解。 现求解问题（）：设此问题的非平凡解，代入方程有，则有：。上式左右两边分别是和的函数，只能等于同一常数时才能成立，因此有，。代入边界条件，注意到要求解的非平凡性，有。由此有特征值问题： 其特征方程是：； 当时，特征根，方程通解，由定解条件有，则，此时是平凡解； 当时，特征重根，方程通解，由定解条件有，此时也是平凡解； 当时，特征根，方程通解。由定解条件有。为了得到非平凡解，需，则只能，由此有，则特征值，特征函数，；把代入的微分方程，得到，其特征方程为，当时，特征重根，方程通解；当时，特征根，方程通解；则满足问题（）中方程和边界条件的特解,，,由此得到级数解.由初值条件有. 根据特征函数系的正交性，有常数，, . 因此，关于求导得.由初值条件有. 同样根据特征函数系的正交性，有常数，,. 因此，问题（）的解.现求解问题（）：由于问题（）中的特征函数系，设定解问题（）的级数解为：。代入方程和初值条件可得：, ；由特征函数系的正交性，有 和时 对于问题，对应齐次方程的特征方程为，特征重根，则齐次方程通解. 设非齐次方程特解，代入方程有，所以, 则方程通解. 由初值条件有，故问题的解为. 对于问题，方程的特征方程，当时，特征根,方程通解. 由初值条件有,因此 . 由此可知问题（）的解 . 综上可得，原问题的解四解：记函数的变换, 对方程和初值条件作变换，并利用其微分性质，有方程的特征方程为，特征值，则方程通解为由初值条件有常数所以，则根据变换的卷积定理有 根据逆变换的定义和函数的性质有根据卷积的定义，最终得到初值问题的解五证明： 记, . 时，则， ，所以 ，故，即；由于，则在时，有,因此. 综上所述，函数满足该问题。六解： 由物理意义，温度函数满足自然条件： 当时，；当时，令，代入方程得. 由此有，此式成立，只能等式两边等于同一常数, 因此有 ， .方程的解为，由条件知，令。是阶方程，此时方程的通解为.由于第二类函数的值在时是无穷，由条件知，常数，因此
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