江苏省江阴市高三数学上学期月考试卷（含解析）.doc

江苏省江阴市2015届高三上学期 月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）已知全集u=1，2，3，4，集合a=l，2，3，b=2，3，4，则u（ab）=2（5分）函数y=+lg（2x1）的定义域是3（5分）在曲线y=x33x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为4（5分）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为5（5分）已知集合a=x|x2x0，xr，设函数f（x）=2x+a（xa）的值域为b，若ba，则实数a的取值范围是6（5分）设f（x）是定义在（，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，若，三角形的内角a满足f（cosa）0，则a的取值范围是7（5分）设不等式组，表示的平面区域为d，若指数函数y=ax的图象上存在区域d上的点，则a的取值范围是8（5分）设奇函数f（x）的定义域为r，最小正周期t=3，若f（1）1，f（2）=，则a的取值范围是9（5分）已知函数f（x）=loga（+x）+（a0，a1），如果f（log3b）=5（b0，b1），那么f（lob）的值是10（5分）函数f（x）=，则函数y=f（x）+1的所有零点构成的集合为11（5分）已知数列an满足2an+1=an+an+2（nn*），它的前n项和为sn，且a3=10，s6=72若bn=an30，求数列bn的前n项和的最小值为12（5分）对于任意k1，1，函数f（x）=x2+（k4）x2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是13（5分）已知椭圆c：和圆o：x2+y2=b2，若c上存在点p，使得过点p引圆o的两条切线，切点分别为a，b，满足apb=60，则椭圆c的离心率的取值范围是14（5分）已知函数f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则的最小值等于二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15（14分）定义在r上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2r，都有，则称f（x）是r上凹函数已知二次函数f（x）=ax2+x（ar，且a0）（1）求证：当a0时，函数f（x）的凹函数；（2）如果x0，1时，|f（x）|1，试求a的取值范围16（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：（x+3）2+y2=4和圆c2：（x4）2+（y4）2=4（1）若直线l过点a（4，1），且被圆c1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）是否存在一个定点p，使过p点有无数条直线l与圆c1和圆c2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由17（14分）我国西部某省4a级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143|x22|（元）（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1x30，xn*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？18（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：=1（ab0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k0，m0）交椭圆于a，b两点，线段ab的中点为m，射线om分别交椭圆及直线l于p，q两点，如图若a，b两点分别是椭圆e的右顶点，上顶点时，点q的纵坐标为（其中e为椭圆的离心率），且oq=om（1）求椭圆e的标准方程；（2）如果op是om，oq的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由19（16分）已知数列 an和bn满足 ，bn的前n项和为tn（）当m=1时，求证：对于任意的实数，an一定不是等差数列；（） 当时，试判断bn是否为等比数列；（）在（）条件下，若1tn2对任意的nn*恒成立，求实数m的范围20（16分）已知函数f（x）=lnxx，ar（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a1时，设函数g（x）=|f（x1）+x1+|，若实数b满足：ba且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4b5江苏省江阴市2015届高三上学期月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）已知全集u=1，2，3，4，集合a=l，2，3，b=2，3，4，则u（ab）=1，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由a与b求出两集合的交集，根据全集u，求出交集的补集即可解答：解：全集u=1，2，3，4，集合a=l，2，3，b=2，3，4，ab=2，3，则u（ab）=1，4故答案为：1，4点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（5分）函数y=+lg（2x1）的定义域是考点：对数函数的定义域 专题：函数的性质及应用分析：由解析式令2x10且3x20，进行求解即可，最后需用区间或集合表示解答：解：要是函数有意义，需2x10且3x20，解得x，函数的定义域为（，+）故答案为：（，+）点评：本题考查了复合函数的定义域求法，根据解析式列出不等式组进行求解，属于基础题3（5分）在曲线y=x33x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为y=3x+1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义 专题：导数的概念及应用分析：先对y=x33x+1求导得y=3x23，根据二次函数的单调性求出当x=0时其最小值为3，据此求出切点，进而写出斜率最小时的切线方程解答：解：y=x33x+1，y=3x233，当x=0是，切线的斜率最小值且为3，当x=0时，y=1，切点为（0，1），切线的方程为y1=3（x0），即y=3x+1故答案为y=3x+1点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，熟练求导及根据二次函数的单调性求最小值是解决问题的关键4（5分）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为x2=1考点：双曲线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：不妨取双曲线x2=1（a0）的右焦点f（，0），利用点f到其一条渐近线y=x的距离为可求得a的值，从而可得答案解答：解：双曲线方程为x2=1（a0），其右焦点f（，0），y=x为它的一条渐近线，点f到渐近线y=x的距离为，=，a=3则此双曲线方程为：x2=1故答案为：x2=1点评：本题考查双曲线的标准方程，考查点到直线间的距离，求得a的值是关键，属于中档题5（5分）已知集合a=x|x2x0，xr，设函数f（x）=2x+a（xa）的值域为b，若ba，则实数a的取值范围是考点：集合的包含关系判断及应用；指数函数的定义、解析式、定义域和值域 专题：计算题；转化思想分析：化简集合a，用参数a 表示出b，由ba转化出关于参数a的不等式组，解不等式组求出a的范围解答：解：由题设a=0，1，函数f（x）=2x+a（xa）是个减函数，则b=+a，2+aba，a0故应填，0点评：本题考查集合的包含关系，利用包含关系得到不等式求参数，此类题在转化为不等式时一定要注意等号是不是成立6（5分）设f（x）是定义在（，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，若，三角形的内角a满足f（cosa）0，则a的取值范围是考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 专题：计算题分析：根据函数在r上的奇偶性和在区间（0，+）上的单调性可以判断f（x）在区间（，0）的单调性再分角a是锐角，直角还是钝角三种情况讨论，cosa的正负，利用f（x）的单调性解不等式解答：解：f（x）是定义在（，+）上的奇函数，且在区间（0，+）上单调递增，f（x）在区间（，0）上也单调递增，当a为锐角时，cosa0，不等式f（cosa）0变形为f（cosa）f（），0cosa，a当a为直角时，cosa=0，而奇函数满足f（0）=0，a为直角不成立当a为钝角时，cosa0，不等式f（cosa）0变形为f（cosa）f（），cosa，a综上，a的取值范围为故答案为点评：本题主要考查了综合运用函数的单调性和奇偶性解含函数符号的不等式，易错点是只考虑函数在（0，+）的单调性，没有考虑（，0）的单调性7（5分）设不等式组，表示的平面区域为d，若指数函数y=ax的图象上存在区域d上的点，则a的取值范围是1a3考点：二元一次不等式（组）与平面区域；指数函数的图像与性质 专题：不等式的解法及应用分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用指数函数y=ax的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题解答：解：作出区域d的图象，联系指数函数y=ax的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点c（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点则a的取值范围是 1a3故答案为：1a3点评：这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题8（5分）设奇函数f（x）的定义域为r，最小正周期t=3，若f（1）1，f（2）=，则a的取值范围是1a考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据函数的周期为3且为奇函数，得f（2）=f（1）=f（1）1，即1，解之即得实数a的取值范围解答：解：f（x）的最小正周期t=3，f（2）=f（23）=f（1）奇函数f（x）满足f（x）=f（x）f（1）=f（1）1，即1，解之得：1a故答案为：1a点评：本题给出周期为3的奇函数，求解关于x的不等式，着重考查了函数的周期性、奇偶性和分式不等式的解法等知识，属于基础题9（5分）已知函数f（x）=loga（+x）+（a0，a1），如果f（log3b）=5（b0，b1），那么f（lob）的值是2考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用f（x）+f（x）=loga（+x）+loga（x）+=3即可得出解答：解：函数f（x）=loga（+x）+（a0，a1），f（x）+f（x）=loga（+x）+loga（x）+=+3=3f（lob）=f（log3b）=3f（log3b）=35=2故答案为：2点评：本题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）函数f（x）=，则函数y=f（x）+1的所有零点构成的集合为2，考点：函数的零点 专题：计算题分析：欲求函数函数y=f（x）+1的零点，即求方程f（x）+1=0的解，下面分：当x0时，当x0时分别求出函数y=f（x）+1的所有零点所构成的集合即可解答：解：当x0时，f（x）=x+1，由f（x）+1=0得x+1+1=0，x=2；当x0时，f（x）=log2x，由f（x）+1=0得log2x+1=0，x=；则函数y=f（x）+1的所有零点所构成的集合为 2，故答案为：2，点评：本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想属于基础题11（5分）已知数列an满足2an+1=an+an+2（nn*），它的前n项和为sn，且a3=10，s6=72若bn=an30，求数列bn的前n项和的最小值为225考点：数列递推式；数列的求和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：等差数列an中，由a3=10，s6=72，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，等差数列an的通项公式，可得数列bn的通项，从而可求前n项和tn的最小值解答：解：等差数列an中，由a3=10，s6=72，得a1+2d=10，6a1+15d=72，解得a1=2，d=4，an=4n2bn=an30=2n31，由bn=2n310，得n，bn前15项为负值，数列bn的前n项和tn的最小值=t15=225故答案为：225点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最小值的求法解题时要认真审题，仔细解答12（5分）对于任意k1，1，函数f（x）=x2+（k4）x2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是（，1）（3，+）考点：利用导数求闭区间上函数的最值 分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解解答：解：任意k1，1，函数f（x）=x2+（k4）x2k+40，恒成立，f（k）=k（x2）+x24x+40为一次函数，1（x2）+x24x+40，（x2）+x24x+40，解得x1或x3，故答案为（，1）（3，+）点评：此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于k的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，最此类恒成立题要注意13（5分）已知椭圆c：和圆o：x2+y2=b2，若c上存在点p，使得过点p引圆o的两条切线，切点分别为a，b，满足apb=60，则椭圆c的离心率的取值范围是考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用o、p、a、b四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆c的离心率的取值范围解答：解：连接oa，ob，op，依题意，o、p、a、b四点共圆，apb=60，apo=bpo=30，在直角三角形oap中，aop=60，cosaop=，|op|=2b，b|op|a，2ba，4b2a2，即4（a2c2）a2，3a24c2，即，e，又0e1，e1，椭圆c的离心率的取值范围是，1）故答案为：，1）点评：本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题14（5分）已知函数f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则的最小值等于考点：基本不等式；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据对数函数的性质，求出ab=1，然后利用基本不等式求的最小值解答：解：作出函数f（x）的图象如图，若f（a）=f（b），ab0，则0a1，b1，则f（a）=|lga|=lga，f（b）=|lgb|=lgb，f（a）=f（b），lga=lgb，即lga+lgb=lgab=0，解得ab=1ab0，ab0=，当且仅当，即ab=时取等号故的最小值等于故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用对数函数的图象和性质求出ab=1是解决本题的关键，注意基本不等式成立的条件二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15（14分）定义在r上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2r，都有，则称f（x）是r上凹函数已知二次函数f（x）=ax2+x（ar，且a0）（1）求证：当a0时，函数f（x）的凹函数；（2）如果x0，1时，|f（x）|1，试求a的取值范围考点：二次函数的性质；绝对值不等式 专题：新定义分析：（1）利用函数f（x）的解析式，根据凹函数定义即可验证；（2）由|f（x）|1表示出关于a的不等式，利用分离参数法，根据x的取值范围进行分析可得答案解答：（1）证明：二次函数f（x）=ax2+x任取x1，x2r，则=a（）2+（+）=a0，当a0时，函数f（x）的凹函数；（2）解：由1f（x）=ax2+x1，则有ax2x1且ax2x+1（i）若x=0时，则ar恒成立，（ii）若x（0，1时，有 a且a+a=（+）2+且a+=（）2，0x1，1当=1时，（+）2+的最大值为（1+）2+=2，（）2的最小值为（1）2=02a0；又由a0，则a的范围是2a0；综（i）（ii）知，2a0点评：本题考查新定义凹函数，考查学生对新定义的理解，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题16（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：（x+3）2+y2=4和圆c2：（x4）2+（y4）2=4（1）若直线l过点a（4，1），且被圆c1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）是否存在一个定点p，使过p点有无数条直线l与圆c1和圆c2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程 专题：计算题；数形结合分析：（1）设直线l的方程为y=k（x4）1，再利用圆c1的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点p的坐标为p（a，b），再利用圆心c1和圆心c2到l的距离相等，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在解答：解：（1）由于直线x=4与圆c1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为y=k（x4）1，圆c1的圆心到l的距离为d，所以d=1由点到直线l的距离公式得，从而k（24k+7）=0所以k=0或，所以直线l的方程为y=1或7x+24y4=0（2）假设存在，设点p的坐标为p（a，b），l的方程为yb=k（xa），因为圆c1和圆c2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆c1和圆c2的半径相等，到l的距离相等，即，整理得：（14a7）k2（8a+14b32）k+8b16=0，因为k的个数有无数多个，所以解得综上所述，存在满足条件的定点p，且点p的坐标为注：用平面几何知识可能更简单点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、绝对值方程式的解法、到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题17（14分）我国西部某省4a级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143|x22|（元）（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1x30，xn*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本解答：解：（1）依题意有p（x）=f（x）g（x）=（8+）（143|x22|）（1x30，xn*）=；（2）当1x22，xn*时，p（x）=8x+9762+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立）p（x）min=p（11）=1152（千元），当22x30，xn*时，p（x）=8x+1312，考察函数y=8x+，可知函数y=8x+在（22，30上单调递减，p（x）min=p（30）=1116（千元），又11521116，日最低收入为1116千元该村两年可收回的投资资金为111620%5%30122=8035.2（千元）=803.52（万元）803.52（万元）800（万元），该村在两年内能收回全部投资成本点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型属于中档题18（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：=1（ab0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k0，m0）交椭圆于a，b两点，线段ab的中点为m，射线om分别交椭圆及直线l于p，q两点，如图若a，b两点分别是椭圆e的右顶点，上顶点时，点q的纵坐标为（其中e为椭圆的离心率），且oq=om（1）求椭圆e的标准方程；（2）如果op是om，oq的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知条件推导出，2a=由此能求出椭圆e的标准方程（2）把y=kx+m，（k0，m0），代入，得（5k2+1）x2+10mkx+5m25=0，由此利用已知条件能求出为常数2解答：解：（1）椭圆e：=1（ab0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k0，m0）交椭圆于a，b两点，当a，b两点分别是椭圆e的右顶点和上顶点时，则a（a，0），b（0，b），m（）线段ab的中点为m，射线om分别交椭圆及直线l于p，q两点，q（，），由o，m，q三点共线，得，化简，得b=1（2分）oq=om，=，化简，得2a=由，解得a2=5，c2=4，（4分）椭圆e的标准方程为（6分）（2）把y=kx+m，（k0，m0），代入，得（5k2+1）x2+10mkx+5m25=0（8分）当0，5k2m2+10时，ym=，从而点m（，）（10分）直线om的方程y=由，得 （12分）op是om，oq的等比中项，op2=omoq，从而=|xm|xq=（14分）由，得m=2k，从而，满足0 （15分）为常数2（16分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足等比中项的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比中项、椭圆、直线方程等知识点的合理运用19（16分）已知数列 an和bn满足 ，bn的前n项和为tn（）当m=1时，求证：对于任意的实数，an一定不是等差数列；（） 当时，试判断bn是否为等比数列；（）在（）条件下，若1tn2对任意的nn*恒成立，求实数m的范围考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（）把m=1代入an+1=an+n，求出a1，a2和a3，假设是等差数列，推出矛盾，从而进行证明；（）把代入，对bn进行化简，对于首项要进行讨论，从而进行判断；（）在（）条件下，若1tn2对任意的nn*恒成立，求出tn的最大值和最小值即可，对于n的奇偶性要进行讨论，求出tn的范围，从而求解；解答：解：（）（2分）即2+1=0，=30，方程无实根故对于任意的实数，an一定不是等差数列（5分）（）=（9分）（10分）（），不成立（11分）当时当n为奇数时，当n为偶数（14分）1tn2对任意的nn*恒成立，解得m=从而求得（16分）点评：此题主要考查等差数列前n项和公式及其应用，第三问需要讨论n的奇偶性，有一定的难度，解题过程中用到了转化的思想，是一道中档题；20（16分）已知函数f（x）=lnxx，ar（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；（