高级微观06-成本函数与利润最大化 2011.doc

管毅平/高级微观经济学/上海交大经管学院 硕士生 2011-2012-1/ 20110907始 16 成本函数与利润最大化生产函数，描述厂商生产的技术可行性。成本函数，描述厂商生产的经济可行性。本章我们将讨论成本函数，尔后是成本最小化，最后是利润最大化问题。6.1成本函数6.1.1 总成本函数总成本函数，以条件要素需求值表达：c = c(w, x, y) = wx(w, y)。它描述了厂商从要素需求集中选择成本最小的要素组合的可能性集合。其中，x是投入要素向量；w是要素价格，被假设为既定。6.1.2 短期成本函数短期中，投入要素x可以分为：固定要素向量和可变要素向量，于是要素需求x=(, )。效应地，要素价格向量w=(, )。短期成本函数： c = c (w, y, xf) = (w, y, xf) +。上式体现了短期成本函数主要受的影响。于是可推出，短期总成本STC：(w, y, xf) +短期可变成本SVC：(w, y, xf)短期固定成本FC：短期平均成本SAC：c (w, y, xf) / y短期平均可变成本SAVC：(w, y, xf) / y短期平均固定成本SAFC：/ y短期边际成本SMC： c (w, y, xf) / y6.1.3 长期成本函数长期平均成本LAC：c(w, x, y) / y长期边际成本LMC：c(w, x, y) / y短期与长期成本函数的具体例子，如短期与长期的CD函数，见参2，p.70。例1：短期的CD成本函数假设柯布道格拉斯技术中的第二个要素，被限定在k的水平上运作。那么成本最小化问题为min + s.t. y =解约束条件，求出x1作为y和k的函数，得到x1 = ()因此 c (w1,w2,y, k) = w1()+也可以计算出下面的变量：短期平均成本SAC = w1(+短期平均可变成本SAVC = w1(短期平均固定成本SAFC = 短期边际成本SMC = 例2：如果生产函数显示出规模报酬不变的性质，则成本函数可以写作c (w, y)=yc(w, 1)。简单的证明如下： 令x*是在价格w下，生产y1单位的最低廉的投入，则c (w, 1)= w x*。因为技术是规模报酬不变的，所以生产y单位的可行产出是y x*。于是，c (w, y)= w yx* = y c (w, 1)。由此可知，生产函数为规模报酬不变时，有SACSAVCSMC。6.2成本最小化价格既定、产出既定时，追求利润最大化的厂商，必然追求成本最小化，即在可行技术约束下，寻求成本最小的要素组合。6.2.1 成本最小化的一阶条件 min c（w，y）= wx（w，y） s.t. f(x) = y L (, x) = wx( f (x)y) 分别就上式对x微分得到一阶条件： = 0， = 0， f (x) = y。 所以，/= 。 上式就是成本最小化的一阶条件。式左是经济替代率，表示成本不变时要素价格之间的替代比率。式右是技术替代率，表示产出不变时要素之间的替代比率。当只有两种要素时，不变的成本方程为c = ，等产量线由生产函数y =决定。6.2.2 成本最小化的二阶条件见参3，p.54，和我们常见的最优投入要素组合生产者均衡的图示。(画图，讨论)此图说明了最小化成本的一阶条件。同时，还说明了最小化成本的点的选择，必须满足二阶条件，即等产量线必须不低于等成本线。也即，除了成本最小点之外，在等成本线上的其他任何点进行生产，都会导致产出下降。考虑二种投入要素的生产函数。令(h1, h2)为要素1和2的微小变动，由此引起的产出的相关变动为。假设具有必要的可微性，我们可以写出二阶导数的泰勒展开式+要素投入量的微小变动(h1, h2)，使得成本不变，一阶条件得到满足，图示意义是变动后要素组合的成本仍然在等成本线上。由3本最小化的一阶条件可得（用代替xi）：因此，泰勒展开式中的一阶项，对于沿等成本线的移动而言，一定等于零。直观地，在成本最小化点，相切于等成本线的一阶移动，意味着产出保持不变；其二阶移动，意味着产出下降。6.2.3 微分法的困难（局限性）（参2，p.5661）条件要素需求函数x(w, y)。成本函数是在要素价格w和产出水平y下的最小成本：c(w, y) = w x(w, y)。成本最小化的一阶条件是直观的，但是机械地运用它就具有局限性：第一，有些生产函数不可微，微分法不能用。里昂惕夫技术就是一例。第二，成本最小化的一阶条件，仅对可行区域有效，如果成本最小化点出现在可行的边界上，一阶条件必须修正。适当的条件转化为：如果， 则；如果， 。第三，成本最小化的一阶条件，通常能确定的只是一个局部最小化点，只有要素需求集V(y)为凸，一阶条件才是全局最优的充分条件。6.3 成本函数 和 条件要素需求 的性质成本函数的性质：关于w有：（1） 非递减性。如果ww，则c(w, y) c(w, y)。（2） 一次齐次性。对于t0, 有c(tw, y) tc(w, y)。（3） 凹性。对于1t0，有c(tw+(1t) w, y) tc(w, y)+ (1t) c(w, y)。这说明在其他价格不变、只有某一要素价格上升时，成本提高的比率小于该种要素价格上升的比率。因为此时厂商会转而使用其他要素以为替代。（4） 连续性。对于w0，c(w, y)是w的连续函数。Shephards Lemma（谢泼德引理）：设(w, y)是厂商对于i种投入的条件要素需求函数，如果成本函数在(w, y)点可微，且有 0，则 (w, y)=, i=1,2,n。谢泼德引理说明，在由条件要素需求确定的成本函数具有凹性时，成本函数在预算线以下，两条件曲线在=* 重合（图示见参2），因此两条曲线在该点必定相切，从而有*(w, y)=。由此而知，在最小成本点，价格变动时，会直接影响第i种要素的使用量，间接影响厂商的要素组合。条件要素需求函数x(w, y)，一定满足一阶条件：f (x(w, y) y其经济学涵义是：当我们选择每个和y时，都存在使得生产y单位产出所需的成本最小的。显然，条件要素需求不仅依赖于要素价格w，而且依赖于产出水平y。为了分析规模变动和价格变动对于要素投入的影响，我们需要了解条件要素需求函数的性质：见参2（瓦里安：微观经济学（高级教程），p.6165。6.4 利润最大化利润函数 p = p (p, w) = p f (x)c (w, x, y) = pyc6.4.1 一阶条件使用n种投入要素、只生产一种产出的厂商的最大化利润问题就是p (p, w) max pf (x) = py s.t. yY或者 p max pf (x) wx相应的一阶条件是p=其经济涵义是：每种要素的边际产出价值必须等于其价格。在二维情况下，即一种投入要素、一种产出时，图如下。y p= pywx 斜率=w/p y=f(x) p/p x6.4.2 利润最大化的二阶条件： 06.4.3 要素需求函数（不同于条件要素需求函数(w, y)）厂商的要素需求函数：在产品价格和要素价格既定时，能使利润最大化的投入要素组合，以函数 (p, w)表示。6.4.4 供给函数将上式代入生产函数f(x)，得到厂商的供给函数：y(p, w) = f ( x(p, w) )。6.5 利润函数特性（教1，p.43）下面分别说明：利润函数，净供给函数，侯特凌引理，包络定理。最大化利润函数：厂商净产出的价格向量的函数 s.t. yYy中的元素，作为产出时为正值，作为投入要素时为负值。利润函数的特性：(1) 产出价格的非减函数，投入要素价格的非增函数。(2) 价格p的一次齐次函数。(3) 价格p的凸函数。(4) 价格p的连续函数。（惰性利润函数 II (p) = py*-w*x*如下图。意义如何？）p (p) II (p) = py*-w*x*(p*) p* p侯特凌引理（导数特性）：令yi (p)为厂商对于商品i的净供给函数。则yi (p)= i=1,n假定该导数存在，且pi 0。侯特凌引理，是包络定理的特例。由包络定理，在一种投入要素、一种产出时，利润最大化问题成为 按照包络定理，(p, w)对p的偏导数，就是目标函数的偏导数在最优点的取值 这就是