高中数学 第4章 导数及其应用 4.4 生活中的优化问题举例课堂讲义配套课件 湘教版选修22.ppt

4 4生活中的优化问题举例 学习目标 通过用料最省 利润最大 效率最高等优化问题 使学生体会导数在解决实际问题中的作用 会利用导数解决简单的实际生活中优化问题 知识链接 利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么 答 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 预习导引 1 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 通过前面的学习 我们知道是求函数最大 小 值的有力工具 运用导数 可以解决一些生活中的 2 解决实际应用问题时 要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系 这需通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的最值要由极值和端点的函数值确定 当定义域是开区间 函数在开区间上有唯一的极值 则它就是函数的最值 优化问题 导数 优化问题 3 解决优化问题的基本思路是 上述解决优化问题的过程是一个典型的的过程 数学建模 要点一用料最省问题例1有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边a处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40千米的b处 乙厂到河岸的垂足d与a相距50千米 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省 在 0 50 上 y只有一个极值点 根据问题的实际意义 函数在x 30处取得最小值 此时ac 50 x 20 km 供水站建在a d之间距甲厂20km处 可使水管费用最省 规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比 已知速度为每小时10海里时 燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 问轮船的速度是多少时 航行1海里所需的费用总和最小 要点二面积 容积的最值问题例2如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 规律方法 1 解决面积 容积的最值问题 要正确引入变量 将面积或容积表示为变量的函数 结合实际问题的定义域 利用导数求解函数的最值 2 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 找关系 分析实际问题中各量之间的关系 列模型 列出实际问题的数学模型 写关系 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 比较 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 结论 根据比较值写出答案 跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 要点三成本最省 利润最大问题例3甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v千米 时的平方成正比 比例系数为b b 0 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 规律