（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 理1.抛物线的概念平面内到一个定点f和一条定直线l(f不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点f到准线l的距离图形顶点o(0,0)对称轴y0x0焦点ffff离心率e1准线方程xxyy范围x0，yrx0，yry0，xry0，xr开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1.抛物线y22px (p0)上一点p(x0，y0)到焦点f的距离pfx0，也称为抛物线的焦半径.2.y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)ab为抛物线y22px(p0)的过焦点f(，0)的弦，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长abx1x2p.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()1.(2015陕西改编)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_.答案(1,0)解析由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，焦点坐标为.2.已知抛物线c：y2x的焦点为f，a(x0，y0)是c上一点，afx0，则x0_.答案1解析由抛物线的定义，可得afx0，afx0，x0x0，x01.3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0).若点m到该抛物线焦点的距离为3，则om_.答案2解析设抛物线方程为y22px (p0)，则点m(2，2).焦点，点m到该抛物线焦点的距离为3，24p9，解得p2(负值舍去)，故m(2，2).om2.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点p(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px (p0)，或x22py (p0).将p(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.5.已知点a(2,3)在抛物线c：y22px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为_.答案解析a(2,3)在抛物线y22px的准线上，2，p4，y28x，设直线ab的方程为xm(y3)2，将与y28x联立，即得y28my24m160，则(8m)24(24m16)0，即2m23m20，解得m2或m(舍去)，将m2代入解得即b(8,8)，又f(2,0)，kbf.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是f，点p是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求papf的最小值，并求出取最小值时点p的坐标.解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，a在抛物线内部，如图.设抛物线上点p到准线l：x的距离为d，由定义知papfpad，当pal时，pad最小，最小值为，即papf的最小值为，此时p点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点p的坐标为(2,2).引申探究将本例中点a的坐标改为(3,4)，求papf的最小值.解当p、a、f共线时，papf最小，papfaf .即papf的最小值为.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x212y的焦点为f，经过点p(2,1)的直线l与抛物线相交于a，b两点，又知点p恰为ab的中点，则afbf_.(2)设p是抛物线y24x上的一个动点，若b(3,2)，则pbpf的最小值为_.答案(1)8(2)4解析(1)分别过点a，b，p作准线的垂线，垂足分别为m，n，q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得afbfambn2pq8.(2)如图，过点b作bq垂直准线于q，交抛物线于点p1，则p1qp1f.则有pbpfp1bp1qbq4.即pbpf的最小值为4.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线c1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为_.答案x216y解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故c2的方程为x216y.命题点2抛物线的几何性质例3过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点.若af3，则aob的面积为_.答案解析由题意设a(x1，y1)，b(x2，y2)(y10，y20)的焦点为f，a(x1，y1)，b(x2，y2)是过f的直线与抛物线的两个交点，求证：y1y2p2，x1x2；为定值；以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.证明由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.因为x1x2，x1x2abp，代入上式，得(定值).设ab的中点为m(x0，y0)，分别过a，b作准线的垂线，垂足为c，d，过m作准线的垂线，垂足为n，则mn(acbd)(afbf)ab.所以以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线c：y28x与点m(2,2)，过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a、b两点.若0，则k_.答案2解析抛物线c的焦点为f(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点a(x1，y1)，b(x2，y2).则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5已知抛物线c：ymx2(m0)，焦点为f，直线2xy20交抛物线c于a，b两点，p是线段ab的中点，过p作x轴的垂线交抛物线c于点q.(1)求抛物线c的焦点坐标；(2)若抛物线c上有一点r(xr,2)到焦点f的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解(1)抛物线c：x2y，它的焦点f(0，).(2)rfyr，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设a(x1，mx)，b(x2，mx)，则(*)p是线段ab的中点，p(，)，即p(，yp)，q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使abq是以q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，).存在实数m2，使abq是以q为直角顶点的直角三角形.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式abx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2014大纲全国)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，直线y4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且qfpq.(1)求c的方程；(2)过f的直线l与c相交于a、b两点，若ab的垂直平分线l与c相交于m、n两点，且a、m、b、n四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设q(x0,4)，代入y22px得x0.所以pq，qfx0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以c的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x，得y24my40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故ab的中点为d(2m21,2m)，ab|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设m(x3，y3)，n(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23).故mn的中点为e(2m23，)，mn |y3y4|，由于mn垂直平分ab，故a，m，b，n四点在同一圆上等价于aebemn，从而ab2de2mn2，即4(m21)2(2m)2(2)2，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例(16分)(2014山东)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，a为c上异于原点的任意一点，过点a的直线l交c于另一点b，交x轴的正半轴于点d，且有fafd.当点a的横坐标为3时，adf为正三角形.(1)求c的方程；(2)若直线l1l，且l1和c有且只有一个公共点e，证明直线ae过定点，并求出定点坐标；abe的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.规范解答解(1)由题意知f(，0).设d(t,0)(t0)，则fd的中点为(，0).因为fafd，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去).由3，解得p2.所以抛物线c的方程为y24x.4分(2)由(1)知f(1,0).设a(x0，y0)(x0y00)，d(xd,0)(xd0).因为fafd，则|xd1|x01，由xd0得xdx02，故d(x02,0)，故直线ab的斜率kab.因为直线l1和直线ab平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意得0，得b.7分设e(xe，ye)，则ye，xe.当y4时，kae，可得直线ae的方程为yy0(xx0).由y4x0，整理可得y(x1)，直线ae恒过点f(1,0).当y4时，直线ae的方程为x1，过点f(1,0)，所以直线ae过定点f(1,0).10分由知直线ae过焦点f(1,0)，所以aeaffe(x01)x02.设直线ae的方程为xmy1.因为点a(x0，y0)在直线ae上，故m.设b(x1，y1)，直线ab的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点b到直线ae的距离为d4.14分则abe的面积s416，当且仅当x0，即x01时等号成立.所以abe的面积的最小值为16.16分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒(1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化.(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率. 方法与技巧1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2与y22px (p0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx (m0)或x2my(m0).2.抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即pf|x|或pf|y|.失误与防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.a组专项基础训练(时间：40分钟)1.已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为_.答案2解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2.2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_.答案x1解析y22px的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.3.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则的值一定等于_.答案4解析若焦点弦abx轴，则x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦ab不垂直于x轴，可设ab的直线方程为yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.所以y1y2p2.故4.4.如图，设抛物线y24x的焦点为f，不经过焦点的直线上有三个不同的点a，b，c，其中点a，b在抛物线上，点c在y轴上，则bcf与acf的面积之比是_(填序号).； ； ； .答案解析由图形可知，bcf与acf有公共的顶点f，且a，b，c三点共线，易知bcf与acf的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点f(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点a，b在抛物线上，过a，b分别作ak，bh与准线垂直，垂足分别为点k，h，且与y轴分别交于点n，m.由抛物线定义，得bmbf1，anaf1.在can中，bman，.5.(2014课标全国改编)设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，则ab_.答案12解析焦点f的坐标为，方法一直线ab的斜率为，所以直线ab的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，所以abx1x2p12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得ab12.6.已知抛物线x22py(p0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a、b两点，若abf为等边三角形，则p_.答案6解析由题意知b，代入方程1得p6.7.如图，过抛物线y22px (p0)的焦点f的直线交抛物线于点a、b，交其准线l于点c，若bc2bf，且af3，则此抛物线的方程为_.答案y23x解析如图，分别过a、b作aa1l于a1，bb1l于b1，由抛物线的定义知：afaa1，bfbb1，bc2bf，bc2bb1，bcb130，afx60，连结a1f，则aa1f为等边三角形，过f作ff1aa1于f1，则f1为aa1的中点，设l交x轴于k，则kfa1f1aa1af，即p，抛物线方程为y23x.8.已知一条过点p(2,1)的直线与抛物线y22x交于a，b两点，且p是弦ab的中点，则直线ab的方程为_.答案xy10解析依题意，设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线ab的斜率为1，直线ab的方程是y1x2，即xy10.9.如图，已知抛物线y22px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边oa与ob的长分别为1和8，求抛物线的方程.解设直线oa的方程为ykx，k0，则直线ob的方程为yx，由得x0或x.a点坐标为，同理得b点坐标为(2pk2，2pk)，由oa1，ob8，可得得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10.(2015福建)已知点f为抛物线e：y22px(p0)的焦点，点a(2，m)在抛物线e上，且af3.(1)求抛物线e的方程；(2)已知点g(1,0)，延长af交抛物线e于点b，证明：以点f为圆心且与直线ga相切的圆，必与直线gb相切.方法一(1)解由抛物线的定义得af2.因为af3，即23，解得p2，所以抛物线e的方程为y24x.(2)证明因为点a(2，m)在抛物线e：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设a(2,2).由a(2,2)，f(1,0)可得直线af的方程为y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，从而b.又g(1,0)，所以kga，kgb.所以kgakgb0，从而agfbgf，这表明点f到直线ga，gb的距离相等，故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.方法二(1)解同方法一.(2)证明设以点f为圆心且与直线ga相