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教 参 解法探究 对一道说题比赛试题的探究 浙江省宁波市镇海中学 陈雅雅 为了探索新高考方案下的课程改革对高中数学教 师的专业要求 厚实数学教师的学科底蕴 提升一线教 师对 当前课 程改革 的适应能力 2 0 1 4 年 1 2 月 1 8 日在 宁波 举办了 浙江省高中数学第二届说题比赛 该 比赛由浙 江省数学会主办 比赛形式新颖 以说题为中心 分个人 赛和团体赛 6 道 比赛问题涵盖了函数 三角 解析几何 等 简约而不简单 值得深究 本人特别对个人赛的第2 题做 了如下探究 题目 在非等腰直角AA B C 中 已知 C 9 0 D 是 1 1 B C 的一个 三 等分点 若c o s LB A D 求s i n 厶 c 的值 一 解法探究 该问题围绕三角形中的边角关系 可与中学教学各项 内容相互联系 这样我们从不同视角进行思考 就能探索 多种解法 本题首先要解决的问题是判断点D 的位置 因 为 等分点有两个 故本题需分析点D的位置 讨论进行 求解 特别值得注意的是 在求解过程中 将涉及AC B C 两 个长度变量 但本题最终是求角 故在长度设定上固定某 条线段的长度并不影响问题原意 不妨设B C 3 A G 0 从而只引入一个变量 大大简化了计算 同时为书写方 便 记 D A C a L B A D 4 3 0 职 1 1 解三角形视角 解法1 两角和正切公式 分类 讨论 1 若C D 1 如图1 则由题意 知t 三 t 眦 因为 2 c r r 1 所 以t a n 3 一 2 5 由t a n a十 t a n g t a n 3 1 t a n a t a n fl 中 7 擞 高 中 版 可得x 2 a x 3 0 解得x l 或x 3 又 因 为 4B C为 非 等 腰 直 角 i 角 形 所 以 1 s i n c 1 0 2 若C D 2 则经过同 1 类似的运算 得X 2 2 x 6 0 方程无解 故该情况不存在 所以点D 是B C 上的靠近点c 的三等分点 以 F均按 这种情况 给 解 答 解法2 正弦定理 由勾股 定理得A D x N A B 因为c 0 所以s i lJ一 在GA B D中 5 5 i n B 利 用 正 弦 定 理 D一 D 即 可 求 解 X 2 9 s i n B s i r B 解法3 余 弦定 理 在 A B D中 利用余 弦定理 D A B 2 B D 2 2 A D A B e o 即可求解 2 面积视 角 解 法 4 面 积 转 换 由 s 曰 D A C A D A B s i q 3 即可求解 也可以根据 s 战 s d 进行求解 3 几何视角 解 法5 构造相似 三角形 如 图 2 过 点 D作 D M 上 日于 点 M 则 在 R t A M中 M A s i I 5 3 L A B C 一 D B M 所 以 D M BD 问题得解 过点 作B MLA D 于点 构造 A 和AD B M 似 也 可解答 过程 略 4 向量视角 解法6 向量坐标 法 如 图3 建立平面直 角坐标 系 设C O 0 A 0 X B 3 0 则 D 1 0 A D 一 一 1 A 3 A D A B 3 帆 图 3 题壹 鍪 利用AD A B IA D I IA B l c o s fl即可求解 解 法7 向量线 性 运算 选 取 C A c B 为 基底 选 取 A D A B 为基底也可 则A D 凹一 A B C B C A 所 一 一 f 一一 一1 一 一 2 2L A D A B C B C A C B C A 1 3 x 2 3 L 一 J J 耵 I J 利 J 1 Ic 即可求解 5 复数 视 角 解 法8 如 图4 建 立 复平 面 系 则点D 对应的复数为z F i r c o s o t i s i n t x 点 B X 应 的复数 为z B 3 i c 0 s i s i n o t 则 i s i 图 4 f i 1 即 X 2 1何 i i一 去十 1x 5 x 5 5 5 所 以 x 3 丁 可 得 十 3 4 x 2 x 仃 T 5 以下 同解法 1 前面我们从不同的视角 展示了本题的多种解法 就其本质来说 主要反映的是几何和代数两大基本思 想 解法8 的复数视角虽方 法不常规 但作 为一种方法有 必要 了解 因为复数往往可以解决与长度 旋转角有关 的问题 本题看似平常 其实内涵丰富 大有挖掘价值 美不胜收 二 拓展探究 冤 一 Dl r r 重 一 般 化 分 将原题中点D在日 c 上的位置一般化 设 A A 0 1 按解 法 l 可得 6 A 一 1 x 9 A 0 A 3 6 A 2 3 A 1 当 卿 A 1日寸 方 程 有 解 所 以 可 得 以下结论 结论1 在 A B c 中 c D 为日 c 边上的一点 且 面C D c o s B A 丁2 X 3 当 A 0 n B A 贿 时 s i n D 有唯一解 为 一 X A 2 2 A 2 在原题的 解答过程中 A 依次取 和 分别对应 1 了两解 和无解的情形 探究二 角度一般化分析 1 醐 D一般化 将 原题 中 B A D一般 化 设 B A D fl 0 号 则 按 结 论 l 的 类 似 解 法 可 得 以 下 结论 结 论 2 A A B C dff G 詈 D 为 口 c 边 上 的 一 点 且 了 1 则 詈 当 B A D IT 时 s i n B A D 有 两解 当 B A D IT 时 s i n B A D 有 唯一解 n 为 综合结论1 和结论2 可得更一般化的结论 结 论 3 在 A 日 c 中 G 詈 D 为 B c 边 上 的 一 点 且 E 0 1 测 B A 0 a r c t a n 1 A BA a rcta n l二 时 sin B A 有 两 解 当 B A 取 最 大 佰a r c ta l 二 时 s i n B A D 有唯一解为 1 2 A x A 1 我 们取A 1时 即为2 0 1 3 年浙 江 理科卷 1 6 题 在 A A B C 中 C 9 0 0 9 D 是日 c 的中 点 若s i n 则 j s i n C 一注 意 到题 中 B A M的取 值 恰 为 厶 允许范围的最大值 所以该题答案唯一为 3 若不是经过前面的深入探究 很难理解命题人在命制高 考题 时的深层次用 意 所 以高考 题总是那么耐人 寻味 经得起反复推敲 2 c 一般化 在结论3 的基础上 进一步将 C 一 般化 设 c 0 1 T D为B c 边上的一点 且 高 中 版中 擞 7豳 教 参 新颖试题 A A 0 1 下面我们将从几何角度对问题进行分析 如 图5 构造 AA B D 的外接 圆00 显然点 既在 00 上 又在 直线AC 上 即点A为直线AC 与 O0 的交点 因此 本题的多解讨论等价于分析直线A c 与O0 的交点个数 先讨论网 f o 与点A在B C 同侧的情况 如图5 建立直角 坐标 系 不妨设 C 1 B A D fl 贝 4 AC c o t c y O0的 圆 心 1 r 2 I i A 结合线性规划知识 可得圆 5 0 图5 丛 1 A c o ta c o tfl 到直线4 c 的距离d 一 A i 一 1 c 0 t 2 二 c q 3 2 当d r H j s i n B AC 有解 此 时 1 A s i n a s i n fl 一 1 一 A c o s a c o s fl 1 一 A 特别地 当 式取 等号时 s j n C有 唯 一 解 此 时 AC 厂 X c o q 3 2 厂 一 A I c o s I A一 2 V c 0 s AA B C 由 正弦 定 理 得 s in B A C 由 余弦定理得A B 1 A 一 2 c s 所 以s i n A B AC 二 事实上 圆一 6o与点 I A 一 2 c o s 在 c 异侧或点O 在B C 上的情况均符合上式 于是得到 更 一般化的结论 结论4 在 AA B C 中 C o t 0 D 为B C 边 上 的一 且 A lJ 1 s i n a s i I 1 一 A c o s a c o q 3 I A l 式取 O 上运动 且 嘲C 过定 点A 0 P 设 圆C 被 轴 所截得 的弦 为MN 且IAMl l IAN l l 求 旱的 取值范围 三 几点 感悟 1 本题文字叙述简约 有利于学生审题和思考 多 角度探究蕴含丰富的数学思想 有利于提升学生的思维 品质 2 相对于 说 课 说 题 是 一种新 鲜 的事 物 说 题 怎么说 还是一个正在探索的问题 它是一种类似于 说课的教育教研展示和讨论活动 是说课的延续和创 新 是一种深层次备课后的展示 教师说题一般要说背 景 解法 价值和引申拓展等 通过 说题活动 可以促 进教师对教材例题 习题和高考试题的研究 从而更有 效地把握教材和高考命题的方向 发挥教材中例题 习 题和高考试题的作用 提高课堂教学的针对性和有效 性 促进教师专业水平 的提升 3 波利亚认为