高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修11.pptVIP

3 3导数在研究函数中的应用3 3 1函数的单调性与导数 新知探求 课堂探究 新知探求素养养成 知识点一 问题1 如果一条曲线是逐渐上升的 那么曲线上各点的切线的斜率有何特点 答案 曲线上各点的切线的斜率均大于零 问题2 切线的斜率的正负 能说明导数的符号吗 答案 根据导数的几何意义知当切线的斜率为正时 其导数也为正 同理 当切线的斜率为负时 其导数也为负 问题3 在某个区间 a b 内 f x 0 是f x 在这个区间内单调递增的什么条件 答案 充分不必要条件 函数的单调性与其导函数正负的关系 梳理一般地 函数的单调性与其导函数正负有如下关系 若函数y f x 在某个区间 a b 内可导 则 1 若f x 0 则f x 在这个区间内 2 若f x 0 则f x 在这个区间内 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是 单调递增 单调递减 常数函数 知识点二 梳理一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 函数的变化快慢与导数值的关系 名师点津 用导数求函数的单调区间的 三个方法 1 当方程f x 0可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义区间内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 2 当不等式f x 0 或f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 解不等式f x 0 或f x 0 及方程f x 0均不可解时 确定函数y f x 的定义域 求导数并化简 根据f x 的结构特征 选择相应基本初等函数 利用其图象与性质确定f x 的符号 得单调区间 题型一 利用导数判断函数的单调性 课堂探究素养提升 例1 设函数f x x3 3ax2 3bx的图象与直线12x y 1 0相切于点 1 11 1 求a b的值 2 讨论函数f x 的单调性 解 2 由 1 得f x 3x2 6ax 3b 3 x2 2x 3 3 x 1 x 3 令f x 0 解得x3 又令f x 0 解得 1 x 3 故当x 1 时 f x 是增函数 当x 3 时 f x 也是增函数 当x 1 3 时 f x 是减函数 方法技巧导数法判断或证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求定义域 2 求f x 3 确定f x 在 a b 内的符号 4 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 题型二 求函数的单调区间 2 y ln 2x 3 x2 方法技巧 1 求函数单调区间的步骤是 先确定定义域 再求出f x 最后通过f x 0和f x 0来求出单调区间 2 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时 这些单调区间中间不能用 连接 而只能用 逗号 隔开或用 和 字连接 题型三 根据函数的单调性求参数范围 例3 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在区间 1 内为增函数 求a的取值范围 解 1 f x 3x2 a 依题意 f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 因为g x 3x2在 1 上单调递增 所以a 3 即a的取值范围是 3 2 若f x 的单调递减区间为 1 1 求a的取值 3 若f x 在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 方法技巧已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题来求解 即 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 题型四 函数的图象与导数值的关系 例4 已知函数y f x 的图象是如图四个图象之一 且其导函数y f x 的图象如图所示 则该函数的图象是 解析 由函数y f x 的导函数y f x 的图象知f x 的图象是上升的 且先由 平缓 变 陡峭 再由 陡峭 变 平缓 观察图象可得b正确 故选b 方法技巧函数的图象与导数值的关系 1 当f x 0时 f x 图象上升 当f x 0时 f x 图象下降 2 当 f x 越大 f x 图象越 陡峭 当 f x 越小 f x 图象越 平缓 即时训练4 已知函数y f x 的导函数f x ax2 bx c的图象如图所示 则y f x 的图象可能是 解析 当x0时 由导函数f x ax2 bx c的图象可知 导数在区间 0 x1 内的值是大于0的 则在此区间内函数f x 单调递增 只有d选项满足题意 故选d 题型五 易错辨析 求单调区间时忽视定义域致误 错解 1 纠错 忽视函数的定义域为 0 0 答案 0 0 1 学霸经验分享区 利用导数研究函数单调性的方法 1 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f