386.相似三角形单元测试马力成.doc

A B C D A B C 海陵中学初三数学检测海陵中学初三数学检测 080830 相似三角形单元检测 相似三角形单元检测 班级班级 姓名姓名 1 下列四个三角形中 与右图中的三角形相似的是 A B C D 答案 答案 C C 2 如图 每个小正方形边长均为 1 则下列图中的三角形 阴影部分 与左图中ABC 相似 的是 答案 答案 B B 3 已知 ABC 和 A B C 是位似图形 A B C 的面积 6cm2 周长是 ABC 的一半 AB 8cm 则 AB 边上的高等于 A 3cm B 6cm C 9cm D 12cm 答案 答案 B B 4 如图RtABC 内有边长分别为 a b c 的三个正方形 则 a b c 满足的关系式是 第 4 题图 A bac B bac C 222 bac D 22bac 答案 答案 A A 5 如图 DEF 是由ABC 经过位似变换得到的 点 O 是位似中心 D E F 分别是 OA OB OC 的中点 则DEF 与ABC 的面积比是 A 1 6 B 1 5 C 1 4 D 1 2 第 5 题图 答案 答案 C C 6 兴趣小组的同学要测量树的高度 在阳光下 一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0 4 米 同时另一名同学测量树的高度时 发现树的影子不全落在地面上 有一部分落在教学 楼的第一级台阶上 测得此影子长为 0 2 米 一级台阶高为 0 3 米 如图所示 若此时落在 地面上的影长为 4 4 米 则树高为 A 11 5 米 B 11 75 米 C 11 8 米 D 12 25 米 第 6 题图 答案 答案 C C 7 小刚身高 1 7m 测得他站立在阳光下的影子长为 0 85m 紧接着他把手臂竖直举起 测得 影子长为 1 1m 那么小刚举起的手臂超出头顶 A 0 5m B 0 55m C 0 6m D 2 2m 答案 答案 A A 8 如图 五边形 ABCDE 与五边形 A B C D E 是位似图形 O 为位似中心 OD 1 2 OD 则 A B AB为 A B C E D O B A C D E 第 8 题图 A 2 3 B 3 2 C 1 2 D 2 1 答案 答案 D D 9 如图 直角梯形 ABCD 中 BCD 90 AD BC BC CD E 为梯形内一点 且 BEC 90 将 BEC 绕 C 点旋转 90 使 BC 与 DC 重合 得到 DCF 连 EF 交 CD 于 M 已 知 BC 5 CF 3 则 DM MC 的值为 A 5 3 B 3 5 C 4 3 D 3 4 A D BC E F M 第 9 题 图 答案 答案 C C 10 如图 在平行四边形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 且 AEC DCE 下列结论不正确的 是 A BF 2 1 DF B S FAD 2S FBE C 四边形 AECD 是等腰梯形 D S DAB 6S FBE 答案 答案 B B 11 如图 已知 D E 分别是ABC 的 AB AC 边上的点 DE BC 且1 ADEDBCE SS 四边形 那么 AE AC等于 B A C DE 第 11 题图 A 1 9 B 1 3 C 1 8 D 1 2 答案 答案 B B 12 如图 已知 ABC 中 EF GH IJ BC 则图中相似三角形共有 对 A G E H F J I BC 第 12 题图 答案 答案 6 6 13 在RtABC 中 C 为直角 ABCD 于点D 5 3 ABBC 写出其中的一对相似三 角形是 和 并写出它的面积比 第 13 题图 答案 答案 面积比是 面积比是 25 1625 16ABCACD 14 如图 平行四边形中 是边上的点 交于点 如果 ABCDEBCAEBDF 2 3 BE BC 那么 BF FD 答案 答案 2 3 15 如图 已知直角三角形 ACB AC 3 BC 4 过直角顶点 C 作 CA1 AB 垂足为 A1 再过 A1作 A1C1 BC 垂足为 C1 过 C1作 C1A2 AB 垂足为 A2 再过 A2作 A2C2 BC 垂足为 C2 这样一直做下去 得到了一组线段 CA1 A1C1 C1A2 A2C2 则第 10 条线段 A5C5 C 4 B A C A 1 A 5 A 4 A 3 A 2 C 1 C 5 C 3 C 2 答案 答案 10 4 3 5 16 如图 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 MNCNDNAN 答案 因为四边形答案 因为四边形 ABCD DEFG 都是正方形 所以都是正方形 所以 CD AD GD ED 所以 所以所以所以 又因 又因CDGADE CDGADE DCGDAE 为为 所以 所以 所以 所以 即 即 CNDANM CNDANM ANMN CNDN MNCNDNAN 17 已知 在梯形 ABCD 中 AD BC AB DC E F 分别是 AB 和 BC 边上的点 1 如图 以 EF 为对称轴翻折梯形 ABCD 使点 B 与点 D 重合 且 DF BC 若 AD 4 BC 8 求梯形 ABCD 的面积 ABCD S梯形的值 2 如图 连接 EF 并延长与 DC 的延长线交于点 G 如果 FG k EF k 为正数 试猜 想 BE 与 CG 有何数量关系 写出你的结论并证明之 答案 答案 1 1 根据题意可得 根据题意可得 所以 所以 DF BF BC CF 6DF BF BC CF 6 所以 所以 84 2 22 BCAD CF ABCD S梯形 48 6 36 22 ADBCDF 2 过点 过点 G 作作 AB 的平行线交的平行线交 BC 延长线于点延长线于点 H 如下图 如下图 根据题意可得根据题意可得 所以所以 ABCDCBDCBHCGCHGABC CHGHCG 所以所以 CG GH 又因为 又因为 GH AB 所以 所以 又又 FG k EF 所以所以 CG HG BEFHGF k BE 18 如图 E是矩形ABCD的边DC延长线上一点 连结AE分别交BCBD 于FG 1 图中有全等三角形吗 对角线分矩形所得两个三角形除外 若有 请写出一对来 若没有 请添加一个条件 不添加辅助线和不改变图中字母 使得图中有全等三角 形 并写出来 2 图中有相似三角形吗 设矩形ABCD的周长为 20 对角线长为2 13 求CE的长 使得你找出的一对相似三角形的相似比为2 3 AD C E F B G 答案 答案 1 1 添加 添加 CE CDCE CD 则 则 ABFECF 2 2 设 设 ABAB 的长是的长是 x x 根据题意可得 根据题意可得 解得 解得 所 所 222 10 2 13 xx 12 4 6xx 以该长方形的宽是以该长方形的宽是 4 4 长是 长是 6 6 当当CE的长是的长是 8 时 时 且相似三角形的相似比 且相似三角形的相似比ECFEDA 为为2 3 19 在边长为 1 的正方形网格中 有形如帆船的图案 和半径为 2 的 P 1 将图案 进行平移 使 A 点平移到点 E 画出平移后的图案 2 以点 M 为位似中心 在网格中将图案 放大 2 倍 画出放大后的图案 并在放大后的 图案中标出线段 AB 的对应线段 CD 3 在 2 所画的图案中 线段 CD 被 P 所截得的弦长为 结果保留根号 M A E B P 答案 略答案 略 20 如图 E 是 ABCD 的边 BA 延长线上一点 连接 EC 交 AD 于 F 在不添加辅助线的情 况下 请找出图中所有的相似三角形 并说明理由 A F D B C E 答案 答案 根据有两组角对应相当的两个三角 根据有两组角对应相当的两个三角 EAFEBCDCFAEFDCFBEC 形相似可证 形相似可证 21 已知 如图所示的一张矩形纸片ABCD ADAB 将纸片折叠一次 使点A与C重 合 再展开 折痕EF交AD边于E 交BC边于F 分别连结AF和CE 1 求证 四边形AFCE是菱形 2 若10cmAE ABF 的面积为 2 24cm 求ABF 的周长 3 在线段AC上是否存在一点P 使得 2 2AEAC AP 若存在 请说明点P的位置 并予以证明 若不存在 请说明理由 答案 答案 1 1 证明 设 证明 设 ACAC 与与 EFEF 相交于点相交于点 O O A A C C 重合重合 FE AC FE AC AO OCAO OC AD BC AD BC EAO FCO EAO FCO AOE COF AOE COF EO OF EO OF 四边形四边形 AFCEAFCE 是菱形 是菱形 2 2 设 设 AB x BF y AB x BF y S S ABF ABF xy 24 xy 24 1 2 xy 48 xy 48 1 1 22 100 xy 2xy 96 2 2xy 96 2 1 2 1 2 x y x y 2 2 196 196 x y 14 x y 14 则则 S ABFS ABF 周长周长 AB BF AF 6 8 10 24 AB BF AF 6 8 10 24 cm cm 3 存在这么一点 存在这么一点 P P 使 使 2AE 2AE AC APAC AP 连接 连接 EFEF 过点 过点 E E 作作 EM AEEM AE 交 交 ACAC 于点于点 P P 即为所 即为所 求点 求点 因为因为 所以 所以 即即 又又 AC 2AOAC 2AO 所以 所以AEOAPE AEAO APAE 2 AEAO AP 2 2AEAC AP 22 如图 在直角梯形OABD中 DBOA 90OAB 点O为坐标原点 点A在 x轴 的正半轴上 对角线OBAD 相交于点M 22 3OAAB 1 2BM MO 1 求OB和OM的值 2 求直线OD所对应的函数关系式 3 已知点P在线段OB上 P不与点OB 重合 经过点A和点P的直线交梯形 OABD的边于点E E异于点A 设OPt 梯形OABD被夹在OAE 内的部 分的面积为S 求S关于t的函数关系式 y x A B D M O 答案 答案 1 1 因为 因为90OAB 22 3OAAB 所以所以 又因为 又因为 1 2BM MO 所以 所以 2222 2 2 3 4OBOAAB 4 3 BM 8 3 OM 2 根据题意得 根据题意得 又 又 1 2BM MO 所以 所以 所以所以 D 点点AOMBDM 1 1 2 BDAO 的坐标是的坐标是 设直线 设直线OD所对应的函数关系式是所对应的函数关系式是 代入可得 代入可得 1 2 3 ykx 2 3yx 3 依题意 当依题意 当 8 0 3 t 时 时 E在在OD边上 边上 分别过分别过EP 作作EFOA PNOA 垂足分别为 垂足分别为F和和N 2 3 tan3 2 PON 60PON 13 22 OPtONtPNt 直线直线OD所对应的函数关系式是所对应的函数关系式是2 3yx 设设 2 3 E nn 易证得易证得APNAEF PNAN EFAF 31 2 22 22 3 tt nn 整理得 整理得 4 22 tt nn 82nntt 8 2ntt 2 8 t n t 分分 由此 由此 112 2 2 3 228 AOE t SOA EF t 4 38 0 83 t St t 当当 8 4 3 t 时 点时 点E在在BD边上 边上 此时 此时 ABEOABD SSS 梯形 DBOA 易证 易证 EPBAPO BEBP OAOP 4 2 BEt t 2 4 t BE t 112 4 4 2 32 3 22 ABE tt SBE AB tt 1 4 48 3 12 2 32 33 32 35 3 2 tt S ttt 综上所述 综上所述 4 38 0 83 8 38 5 34 3 t t t S t t 1 1 解法 解法 2 2 90OAB 22 3OAAB 易求得 易求得 304OBAOB 3 3 解法 解法 2 2 分别过 分别过EP 作作EFOA PNOA 垂足分别为 垂足分别为F和和N 由 由 1 1 得 得 13 30 22 OBAOPtONtPNt y x A B D M O NF E y x A B D M O P E 即 即 13 22 Ptt 又 又 2 0 设经过设经过AP 的直线所对应的函数关系式是的直线所对应的函数关系式是ykxb 则则 13 22 20 tkbt kb 解得 解得 32 3 44 tt kb tt 经过经过AP 的直线所对应的函数关系式是的直线所对应的函数关系式是 32 3 44 tt yx tt 依题意 当依题意 当 8 0 3 t 时 时 E在在OD边上 边上 2 3 E nn 在直线在直线AP上 上 32 3 2 3 44 tt nn tt 整理得 整理得 2 2 44 tnt n tt 2 8 t n t 4 3 8 t S t 8 0 3 t 当当 8 4 3 t 时 点时 点E在在BD上 此时 点上 此时 点E坐标是坐标是 2 3 n 因为 因为E在直线在直线AP上 上 32 3 2 3 44 tt n tt 整理得 整理得 2 2 44 tnt tt 82nntt 48t n t 482 4 22 tt BEn tt 1 4 48 3 12 2 32 33 32 35 3 2 tt S ttt 综上所述 综上所述 4 38 0 83 8 38 5 34 3 t t t S t t 23 如图 ABCD 中 E 是 CD 的延长线上一点 BE 与 AD 交于点 F DE 2 1 CD 1 求证 ABF CEB 2 若 DEF 的面积为 2 求 ABCD 的面积 答案 答案 1 1 因为 因为 AB CDAB CD 所以 所以 所以 所以 ABF CEB ABFEAFBCBE 2 2 因为因为 DE 2 1 CD DEF 的面积为的面积为 2 所以 所以所以所以 ABCD 的面积的面积 18 8 BCEABF SS 24 BCEABFDEF SSS 24 如图 1 是夹文件用的铁 塑料 夹子在常态下的侧面示意图 ACBC 表示铁夹的两 个面 O点是轴 ODAC 于D 已知15mmAD 24mmDC 10mmOD 已知文件夹是轴对称图形 试利用图 14 2 求图 14 1 中AB 两点的距离 2 O O 1 答案 解 如图 连接解 如图 连接 ABAB 与与 COCO 延长线交于延长线交于 E E 夹子是轴对称图形 对称轴是夹子是轴对称图形 对称轴是 CECE A A B B 为一组对称点 为一组对称点 CE AB CE AB AE EBAE EB 在在 Rt AECRt AEC Rt ODCRt ODC 中 中 ACE OCD ACE OCD OCD OCD 公用 公用 Rt AEC Rt ODC Rt AEC Rt ODC AEOD ACOC 又又 OC OC 2222 102426ODDC AE AE 39 10 15 26 AC OD OC AB 2AE 30 AB 2AE 30 mmmm 25 如图 1 1 OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 O为原点 点A在x轴的 正半轴上 点C在y轴的正半轴上 5OA 4OC 1 在OC边上取一点D 将纸片沿AD翻折 使点O落在BC边上的点E处 求 DE 两点的坐标 2 如图 1 2 若AE上有一动点P 不与AE 重合 自A点沿AE方向向E点匀速运 动 运动的速度为每秒 1 个单位长度 设运动的时间为t秒 05t 过P点作 ED 的平行线交AD于点M 过点M作AE的平行线交DE于点N 求四边形PMNE 的面积S与时间t之间的函数关系式 当t取何值时 S有最大值 最大值是多少 3 在 2 的条件下 当t为何值时 以AME 为顶点的三角形为等腰三角形 并 求出相应的时刻点M的坐标 y x B C O A D E 图 1 1 y x B C O A D E 图 1 2 P M N 答案 答案 1 1 依题意可知 折痕 依题意可知 折痕是四边形是四边形的对称轴 的对称轴 ADOAED 在在中 中 RtABE 5AEAO 4AB 2222 543BEAEAB 2CE 点坐标为 点坐标为 2 2 4 4 E 在在中 中 又又 RtDCE 222 DCCEDE DEOD 解得 解得 222 4 2ODOD 5 2 CD 点坐标为点坐标为D 5 0 2 2 2 如图 如图 PMED APMAED 又知 又知 PMAP EDAE APt 5 2 ED 5AE 又又 5 522 tt PM 5PEt 而显然四边形而显然四边形为矩形 为矩形 PMNE 2 15 5 222 PMNE t SPM PEttt 矩形 又 又 2 1525 228 PMNE St 四边形 5 05 2 当当时 时 有最大值有最大值 5 2 t PMNE S矩形 25 8 3 3 i i 若以 若以为等腰三角形的底 则为等腰三角形的底 则 如图 如图 AEMEMA 在在中 中 为为的中点 的中点 RtAED MEMA PMAE P AE 15 22 tAPAE 又又 为为的中点 的中点 PMED M AD 过点过点作作 垂足为 垂足为 则 则是是的中位线 的中位线 MMFOA FMFOAD 15 24 MFOD 15 22 OFOA 当当时 时 为等腰三角形 为等腰三角形 5 2 t 5 05 2 AME 此时此时点坐标为点坐标为 M 5 5 2 4 iiii 若以 若以为等腰三角形的腰 则为等腰三角形的腰 则 如图 如图 AE5AMAE 在在中 中 RtAOD 2 222 55 55 22 ADODAO 过点过点作作 垂足为 垂足为 MMFOA F PMED APMAED APAM AEAD 5 5 2 5 5 5 2 AM AE tAP AD 1 5 2 PMt 5MFMP 52 5OFOAAFOAAP 当当时 时 此时 此时点坐标为点坐标为 2 5t 02 55 M 52 55 综合 综合 i i iiii 可知 可知 或或时 以时 以为顶点的三角形为等腰三角形 相为顶点的三角形为等腰三角形 相 5 2 t 2 5t AME y x B C OA D E 图 P M N F y x B C OA D E 图 P M N F 应应点的坐标为点的坐标为或或 M 5 5 2 4 52 55 26 如图 在边长均为 1 的小正方形网格纸中 OAB 的顶点 O A B 均在格点上 且 O 是直角坐标系的原点 点 A 在x轴上 1 以 O 为位似中心 将 OAB 放大 使得放大后的 OA1B1与 OAB 对应线段的比 为 2 1 画出 OA1B1 所画 11B OA与 OAB 在原点两侧 2 求出线段 A1B1所在直线的函数关系式 答案 解 答案 解 1 如图 如图 就是就是 放大后的图象放大后的图象 11B OAOAB 2 由题意得 由题意得 4 0 2 4 1 A 1 B 设线段设线段所在直线的所在直线的函数关系式函数关系式为为 11B A 0 kbkxy 则则 解得解得 40 24 xb kb 2 8 k b 函数关系式为函数关系式为 82 xy 27 如图 在 8 8 的网格中 每个小正方形的顶点叫做格点 OAB 的顶点都在格点上 请在 网格中画出 OAB 的一个位似图形 使两个图形以 O 为位似中心 且所画图形与 OAB 的位似比为 2 1 答案 解 延长答案 解 延长 AO AB 到到 2AO 2AB 长度找到各点的对应点 顺次连接 长度找到各点的对应点 顺次连接 28 如图 在所给网格图 每小格均为边长是 1 的正方形 中完成下列各题 1 图形ABCD与图形 1111 ABC D 关于直线MN成轴对称 请在图中画出对称轴并标注上相 应字母M N 2 以图中O点为位似中心 将图形ABCD放大 得到放大后的图形 2222 A B C D 则图形 ABCD与图形 2222 A B C D 的对应边的比是多少 注 只要写出对应边的比即可 3 求图形 2222 A B C D 的面积 答案 解 答案 解 1 1 如图所示 画出对称轴 如图所示 画出对称轴 MNMN 2 2 对应边的比为 对应边的比为 1 1 2 2 3 3 图形 图形 2222 A B C D 的面积的面积 B B2 2D D2 2 A A2 2C C2 2 1 2 1 4 816 2 4 8 16 4 8 16 29 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD 3 1 在边 CD 上找一点 E 使 EB 平分 AEC 并加以说明 2 若 P 为 BC 边上一点 且 BP 2CP 连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F 求证 点 B 平分线段 AF PAE 能否由 PFB 绕 P 点按顺时针方向旋转而得到 若能 加以证明 并求出 旋转度数 若不能 请说明理由 E F P C B A D 答案 答案 1 1 当 当 E E 为为 CDCD 中点时 中点时 EBEB 平分平分 AEC AEC 由 由 D 90 D 900 0 DE 1DE 1 AD AD 推得 推得 DEA 60DEA 600 0 3 同理 同理 CEB 60 CEB 600 0 从而 从而 AEB CEB 60 AEB CEB 600 0 即 即 EBEB 平分平分 AEC AEC 2 2 CE BF CE BF BF 2CE BF 2CE BF CE BP CP 2 1 AB 2CE AB 2CE 点点 B B 平分线段平分线段 AFAF 能 能 证明 证明 CP CP CE 1CE 1 C 90 C 900 0 EP EP 3 1 3 3 2 3 在在 RtRt ADE ADE 中 中 AE AE 2 2 AE BF AE BF 2 2 13 又又 PB PB PB PE PB PE3 3 2 AEP BP 90 AEP BP 900 0 PAS PFB PAS PFB PAE PAE 可以可以 PFB PFB 按照顺时针方向绕按照顺时针方向绕 P P 点旋转而得到 点旋转而得到 旋转度数为旋转度数为 1201200 0 30 如图 方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼 1 在同一方格纸中 画出将小金鱼图案绕 原点 O 旋转 180 后得到的图案 2 在同一方格纸中 并在y轴的右侧 将原小金鱼图 案以原点 O 为位似中心放大 使它们的位似比为 1 2 画出放大后小金鱼的图案 0 x 答案 答案 1 1 如图所示 如图所示 2 2 如图所示 如图所示 31 已知 如图 所示 在ABC 和ADE 中 ABAC ADAE BACDAE 且点BAD 在一条直线上 连接BECDMN 分别为BECD 的中点 1 求证 BECD AMN 是等腰三角形 2 在图 的基础上 将ADE 绕点A按顺时针方向旋转180 其他条件不变 得到 图 所示的图形 请直接写出 1 中的两个结论是否仍然成立 3 在 2 的条件下 请你在图 中延长ED交线段BC于点P 求证 PBDAMN 答案 1 1 BAC DAE BAE CAD BAC DAE BAE CAD AB AC AB AC AD AEAD AE ABE ACD ABE ACD BE CD BE CD 由由 ABE ACD ABE ACD 得 得 ABE ACD ABE ACD BE CDBE CD M M N N 分别是分别是 BEBE CDCD 的中点 的中点 BM CN BM CN 又又 AB AC AB AC ABM ACN ABM ACN AM AN AM AN 即 即 AMN AMN 为等腰三角形 为等腰三角形 2 2 1 1 中的两个结论仍然成立 中的两个结论仍然成立 3 3 在图 在图 中正确画出线段中正确画出线段 PDPD 由 由 1 1 同理可证 同理可证 ABM ACN ABM ACN CAN BAM BAC MAN CAN BAM BAC MAN 又又 BAC DAE BAC DAE MAN DAE BAC MAN DAE BAC AMN AMN ADE ADE 和和 ABC ABC 都是顶角相等的等腰三角形 都是顶角相等的等腰三角形 PBD AMN PBD AMN PBD AMN PBD AMN 32 如图 平行四边形 ABCD 中 AB 5 BC 10 BC 边上的高 AM 4 E 为 BC 边上的一个 动点 不与 B C 重合 过 E 作直线 AB 的垂线 垂足为 F FE 与 DC 的延长线相交于 点 G 连结 DE DF 1 求证 BEF CEG 2 当点 E 在线段 BC 上运动时 BEF 和 CEG 的周长之间有什么关系 说明你的理 由 3 设 BE x DEF 的面积为 y 请你求出 y 和 x 之间的函数关系式 并求出当 x 为何 值时 y 有最大值 最大值是多少 答案 答案 1 1 因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形 是平行四边形 所以所以 ABDG 所以所以 BGCEGBFE 所以所以BEFCEG 2 2 的周长之和为定值 的周长之和为定值 BEFCEG 与 理由一 理由一 过点过点C C作作FGFG的平行线交直线的平行线交直线ABAB于于H H 因为因为GFGF ABAB 所以四边形 所以四边形FHCGFHCG为为矩形矩形 所以 所以 FHFH CGCG FGFG CHCH 因此 因此 的周长之和等于的周长之和等于BCBC CHCH BHBH BEFCEG 与 由由 BCBC 1010 ABAB 5 5 AMAM 4 4 可得 可得CHCH 8 8 BHBH 6 6 所以所以BCBC CHCH BHBH 2424 理由二 理由二 由由ABAB 5 5 AMAM 4 4 可知 可知 在在 Rt Rt BEFBEF与与 Rt Rt GCEGCE中 有 中 有 4343 5555 EFBEBFBEGEECGCCE 所以 所以 BEFBEF的周长是的周长是 ECGECG的周长是的周长是 12 5 BE 12 5 CE 又又BEBE CECE 1010 因此 因此的周长之和是的周长之和是 2424 BEFCEG 与 3 3 设 设BEBE x x 则 则 43 10 55 EFxGCx 所以所以 2 11 43622 10 5 22 55255 yEF DGxxxx 配方得 配方得 2 655121 2566 yx 所以 当所以 当时 时 y y有最大值 最大值为有最大值 最大值为 55 6 x 121 6 32 如图四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形 点 R 为 DE 的中点 BR 分别交 AC CD 于点 P Q 1 请写出图中各对相似三角形 相似比为 1 除外 2 求 BP PQ QR 答案 答案 1 1 BCP BER BCP BER PCQ PAB PCQ PAB PCQ RDQ PCQ RDQ PAB RDQ PAB RDQ 2 2 四边形四边形 ABCDABCD 和四边形和四边形 ACEDACED 都是平行四边形 都是平行四边形 BC AD CE BC AD CE AC DEAC DE PB PR PB PR PC RE 12PC RE 12 又又 PC DR PC DR PCQ RDQ PCQ RDQ 又又 点点 R R 是是 DEDE 中点 中点 DR RE DR RE PQ QR PC DR PC RE 12PQ QR PC DR PC RE 12 QR 2PQ QR 2PQ 又又 BP PR PQ QR 3PQ BP PR PQ QR 3PQ BP BP PQPQ QR 3QR 3 1 1 2 2 33 如图 在ABC 中90ACB D是AB的中点 以DC为直径的 O 交ABC 的 三边 交点分别是GFE 点 GECD 的交点为M 且4 6ME 2 5MD CO 1 求证 GEFA 2 求 O 的直径CD的长 3 若cos0 6B 以C为坐标原点 CACB 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴 建立 平 面直角坐标系 求直线AB的函数表达式 A M x H G F E D CB G D M O E A B F C 答案 答案 1 1 连接 连接 DFDF CD CD 是圆直径是圆直径 CFD 90 CFD 90 即即 DF BCDF BC ACB 90 DF ACB 90 DF AC AC BDF A BDF A 在在 O O 中中 BDF GEF BDF GEF GEF A GEF A 2 2 D D 是是 Rt ABCRt ABC 斜边斜边 ABAB 的中点的中点 DC DA DC DA DCA A DCA A 又由又由 1 1 知知 GEF A GEF A DCA GEF DCA GEF 又又 OME EMC OME EMC OME OME 与与 EMC EMC 相似相似 OMME MEMC 2 MEOMMC 又又 96 96 ME4 6OMMC 2 4 6 MD MD CO 2 5CO 2 5 OM OM MD 3MD 3 2 2 OMOM MC 3MC 3 8 8 设设 OM 3OM 3 MC 8MC 8 2 2xx3896xx x 直径直径 CD 10 x 20CD 10 x 20 3 3 Rt ABC Rt ABC 斜边斜边 ABAB 的中线的中线 CD 20CD 20 AB 40 AB 40 在在 Rt ABCRt ABC 中中 cos B 0 6 cos B 0 6 BC 24 BC 24 AC 32AC 32 BC AC 设直线设直线 ABAB 的函数表达式为的函数表达式为 根据题意得根据题意得 A A 32 0 32 0 B 0 24 B 0 24 ykxb 解得解得 024kb 3 4 k 直线直线 ABAB 的函数解析式为的函数解析式为 3 24 4 yx 34 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 G 是 CD 边上的一个动点 点 G 与 C D 不重合 以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG 连结 BG DE 我们探究下列图中线段 BG 线 段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系 1 猜想如图 1 中线段 BG 线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系 将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针 或逆时针 方向旋转任意角度 得到 如图 2 如图 3 情形 请你通过观察 测量等方法判断 中得到的结论是否仍然成 立 并选取图 2 证明你的判断 2 将原题中正方形改为矩形 如图 4 6 且 AB a BC b CE ka CG kb a b k 0 第 1 题 中得到的结论哪些成立 哪些不成立 若成立 以图 5 为例简要说明理由 3 在第 2 题图 5 中 连结DG BE 且 a 3 b 2 k 1 2 求 22 BEDG 的值 答案 答案 1 1 BGDE BGDE 仍然成立仍然成立 BGDE BGDE 在图 在图 2 2 中证明如下 中证明如下 四边形四边形 四边形 四边形都是正方形都是正方形ABCDABCD BCCD CGCE 0 90BCDECG BCGDCE SASSAS BCGDCE BGDE CBGCDE 又又 BHCDHO 0 90CBGBHC 0 90CDEDHO 0 90DOH BGDE 2 2 成立 成立 不成立不成立 BGDE BGDE 简要说明如下简要说明如下 四边形四边形 四边形 四边形都是矩形 都是矩形 ABCDCEFG 且且 ABa BCb CGkb CEka ab 0k BCCGb DCCEa 0 90BCDECG BCGDCE BCGDCE CBGCDE 320kb 24b 又又 BHCDHO 0 90CBGBHC 0 90CDEDHO 0 90DOH BGDE 3 3 BGDE 22222222 BEDGOBOEOGODBDGE 又又 3a 2b k 1 2 222222 365 231 24 BDGE 22 65 4 BEDG 35 如图RtABC 中 90C 50AB 30AC DEF 分别是 ACABBC 的中点 点P从点D出发沿折线DEEFFCCD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运 动 点Q从点B出发沿BA方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动 过点Q作射线 QKAB 交折线BCCA 于点G 点PQ 同时出发 当点P绕行一周回到点D时 停止运动 点Q也随之停止 设点PQ 运动的时间是t秒 0t 1 DF 两点间的距离是 2 射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分 若能 求出t的值 若不能 说明理由 3 当点P运动到折线EFFC 上 且点P又恰好落在射线QK上时 求t的值 4 连结PG 当PGAB 时 求出t的值 答案 解 答案 解 1 1 2525 2 2 能 能 如图如图 5 5 连结 连结 过点 过点作作于点于点 DFFFHAB H 由四边形由四边形为矩形 可知为矩形 可知过过的中点的中点时 时 CDEFQKDFO 把矩形把矩形分为面积相等的两部分分为面积相等的两部分QKCDEF 注 可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明 注 可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明 此时此时 由 由 得 得 12 5QHOF 20BF HBFCBA 16HB 故故 12 5 161 7 48 t 3 3 当点当点在在上上时 如图时 如图 6 6 PEF 6 25 7 t 4QBt 7DEEPt 由由 得 得 PQEBCA 720254 5030 tt 21 4 41 t 当点当点在在上上时 如图时 如图 7 7 PFC 6 57 7 t 已知已知 从而 从而 4QBt 5PBt A E C D F B Q K 图 6 P G A E C D F B Q K 图 7 P G A E C D F B Q K 图 8 P G H 由由 得 得 735PFt 20BF 573520tt 解得解得 1 7 2 t 4 4 如图 如图 8 8 如图 如图 9 9 2 1 3 t 39 7 43 t 注 判断注 判断可分为以下几种情形 当可分为以下几种情形 当PGAB 时 点时 点下行 点下行 点上行 可知其中存在上行 可知其中存在 6 02 7 t PG 的时刻 如图的时刻 如图 8 8 此后 点 此后 点继续上行到点继续上行到点时 时 PGAB GF 而点 而点却在下行到点却在下行到点再沿再沿上行 发现点上行 发现点在在4t PEEFP 上运动时不存在上运动时不存在 当 当时 点时 点EFPGAB 6 57 7 t 均在均在上 也不存在上 也不存在 由于点 由于点比点比点PG FCPGAB P 先到达点先到达点并继续沿并继续沿下行 所以在下行 所以在中存在中存在的时刻 如图的时刻 如图 9 9 当 当GCCD 6 78 7 t PGAB 时 点时 点均在均在上 不存在上 不存在 810t PG CDPGAB 36 如图 1 把一张标准纸一次又一次对开 得到 2 开 纸 4 开 纸 8 开 纸 16 开 纸 已知标准纸 的短边长为a 1 如图 2 把这张标准纸对开得到的 16 开 张纸按 如下步骤折叠 第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠 点B落在AD上的点 B 处 铺平后得折痕AE 第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠 点D正好与点E重合 铺平后得折痕 AF 则 AD AB的值是 ADAB 的长分别是 2 2 开 纸 4 开 纸 8 开 纸的长与宽之比是否都相等 若相等 直接写出这个比值 若不相等 请分别计算它们的比值 3 如图 3 由 8 个大小相等的小正方形构成 L 型图案 它的四个顶点 EFGH 分 别在 16 开 纸的边ABBCCDDA 上 求DG的长 4 已知梯形MNPQ中 MNPQ 90M 2MNMQPQ 且四个顶点 MNPQ 都在 4 开 纸的边上 请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角 梯 形的面积 答案 答案 1 1 21 2 44 aa 2 2 相等 比值为 相等 比值为 无 无 相等相等 不扣分有不扣分有 相等相等 比值错给 比值错给 1 1 分 分 2 3 3 设 设 DGx 在矩形在矩形中 中 ABCD90BCD 90HGF 90DHGCGFDGH HDGGCF 1 2 DGHG CFGF 22CFDGx 同理同理 BEFCFG EFFG FBEGCF 1 4 BFCGax CFBFBC 12 2 44 xaxa 解得解得 21 4 xa 即即 21 4 DGa 4 4 2 3 16 a 2 27 18 2 8 a 37 小丽参加数学兴趣小组活动 提供了下面 3 个有联系的问题 请你帮助解决 1 如图 1 正方形ABCD中 作AE交BC于E DFAE 交AB于F 求证 AEDF 2 如图 2 正方形ABCD中 点EF 分别在ADBC 上 点GH 分别在 ABCD 上 标准纸 2 开 纸 4 开 纸 8 开 纸 16 开 纸 都是矩形 本题中所求边长或面积 都用含的代数式表示 a A E C D F B Q K 图 9 PG 且EFGH 求 EF GH 的值 3 如图 3 矩形ABCD中 ABa BCb 点EF 分别在ADBC 上 且 EFGH 求 EF GH 的值 答案 答案 1 1 DFAE 90AEBBAEAFD 又又 ABAD 90ABEDAF ABEDAF AEDF 2 2 作 作交交于于 AMEF BCM 作作交交于于 DNGH ABN 则则 AMEF DNGH 由 由 1 1 知 知 AMDN 即 即 EFGH 1 EF GH 3 3 作 作交交于于 AMEF BCM 作作交交于于 DNGH ABN 则则 AMEF DNGH EFGH AMDN 90AMBBAMAND 又又 90ABMDAN ABMDAN AMABa DNADb EFa GHb 38 如图 1 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起 A 为公共 顶 点 BAC AGF 90 它们的斜边长为 2 若 ABC 固定不动 AFG 绕点 A 旋转 AF AG 与边 BC 的交点分别为 D E 点 D 不与点 B 重合 点 E 不与点 C 重合 设 BE m CD n 1 请在图中找出两对相似而不全等的三角形 并选取其中一对进行证明 2 求 m 与 n 的函数关系式 直接写出自变量 n 的取值范围 3 以 ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴 BC 边上的高所在的直线为 y 轴 建立平面 直 角坐标系 如图 2 在边 BC 上找一点 D 使 BD CE 求出 D 点的坐标 并通过计算 验证 BD 2 CE 2 DE 2 G y x 图 2 O F EDCB A 4 在旋转过程中 3 中的等量关系 BD 2 CE 2 DE 2 是否始终成立 若成立 请证明 若不 成立 请说明理由 G 图 1 F EDCB A 答案 解答案 解 1 1 ABEABE DAEDAE ABEABE DCADCA BAEBAE BADBAD 45 45 CDACDA BADBAD 45 45 BAEBAE CDACDA 又又 B B C C 45 45 ABEABE DCADCA 2 2 ABEABE DCADCA CD BA CA BE 第 23 题图 3 第 23 题图 2 由依题意可知由依题意可知CACA BABA 2 n m2 2 m m n 2 自变量自变量 n n 的取值范围为的取值范围为 1 n 2 1 n0 x 0 这就是自变量的取值范围这就是自变量的取值范围 11 2 22 yABMFx 2 2 如果以 如果以 A N DA N D 为顶点的三角形与三角形为顶点的三角形与三角形 BMEBME 相似相似 必有必有 ADN BEM ADN BEM 而而 ADN ADN 就是就是 ADB BEM ADB BEM 就是就是 BED BED 即有即有 ADB BED ADB BED 因为因为 ADB ADB BED BED 在在 0 900 90 度之间度之间 有有 tan ADB tan BEDtan ADB tan BED 即即 得到得到 x 8x 8 ABDG ADGE 22 44x 41 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 7 CD 1 AD BC 5 点 M N 分别在边 AD BC 上运动 并保持 MN AB ME AB NF AB 垂足分别为 E F 1 求梯形 ABCD 的面积 2 求四边形 MEFN 面积的最大值 3 试判断四边形 MEFN 能否为正方形 若能 求出正方形 MEFN 的面积 若不能 请 说明理由 CD ABEF N M 答案 解 答案 解 1 1 分别过 分别过 D D C C 两点作两点作 DG ABDG AB 于点于点 G G CH ABCH AB 于点于点 H H AB CD AB CD DG CH DG CH DG CHDG CH 四边形四边形 DGHCDGHC 为矩形 为矩形 GH CD 1GH CD 1 DG CH DG CH AD BCAD BC AGD BHC 90 AGD BHC 90 AGD BHC AGD BHC HLHL AG BH AG BH 7 17 1 3 3 在在 Rt AGDRt AGD 中 中 AG 3AG 3 AD 5AD 5 由勾股定理得 由勾股定理得 DG 4DG 4 S S 梯形梯形 ABCD ABCD AB CDAB CD DG DG 1 71 7 4 4 16 16 答 梯形答 梯形 ABCDABCD 的面积是的面积是 1616 2 2 解 解 MN AB MN AB ME ABME AB NF ABNF AB ME NF ME NF ME NFME NF 四边形四边形 MEFNMEFN 为矩形 为矩形 AB CD AB CD AD BCAD BC A B A B ME NF ME NF MEA NFB 90 MEA NFB 90 MEA NFB MEA NFB AASAAS AE BF AE BF 设设 AE xAE x 则 则 EF 7 2xEF 7 2x A A A A MEA DGA 90 MEA DGA 90 MEA DGA MEA DGA AEME AGDG ME ME x x S S 矩形矩形 MEFN ME EF MEFN ME EF x x 7 2x7 2x 4 3 4 3 2 8749 346 x 当当 x x 时 时 ME ME 4 4 四边形四边形 MEFNMEFN 面积的最大值面积的最大值 7 4 7 3 49 6 答 四边形答 四边形 MEFNMEFN 面积的最大值是面积的最大值是 49 6 A B D CE 第 22 题图 2 F 42 如图 在 ABD 和 ACE 中 AB AD AC AE BAD CAE 连接 BC DE 相交于点 F BC 与 AD 相交于点 G 1 试判断线段 BC DE 的数量关系 并说明理由 E C F G D B A 2 如果 ABC CBD 那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗 为什么 答案 解 答案 解 1 1 BCBC DEDE 的数量关系是的数量关系是 BC DEBC DE 理由如下 理由如下