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第五章 机械能守恒定律第 1 课时追寻守恒量功基础知识归纳1.追寻守恒量(1)能量：简称“能”.物质运动的一般量度.任何物质都离不开运动.对运动所能做的最一般的量度就是能量，不同的能量对应于不同形式的运动，能量分为机械能、内能、电能、磁能、化学能、原子能等.当物质的运动形式发生转变时，能量形式同时也发生转变.自然界的一切过程都服从能量转化和守恒定律，物体要对外界做功，就必须消耗本身的能量或从别处得到能量的补充.因此，一个物体的能量愈大，它对外界就有可能做更多的功.(2)机械能：物体机械运动的量度，包括动能、重力势能和弹性势能.(3)动能：物体由于运动而具有的能量.(4)势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量.2.功的概念(1)定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力做了功.(2)做功的两个必要条件：a.力；b.物体在力的方向上发生位移.(3)功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号为J，其物理意义是：1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功.(4)功是标量，只有大小，没有方向.(5)功是过程量，即做功必定对应一个过程(位移)，应明确是哪个力在哪个过程中对哪个物体做功.3.功的计算(1)功的一般计算公式：WFlcos ；(2)条件：适用于恒力所做的功；(3)字母意义：F力；l物体对地位移；F、l正方向之间的夹角.4.正负功的意义(1)根据功的计算公式WFlcos 可得到以下几种情况：当90时，cos 0，则W0，即力对物体不做功；当00，则W0，即力对物体做正功；当90180时，cos 0，则WvB物块滑到底的速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动.这两种情况落点都在Q点右边.(3)v0vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速.第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边.第 2 课时功率基础知识归纳1.功率的概念(1)功W跟完成这些功所用的时间t的比值叫做功率.(2)物理意义：描述做功的快慢.(3)单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，符号为W.(4)功率是标量.2.功率的计算(1)功率的计算公式：P(2)平均功率与瞬时功率：因为WFlcos 所以PFcos Fvcos 0时，PFv式中当v是平均速度时，功率P是平均功率；当v是瞬时速度时，功率P是瞬时功率.其区别在于：平均功率粗略描述做功的快慢；瞬时功率精确描述做功快慢.3.机械的额定功率与实际功率任何机械都有一个铭牌，铭牌上所注功率为这部机械的额定功率.它是任何机械长时间正常工作而不损坏机械的最大输出功率.机械运行过程中的功率是实际功率.机械的实际功率可以小于其额定功率(称机械没吃饱)，可以等于其额定功率(称满负荷运行)，还可以在短时间内略大于其额定功率(称超负荷运行).机械不能长时间处于超负荷运行，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命.重点难点突破一、功率的计算1.平均功率即某一过程的功率，其计算既可用P，也可用PFcos .2.瞬时功率即某一时刻的功率，其计算只能用PFvcos .二、机车的启动问题发动机的额定功率是指牵引力的功率，而不是合外力的功率.PFv中，F指的是牵引力.在P一定时，F与v成反比；在F一定时，P与v成正比.1.在额定功率下启动对车在水平方向上受力分析如图，由公式PFv和FFfma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到FFf时，a0，这时v达到最大值vm=可见，在恒定功率下启动的加速一定不是匀加速.这种加速过程发动机做的功只能用WPt计算，不能用WFl计算(因为F为变力).其速度时间图象如图所示.2.以恒定加速度a启动由公式PFv和Ffma知，由于a恒定，所以F恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了.这时匀加速运动结束，此时速度为v0，动能变大，外力对物体做正功；Ek0，动能减少，外力对物体做负功.第 4 课时动能定理的应用基础知识归纳1.用动能定理求变力的功在某些问题中，由于F的大小或方向变化，不能直接用WFlcos 求解力的功，可用动能定理求解，求出物体动能变化和其他恒力的功，即可由EkW1W2Wn求得其中变力的功.2.物体系的动能定理问题物体间的一对相互作用力的功可以是正值，也可以是负值，还可以是零.因此几个物体组成的系统所受的合外力的功不一定等于系统动能的变化量.3.动能定理分析复杂过程问题物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，此时可以分段考虑，也可对全程考虑，对整个过程列式可使问题简化.重点难点突破一、用动能定理求解变力做功的注意要点1.分析物体受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力.2.找出其中恒力做的功及变力做的功.3.分析物体初、末状态，求出动能变化量.4.运用动能定理求解.二、用动能定理解决问题时，所选取的研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统.当选取物体系统作为研究对象时，应注意以下几点：1.当物体系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性体元之间相互挤压而产生的力，作用力与反作用力的总功等于零，这时列动能定理方程时可只考虑物体系统所受的合外力的功即可.2.当物体系统内的相互作用力是弹簧、橡皮条的作用力，或是滑动摩擦力，作用力与反作用力的总功不等于零，这时列动能定理方程时不但要考虑物体系统所受的合外力的功，还要考虑物体间的相互作用力的功.3.物体系统内各个物体的速度不一定相同，列式时要分别表达不同物体的动能.三、多过程问题的求解策略1.分析物体运动，确定物体运动过程中不同阶段的受力情况，分析各个力的功.2.分析物体各个过程中的初、末速度，在不同阶段运用动能定理求解，此为分段法.这种方法解题时需分清物体各阶段的运动情况，列式较多.3.如果能够得到物体全过程初、末动能的变化，及全过程中各力的功，对全过程列一个方程即可，此方法较为简洁.典例精析1.用动能定理求解变力做功【例1】如图所示，竖直平面内放一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数0.2，杆的竖直部分光滑.两部分各套有质量均为1 kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连.此时A、B均处于静止状态，已知：OA3 m，OB4 m.若A球在水平拉力F的作用下向右缓慢地移动1 m(取g10 m/s2)，那么(1)该过程中拉力F做功多少？(2)若用20 N的恒力拉A球向右移动1 m时，A的速度达到了2 m/s，则此过程中产生的内能为多少？【解析】(1)用力F缓慢拉A球时，分析可知F的大小发生变化，把A、B看做整体，由平衡条件知，A受杆的支持力FNmgmg2mg不做功，摩擦力Ff2mg为恒力.对于A和B组成的系统，由动能定理可得WF2mglmghB0因绳长L5 m保持不变，当A移动的距离l1 m时，设B升高了hB.由几何关系可知：(31)2(4hB)252所以hBl1 m代入式，可得WF2mglmglmgl(21)1101(20.21) J14 J(2)如右图所示，若以F20 N的恒力拉A球，AB绳所受拉力及A所受摩擦力均为变力.在A移动1 m的过程中，对于A和B球组成的系统，由动能定理得FlWfmghBmvmv0注意到内能QWf且在同一时刻，A、B两球沿绳方向的分速度相等.即vAcosOABvBcosOBA则vAvB由式得vBvA，代入式得Q4.4 J【思维提升】本题涉及的知识面较大，其中受力分析是解答本题的基础，功的计算与速度分解都是解答本题的关键.其次理解题目中“缓慢”的含义，在动能定理问题中，“缓慢”表示动能始终为零，物体处于静止状态.【拓展1】剑桥大学物理学家海伦杰尔斯基研究了各种自行车特技的物理学原理，并通过计算机模拟探寻特技动作的极限，设计了一个令人惊叹不已的高难度动作“爱因斯坦空翻”，并在伦敦科学博物馆由自行车特技运动员(18岁的布莱士)成功完成.“爱因斯坦空翻”简化模型如图所示，质量为m的自行车运动员从B点由静止出发，经BC圆弧，从C点竖直冲出，完成空翻，完成空翻的时间为t.由B到C的过程中，克服摩擦力做功为W，空气阻力忽略不计，重力加速度为g，试求：自行车运动员从B到C至少做多少功？【解析】设运动员从C点冲出的速度为v，则有t即vgt对B到C的过程运用动能定理：W人Wmv20所以W人Wm(gt)2Wmg2t22.对系统运用动能定理【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m，物体A在水平面上.A由静止释放，当B沿竖直方向下落h时，测得A沿水平面运动的速度为v，这时细绳与水平面的夹角为，试分析计算B下降h过程中，A克服地面摩擦力做的功.(滑轮的质量和摩擦均不计)【解析】据运动分解的有关知识得：B下降h高度时的速度vBvcos 因为A、B间轻绳拉力做功的代数和为0，对A、B系统运用动能定理：mgh|Wf|Mv2m(vcos )20所以|Wf|mghMv2m(vcos )2【思维提升】如果选取系统作为动能定理的研究对象，一定要分析系统内力的功是否为零，如果不为零，不能落下这个功，这与牛顿定律中的整体法有差异，在牛顿定律整体法中，不必分析系统内力，而在动能定理中不仅要分析外界对系统做的功，也要分析内力做的功.3.多过程问题的求解【例3】如图所示，AB是倾角为的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧半径为R.一个质量为m的物体(可以看做质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动.已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为.求：(1)物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L应满足什么条件？【解析】(1)因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2的圆弧上往复运动.对整个过程应用动能定理得mgRcos mgcos s0，所以s(2)对BE过程mgR(1cos )mvFNmg由式解得FN(32cos )mg(3)设物体刚好到D点，则mg对全过程应用动能定理得mgLsin mgcos LmgR(1cos )mv由式解得LR【思维提升】对于多过程应用动能定理的问题：(1)有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，导致物体的运动包含几个物理过程，物体运动状态、受力情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况，分别对待.(2)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，应用动能定理求解.(3)对过程运用“整体法”或“隔离法”并不影响解题结果，要看研究问题的方便而定.【拓展2】如图甲所示，物体在离斜面底端4 m处由静止滑下，若动摩擦因数均为0.5，斜面倾角为37，斜面与平面间由一小段圆弧连接，求物体能在水平面上滑行多远？【解析】物体在斜面上受重力mg、支持力FN1、摩擦力F1的作用，沿斜面加速下滑(由计算可知重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力)到水平面后，在摩擦力F2作用下做减速运动，直至停止.解法一：对物体在斜面上和平面上时分别进行受力分析，如图乙所示，知下滑阶段有FN1mgcos 37，故F1FN1mgcos 37由动能定理有mgsin 37x1mgcos 37x1mv在水平过程中F2FN2mg由动能定理有mgx20mv由式可得x2x14 m1.6 m解法二：物体受力分析同解法一.物体运动的全过程中，初、末状态速度均为零，对全过程应用动能定理有mgsin 37x1mgcos 37x1mgx20解得x2 m1.6 m 易错门诊【例4】质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h0.20 m，木块离台的右端L1.7 m.质量为mM的子弹以v0180 m/s的速度水平射向木块，并以v90 m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为l1.6 m，求木块与台面间的动摩擦因数.【错解】木块离开台面后的平抛阶段，由lv2解得v28 m/s对子弹和木块组成的整体在整个过程中应用动能定理有：MgLMvmv2mv代入数据可得69.6【错因】本题的物体有两个：子弹和木块，物理过程可以分为三个阶段：子弹射木块；木块在台面上滑行；木块飞出台面平抛.其中两个阶段有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段.故不能对子弹和木块组成的整体在整个过程中应用动能定理.【正解】对三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统应用动量守恒定律，设木块末速度为v1，则mv0mvMv1木块在台面上滑行阶段，对木块应用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，有MgLMvMv木块离开台面后的平抛阶段lv2由式可得0.50【思维提升】本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理.本题还应引起注意的是：不要不加分析(对相互作用的内力所做功不一定为零)就对系统应用动能定理.在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功.如果对系统全过程应用动能定理，就会把这个负功漏掉.第 5 课时势能机械能守恒定律基础知识归纳1.重力势能(1)定义：由物体与地球之间的相互吸引和相对位置所决定的能叫重力势能.(2)公式：.(3)说明：重力势能是标量.重力势能是相对的，是相对零势能面而言的，只有选定零势能面以后，才能具体确定重力势能的量值，故Epmgh中的h是物体相对零势能面的距离.一般我们取地面为零势能面.重力势能可正，可负，可为零.若物体在零势能面上方，重力势能为正；物体在零势能面下方，重力势能为负；物体处在零势能面上，重力势能为零.重力势能属于物体和地球共有.通常所说“物体的重力势能”实际上是一种不严谨的习惯说法.重力势能是相对的，但重力势能的变化却是绝对的，即与零势能面的选择无关.2.重力做功(1)公式：，h为初、末位置间的高度差.(2)特点：重力做功与路径无关，只与初、末位置有关(即由初末位置间的高度差决定).3.重力做功与重力势能变化间的关系重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加.重力所做的功等于重力势能变化量的负值，即WGEp(Ep2Ep1)(mgh2mgh1)Ep1Ep2.4.弹性势能(1)定义：发生弹性形变的物体，由其各部分间的弹力和相对位置所决定的能，称为弹性势能.(2)说明：弹性势能是标量.劲度系数越大，形变越大，弹性势能越大(公式：Epkx2/2).弹力所做的功与弹性势能的改变的关系跟重力做功与重力势能的改变的关系相同，即弹力所做的功也等于弹性势能改变量的负值.5.机械能(1)定义：机械能是物体动能、重力势能、弹性势能的统称，也可以说成物体动能和势能的总和.(2)说明机械能是标量，单位为焦耳(J).机械能中的势能只包括重力势能和弹性势能，不包括其他各种势能.6.机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.(2)表达式：.重点难点突破一、重力做功的特点1.重力做功与路径无关，只与物体的始末位置的高度差和重力大小有关.2.重力做功的大小WGmgh，h为始末位置的高度差.3.重力做正功，物体重力势能减少；重力做负功，物体重力势能增加.二、机械能守恒定律的条件和机械能守恒定律的常用数学表达式1.守恒条件：只有重力或弹力做功，只发生动能和势能的转化.分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这些力做功是什么形式的能转化成什么形式的能，如果只是动能和势能的转化，而没有其他形式的能发生转化，则机械能守恒，如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不会发生变化.2.常用数学表达式：第一种：Ek1Ep1Ek2Ep2，从守恒的角度表明物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等.第二种：EkEp，从转化的角度表明动能的增加量等于势能的减少量.第三种：E1E2，从转移的角度表明物体1的机械能增加量等于物体2的机械能的减少量.三、应用机械能守恒定律解题的基本步骤1.根据题意，选取研究对象(物体或相互作用的物体)和初、末状态.2.分析研究对象在运动过程中所受各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒定律的条件.3.若符合机械能守恒定律成立的条件，先要选取合适的零势能的参考平面，确定研究对象在运动过程的初、末状态的机械能.4.根据机械能守恒定律列方程，代入数值求解，并对结果做出必要的说明或讨论.典例精析1.重力做功的特点【例1】沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不同的斜面向上拉同一物体到顶端，以下说法正确的是()A.沿坡度小、长度大的斜面上升克服重力做的功多B.沿长度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功多C.沿坡度大、粗糙程度大的斜面上升克服重力做的功少D.上述几种情况重力做功同样多【解析】重力做功与物体运动的具体路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关，无论是光滑路径或粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动，只要初末位置的高度差相同，重力做功就相同.因此，无论坡度大小、长度大小及粗糙程度如何，只要高度差相同，克服重力做的功就一样多，故选D.【答案】D【思维提升】理解重力做功的特点，是解此题的关键.【拓展1】一质量为5 kg的小球从5 m高处下落，碰撞地面后弹起，每次弹起的高度比下落高度低1 m，求小球从下落到停在地面的过程中重力总共做了多少功？(取g9.8 m/s2)【解析】小球下落高度为5 m，重力做功与路径无关，则WGmgh59.85 J245 J2.机械能守恒的条件及其应用【例2】如图所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放，让其自由摆下，不计空气阻力，重物在摆向最低点的位置的过程中()A.重物重力势能减小 B.重物重力势能与动能之和增大C.重物的机械能不变 D.重物的机械能减少【解析】物体从水平位置释放后，在向最低点运动时，物体的重力势能不断减小，动能不断增大.弹簧不断被拉长，弹性势能变大.所以物体减少的重力势能一部分转化为自身的动能，另一部分转化为弹簧的弹性势能.整个系统机械能守恒，而对重物来说，机械能减少.【答案】AD【思维提升】重力势能属于物体和地球共有，通常所说“物体的重力势能”，只能省略“地球”，其他物体不能省略.此处C答案说成“重物和弹簧的机械能守恒”就是正确的.【拓展2】关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法正确的是( D )A.做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒B.做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒C.外力对物体所做的功等于零时，机械能一定守恒D.物体若只有重力做功，机械能一定守恒【解析】做匀速直线运动的物体是动能不变；势能仍可能变化，选项A错；做匀变速直线运动的物体，动能不断增加，势能仍可能不变，选项B错；外力对物体所做的功等于零时，动能不变，势能仍可能变化，选项C错；机械能守恒条件是物体只有重力做功或只有弹力做功，D对. 易错门诊【例3】如图使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点B上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点A？【错解】如图所示，根据机械能守恒定律，小球在圆形轨道最高点A时的势能等于它在圆形轨道最低点B时的动能(以B点作为零势能位置)，所以有mg2Rmv从而得vB2【错因】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道.要使小球到达A点(自然不脱离圆形轨道)，则小球在A点的速度必须满足mgNAm式中，NA为圆形轨道对小球的弹力.上式表示小球在A点做圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供.当NA0时，vA最小，vA.这就是说，要使小球到达A点，则应使小球在A点具有速度vA【正解】以小球为研究对象.小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力.小球在圆形轨道最高点A时满足方程mgNAm根据机械能守恒定律，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程mvmg(2R)mv由式解得vB当NA0时，vB为最小，vB所以在B点应使小球至少具有vB的速度，才能使小球到达圆形轨道的最高点A.【思维提升】内轨约束问题一定要注意在最高点时速度不能为零.第 6 课时机械能守恒定律的应用基础知识归纳1.应用机械能守恒定律解决力学问题先分析研究对象在运动过程中的受力情况，并确定各力的做功情况，在动能和重力势能的相互转化中，如果只