第3讲 圆的方程.doc

第3讲圆的方程【2013年高考会这样考】1考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程2题型既有选择题、填空题，又有解答题客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题【复习指导】1本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程2能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题基础梳理1圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2圆的标准方程方程表示圆心为，半径为的圆的标准方程特别地，以原点为圆心，半径为的圆的标准方程为3圆的一般方程方程可变形为故有：当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；当时，方程表示一个点；当时，方程不表示任何图形4与圆的位置关系若，则点在圆外；若，则点在圆上；若，则点在圆内过点的切线长为：一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于或的方程组；解出或代入标准方程或一般方程两个防范求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线双基自测1圆心为点，半径为2的圆的标准方程为_2(11四川)圆的圆心坐标是_解析：由得，故圆心坐标为3若点在圆的内部，则实数的取值范围是_解析：因为点在圆的内部，故，故4(11重庆)在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_解析：由题意知，圆的圆心坐标是、半径是，且点位于该圆内，故过点的最短弦长(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点的最长弦长等于该圆的直径，即，且，因此的面积等于5圆心在原点且与直线相切的圆的方程为_解析：设圆的方程为则故圆的方程为：考向一求圆的方程求圆的标准方程和圆的一般方程:求圆的方程时，要根据题目的条件，若条件和圆心、半径有关，则选用标准方程，若过几个已知点，则选用一般方程【例1】已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为_审题视点 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径法一：设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为，则，即，解得，故圆心坐标为，半径，故圆的方程为法二：题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离；圆心是直线与这两条平行线交点的中点，直线与直线的交点坐标是、与直线的交点坐标是，故所求的圆的圆心坐标是，所求的圆的方程是 定义法待定系数法求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用【训练1】经过点，圆心在直线上的圆的方程为_解析：因圆经过点，故圆心在上，又圆心在上，则圆心为，可设圆的方程为，又圆过，即，故，故圆的方程为练习设圆满足：截轴所得弦长为；被轴分成两段圆弧，其弧长之比为，在满足条件的所有圆中，求圆心与点之间的距离最小的圆的方程考向二与圆有关的最值问题1平几法求最值【例2】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是解析：由圆知圆心坐标为，半径为则圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：，故最大距离与最小距离的差为练习2已知圆若的切线在轴，轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；从圆外一点向圆引一条切线，切点为为原点，且有，求使最小的点的坐标解：，；由可以知道，点的轨迹为直线，从而 ，此时2解几法求最值【例3】已知点在圆上运动，则的最大值与最小值分别为_审题视点 找出的几何意义，运用几何法求解解析：设，则表示点与点连线的斜率当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值由，解得 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题练习3已知点在曲线上，设为坐标原点，则的最小值是_，最大值是_1，2练习设为圆上的任意一点，要使得不等式恒成立，则的取值范围是_3函数法求最值【例4】(12湖北)过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，故需该直线与直线垂直即可又已知点，则，故所求直线的斜率为又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程来年需注意直线与圆相切的相关问题练习4已知圆，设点是直线上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为若，求直线的方程；经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值解：设因，故解得或(舍去)故由题意知切线的斜率存在，设斜率为故直线的方程为，即因直线与圆相切，故，解得或故直线的方程是或设因与圆相切于点，故，故经过三点的圆的圆心是线段的中点因，故的坐标是设，故当，即时， ；当，即时，；当，即时，；则练习已知圆：，为坐标原点边长为的正方形的顶点均在圆上，在圆外，当点在圆上运动时，点的轨迹为(i)求轨迹的方程；(ii)过轨迹上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆、轨迹相交，设被圆截得的弦长为，设被轨迹截得的弦长为，求的最大值正方形的一边为圆的一条弦，求线段长度的最值ODCBAyx11解：(i)连结，因，故，则，故，在中，故轨迹是以为圆心，为半径的圆，故轨迹的方程为；xODBA11Cy(ii)设点到直线的距离分别为，因，故，则 ，则 ，当且仅当，即时取“”，故的最大值为； xODBA11Cy设正方形边长为，则，当按顺时针方向时，如图所示，在中，即，由，此时；当按逆时针方向时，在中，即 ，由，此时，综上所述，线段长度的最小值为，最大值为4基本不等式法求最值【例5】设圆的一条切线与轴，轴分别交于点，则线段长度的最小值为 解法一:设圆的一条切线为:，则易知，即，则与轴，轴分别交点，则 ，当且仅当，此时的方程为解法二:设圆的一条切线与圆的切点为，则切线为，易知，且，则与轴，轴分别交点，则 ，当且仅当，此时的方程为练习5设，则在以为圆心，为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 解法一：由得，则，由函数知识易知，当且仅当时，“”成立，此时圆的标准方程是解法二：由得，则，当且仅当时，“”成立，此时圆的标准方程是练习已知和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足求实数满足的等量关系；求线段的长的最小值；若以为圆心所作的与有公共点，试求半径取得最小值时的方程解：由得，化简得，；线段的长的最小时，即最小，此时即原点到直线的距离为由知，设的方程为：，则与有公共点，即与相切时，半径取得最小值，则，则方程为考向三 轨迹问题1直接法求轨迹【例6】如图，圆与圆的半径都是1，过动点分别作圆、圆的切线(分别为切点)，使得试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程PMN解：取所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，距离平面直角坐标系，则圆的方程为，圆的方程为，设，则由知，化简得，练习6已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是_解：；练习：已知两个定点，动点到两个动点的距离之比为，求动点的轨迹方程已知两点间距离为6，动点到两定点的距离的平方为26，求动点的轨迹方程2间接法求轨迹【例7】已知圆:，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为_【训练7】已知点为圆上的一点，动点满足，求动点的轨迹方程练习:在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点的纵坐标大于0求的坐标；求圆关于直线对称的圆的方程解：设，由，由得，解得或，若，则与矛盾，故舍去即圆，即，其圆心为，半径，又，故直线的方程为设圆心关于直线的对称点的坐标为，则解得，则所求的圆的方程为3平几法求轨迹【例8】在圆内有一点，圆上两点满足，求中点的轨迹方程4定义法求轨迹【例9】矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上求边所在直线的方程；求矩形外接圆的方程；若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，故边所在直线的方程为，即 由解得，点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为因动圆过点，故是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，故，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为考向四圆的综合应用【例10】已知圆和直线交于两点，且(为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径审题视点 利用垂直列出坐标之间关系，再化为的方程求解；得到点在以为直径的圆上，再利用勾股定理求解解：易知圆的圆心的坐标为，如图所示，设弦中点为，由平几知识可知，故直线的方程为又直线的方程为，故解得M的坐标为易知，而圆的半径为，故，又由知，则，故，故圆心坐标为及半径为 在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算本题中两种解法都是用方程思想求值，即两种解法围绕“列出的方程”求值练习10(11江苏)设集合 ，若，则实数的取值范围是_解：当时，集合是为圆心，以为半径的圆面，集合是在两条平行线之间的带形区域；在直线的上方，因为，故，又，此时无解；当时，集合是以为圆心，以和为半径的圆环，集合是在两条平行线之间的带形区域，必有当时，即只要，则 当，即时，只要，即，当，故时，一定符合，又因为，故本题主要考查集合概念，子集及其集合运算、线性规划，直线的斜率，两直线平行关系，点到直线的距离，圆的方程，直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力【例11】已知圆，直线，为直线上的一点，若圆上存在两点使得：，则点的横坐标的取值范围是_解：圆外一点与圆上两点的连线的夹角应该以圆外的一点所作的两条切线的夹角为最大，由，且圆的半径为，可知，当与圆心的距离为时，易知，此时的方程为与，此时点的横坐标分别为和，故点的横坐标的取值范围是练习11已知圆的圆心为点，且过点，点在圆上，点在直线上圆的方程；指出满足为直角三角形的点的个数，并说明理由；若，求点横坐标的取值范围解：圆的方程为；两个；直角顶点分别为由且即正弦定理知，的外接圆的直径长为4，设的外接圆的圆心为，则的外接圆的方程为，要使得在直线 0，上存在点，使得，则直线应与圆有公共点，又圆过点，故，则 ，故的横坐标的取值范围是考向五 新题型【例12】(07上海文)如图，是直线上的两点，且两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧与线段围成图形面积的取值范围是 解：如图，当与外切于点时，最大，此时，两圆半径为1，等于矩形的面积减去两扇形面积，随着圆半径的变化，可以向直线靠近，当到直线的距离时，故练习12(08上海文)如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域(含边界)，是该圆的四等分点若点、点满足且，则称优于如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧_ABCDOxy【解析】依题意，在点组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域（权且称为“第二象限”）与点组成的集合无公共元素，这样点组成的集合才为所求. 检验得：D 【例13】(09上海理)过圆的圆心，作直线分别交正半轴于点，被圆分成四部分(如图)，若这四部分图形面积满足，则直线有_ 【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，故为定值，即为定值，当直线绕着圆心移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线只有一条练习13(09山东理)如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_. 【解析】因圆心移动的距离为2，故劣弧，即圆心角，则，故，故， ，故. 另解:根据题意可知滚动圆心为时的圆的参数方程为，且 ，则点的坐标为，即. 作业1已知：，：，是平面内一动点，过作的切线，切点分别为，若，则到坐标原点距离的最小值为 ；解：设，因，故，即，整理得：，这说明符合题意的点在直线上，故点到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线的距离为2(11江西理)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点在大圆内所绘出的图形大致是MNA B C D【解析】由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心05M为半径的圆上运动当小圆运动到两圆相切于O点时，则小圆与大圆的切点转过的弧长长度等于弧，过小圆圆心作垂线，设转动角度为，则大圆弧长，小圆弧长，故，则，则，所以，则平行轴又，所以，所以轴，则点在轴上，又为中位线，则，故点在轴上故最终运动轨迹如A图所示3(11江西文)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系轴上方，其“底端”落在源点处，一顶点及中心在轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每