8 选举与决策.ppt

第八章选举与决策 第一节选举方法第二节如何决策 第一节选举方法选举的重要意义在于体现某种程度的公平性 即多数人满意 但对专家来说 有这样的问题 多数是不是意味着绝大多数 有没有一个使全社会都满意的选举方法 如果没有 则是否可以设计一种最完美的选举方法 使得每一个参加选举的成员都感到满意 罗马元老院面临的选择两千多年前 一位名叫泊林尼 Pliny 的罗马历史学家 讲述了这么一个有趣的故事 有一天 罗马元老院出现一场争论 事情涉及一位突然死亡的大公狄克斯特 Dexter 所拥有的自由奴的生死 因为元老院始终不能确定 大公狄克斯特是自杀 还是死于自由奴之手 一切问题都围绕在大公的死因上 即使自由奴真的杀了他们的大公 也不清楚是否是出于大公本人精神上的原因 自由奴由于服从才杀了他 因而是一种安乐死行为 按照当时罗马法律 自由奴必须被放逐 还是一场真正的谋杀 此时自由奴必须处死 当然 大公也可能是自杀 自由奴当然无罪释放 大公之死自杀他杀 无罪释放 有罪惩罚 安乐死谋杀 放逐罪 死罪 元老也有三种意见 甲组 他们相信自由奴无罪 应予释放 乙组 他们认为自由奴犯有轻罪 应予放逐 丙组 他们确信自由奴犯有谋杀罪 应处死刑 现在 自由奴的命运完全取决于元老们的表决方式 我们可以分几种情况来讨论 多数原则 以最多票者的意向为决议 注意 得胜方未必是全体元老的大多数 非真诚表决 带有谋略的表决 比方说 丙组的人出于对死刑的顾虑 在表决时不投C票 而改投了B票 结果是 A只得40 的票 而B却得了35 25 60 的多数票 于是流放在等待着自由奴们 谋略表决 现在假定甲组的元老们仍然坚持选择A 而乙组和丙组的元老们则可任意选择 这时可得到最后的表决结果 真诚选举 以个人最偏爱的选择进行表决的选举通过分析 建议丙组进行非真诚选举 即选择B 逐轮选举即要求每一步表决都服从于大多数原则 要求半数以上通过 40 60 A非A75 25 BC多数原则 非真诚是最佳策略大多数原则 真诚选举是最佳策略 现在我们假定 在第一轮表决中要求先确定给予惩罚B或C 又会有什么结果呢 75 25 BC40 60 AB但甲组元老们如果采取策略表决 情况又会不同35 65 BC75 25 AC 捉对表决让每一对候选人对象面对面地进行一次表决 让A对B B对C和C对A 于是 在真诚选举的情况下 B将以60 比40 挫败A B又以75 比25挫败C 而A又以75 比25 挫败C 自然可以把B视为赢家 因为他挫败了所有对手 鹰派赢家 一个候选对象 如果能在面对面的捉对表决中胜出每一个别的候选对象 但如果在非真诚表决的情况下 会得出一个非常惊讶的结论 有时候鹰派赢家可能不存在 如甲为了抑制B的胜出 再一次施行策略表决 即把原先的意向次序A B C改成A C B在B与C进行表决时 倒向C的一边 结果就变成为 B以60 比40 赢了A A以75 比25 赢了C C以65 比35 赢了B 选举悖论 B赢了A A赢了C C赢了B的循环现象 递推律 x在y之前 y在z之前 则x一定在z之前 等级与计分波达 Borda 记分法 以递降方式给候选对象打分并累计分 以排出诸对象次序的方法 现在我们用波达记分法来考虑泊林尼的问题 依规则 每位元老以3分 2分和1分来给他们的第一 A 第二 B 和第三 C 选择记分 这样 3个议案的得分情况如下 甲 ABC 乙 BAC 丙 CBA A 3 40 2 35 1 25 2 15 B 3 35 2 40 2 25 2 35 C 3 25 1 40 1 35 1 50 结论是 B为赢家 A其次 C最末 表面看来 这个方法很公平 但如果出现策略选举时 波达计分法相当不稳定 25位专家对清华大学 北京大学 中国人民大学及北京师范大学4所大学进行综合评估 专家们分别以3分 2分 1分和0分给他们心目中的首席 次席 三席和末席打分 并要求将4所大学排出次序 注意共有24种排列法假定专家共分成5个组 他们的意向表如下 现在算出各个大学的得分 清 3 8 2 6 2 5 1 4 十 0 2 50 北 3 6 3 2 2 8 1 5 0 4 45 人 3 5 2 4 2 2 1 8 0 6 55 师 3 4 1 6 1 2 0 8 0 5 20 评估结果是 1 清华大学 2 北京大学分 3 中国人民大学 4 北京师范大学 波达计分法中 即使每个人都保证实行真诚选举 但表决结果往往会因为分制的取法而大相径庭 某赛马场够得红玉 白雪 如意 和飞驹4匹良种马 业主为对它们进行估价 决定进行4次比赛结果如下 如果我们用3分 2分 1分和0分来记第一 第二 第三和第四 我们可以算出 红玉 3 1 2 1 1 2 7 第一白雪 3 1 2 2 1 0 7 第一如意 3 2 2 O 1 0 6 飞驹 3 0 2 1 1 2 4 如我们用5分 3分 1分和0分来记名次 则有红玉 5 1 3 1 1 2 10 白雪 5 1 3 2 1 O 1l 如意 5 2 3 0 1 0 10 飞驹 5 0 十 3 1 1 2 5 人人是赢家选举方法的选择 表决议程的安排 以及种种策略的实施 对于表决结果常常是举足轻重的 某国内阁55位成员要在5个党派的提名代表中确定一位担任总统 假定55位成员的意向表如下 现假定每个内阁人员都已严格宣誓实施真诚选举 1 多数原则显然 候选人A以最多首席票18票当选总统 尽管得票数不足内阁成员的三分之 2 逐轮选举之一赢家决胜 内阁决定在两位首票领先的候选人中 用 大多数原则 进行一轮决胜表决 则B为总统 2 逐轮选举之二逐轮淘汰 进行一系列表决 淘汰最少首席得票者 则C为总统 波达计分法 若以5分 4分 分别记首席 次席 则可以得到各候选人得分如下 A 5 18 1 12 lo 9 4 2 l27分 B 5 12 4 10 4 2 2 9 1 18 156分 C 5 10 4 9 2 2 18 12 4 162分 D 5 9 4 18 3 12十4 2 2 10 191分 E 5 4 2 4 12 3 18 10 9 189分 因此 D为总统 5 捉对表决每两位候选人进行一次面对面的表决 故共需进行10次表决 每位候选人各参加4次 在真诚选举的条件下 E以37票赢了A 以33票比22票赢了B 以36票比19票赢了C 以28票比27赢了D 这一回 E将当上总统 策略选举或非真诚选举 事情才变得很复杂 阿罗不可能性定理 绝对公平的选举系统是不存在的 第二节如何决策Tobeornottobe Thisisaquestion Hamlet约会问题贾斯廷和汤姆在互相竞争中 他们两人都热恋着一个叫做萨利的女孩子 两人都想在星期六与她举行约会 困难在于他们之中只有一人会成功 也许两人都会失败 萨利并不特别喜欢他们中任何一个 而且并无偏爱 她在下午4时离开学校回家 贾斯廷和汤姆都能做下面两件事情之一 下午4时她一回家 就打电话给她 或亲自到她家去邀请她 如果他们各自在下午4时打电话给她 谁先打通的机会是50比50 贾斯廷的家离她家很近 他可以在4 15亲自访问她 但是汤姆在4 30前不能赶到 因为他要乘公共汽车 这里的难题是 他们都认为如果亲自访问她的话 她有90 可能接受约会 只要她没有先接受那另一人 然而他们认为如果打电话给她的话 她只有30 可能接受约会 那么贾斯廷和汤姆该怎么办呢 清算矩阵 优势策略 以贾斯廷的来看 亲自去总是值得的 即不管汤姆怎样决策 右列得分都高于左列 注 非常高为90 相当高为63 相当低为30 非常低为30 极端低为9 所以从汤姆的观点来看 他的优势策略是打电话 分粥问题有七个理性人生活在一个孤岛上 他们需要在没有任何量具的情况下分一锅粥 要求分的平均 问怎样实行 1 一开始 他们抓阄决定谁来分粥 每天轮一个 2 推选出一个道德高尚的人出来分粥 3组成三人的分粥委员会及四人的评选委员会 4 轮流分粥 但分粥的人要等其它人都挑完后拿剩下的最后一碗 剪刀石头布游戏规则如下 如果一个玩耍者胜了一轮 就得一分 如果平局 则不得分 可以用清算矩阵来表示这游戏 最佳策略 随机出手 广告比赛总的市场规模是相当固定的 只有市场份额会改变 假想只有两种牙膏商标 牙洁 和 白鲜 无需广告的时候两家都能获利2百万英镑 但如果有家公司去做广告而另家不做的话那么将会得到暴利 广告的费用是每年1百万英镑 现假定一家作广告另外一家不做广告 那么后者失去全部的赢利 如果是两家都做 结果是相互影响的抵消 同时每家因广告失去1百万英镑 作为销售经理 他们该如何选择 那么白鲜的销售经理会想 如果牙洁公司做广告 我做广告而获利1百万 不做的话没有获利 如果牙洁公司不做广告 我做广告会得利3百万 不做的话获利2百万 所以不管牙洁公司如何 我做广告总是有利的 同样 牙洁公司也会得到同样的结论 牙膏悖论的产生是因为两家公司相互竞争而不愿坐下来相互合作 电视大赛中的重大决策输的起吗 大赛奖金规则如下 开始时 参赛者是一无所有的 在他们每一次答对了问题以后 他们将逐步上升到下一个奖金水平 1000 第一条保险底线 32000 第二条保险底线 2000640004000125000800025000016000500000 怎样当上参赛者 胡搅蛮缠被邀请到演播室去的机会微平其微 但即使被邀请到了 还需同其他九名候选人竞争 那么怎样才能坐到参赛者的位子上去 但如果你认为其他竞争者都比你更有知识 那么你就遇到麻烦了 一点点数学知识就能帮助帮上忙 比如 题目要求从从西至东将下列城市排序 A 巴黎 B 伦敦 C 诺维契 D 布赖顿如果这个时候你觉得面临着强大的竞争 此时最佳策略是任意的排列 越快越好 这样可保证你是第一个交卷的 而得到正确答案的机会是1 24 但如果有三次这样的机会 这个时候被选中的概率就为 1 23 24 3 近似为1 7 设想目前已有了64000 如果你答对下一个问题 还将赢得125000英镑 但如果你答错 那么就要失去32000英镑 问题如下 卡儿 马克思曾为哪家报纸定期撰写专栏文章 A曼彻斯特卫报B纽约先驱论坛报C伦敦泰晤士报D法国世界报无法肯定正确答案 这个时候可选择锦囊 去掉两个错误答案 此时还有B和C 那么此时该如何决策呢 如果对马克思的情况一无所知 可以做如下的决策树 马克思的报纸50 伦敦泰晤士报50 纽约先驱论坛报但如果对正确答案略有所知 情况会复杂些马克思的报纸75 伦敦泰晤士报25 纽约先驱论坛报这个时候这些概率只不过是心中的主观感觉而已 其实心里面都明白 要么100 说对 要么100 说错 如果根据这个时候的主观感觉 这个险值得冒吗 期望值0 5 125000 0 5 32000 78500实际上 只要是50对50的机会 在这样的电视大赛中 都是值得一赌的 即便是获取50万在手 也是应该去争取百万英镑的 但这么做是否值得呢 这个时候就取决于你的想法 换句话说 当奖金数额较大时候 决策树上的价值将受到干扰 那么此时考虑问题必须用效用价值来取代货币价值 为搞清楚效用大小取决于不同对象的问题 下面来看三个典型的人物 安琪 欠债 8000英镑会改变她的一生 布瑞安 日子过得相当舒服 但50000英镑能使他还清抵押贷款 克拉丽莎 很有钱 但一百万英镑将能使她向往的游艇过户 下图就为三个的效用图 你是最薄弱环节吗 标准的 最薄弱环节 大赛 开始时有九个参赛者 每人都要轮流回答一个问题 如果答对了 团队所得的奖金就要上一个台阶 但在回答问题以前 参赛者也可以大喊一声 存银行 于是就把到那时为止赢得的钱统统存入公有的钱袋 而下一个问题的货币价值就将跌回初始水平 第1个问题答对了可获奖金20英镑第2个问题答对了可获奖金50英镑第3个问题答对了可获奖金100英镑第4个问题答对了可获奖金200英镑第5个问题答对了可获奖金300英镑第6个问题答对了可获奖金450英镑第7个问题答对了可获奖金600英镑第8个问题答对了可获奖金800英镑第9个问题答对了可获奖金1000英镑 什么时候存银行最好 最基本的策略 每次答对问题之后 就立即把钱 存银行 这样一来 每次稳赚20英镑 另一个策略 手上有50块钱后再去存银行 现假定每次答对的概率都是为50 那种策略好 最基本策略期望值 0 5 20 0 5 0 10 另个策略的期望值 0 5 0 5 50 0 5 0 5 0 0 5 0 5 20 0 5 0 5 0 17 5 事实表明 不论进行多少轮 只要是在答对概率为50 的情况下 前一种策略要比后一种好 尽管最优的 存银行 额度随着团队的技术水平而上台阶 但是还是可以把 最薄弱环节 的最优策略粗略地归纳成三条基本规则 如果有一半把握能答对 那么就必须奉行有20英镑就 存银行 的方针 如果你们有三分之二把握能答对问题 那么到了200英镑再 存银行 在此之前不存 如果答对问题的把握可达90 以上 那么你们可把目标定为1000英镑 而且根本不必 存银行 蒙特 霍尔问题有一个非常著名的决策问题 虽然在电视节目单上表现平平 但对其正确答案的争议却持续不断 莫衷一是 一位参赛者看到他的面前有三扇门 要求他从中选择一扇门 在某一扇门的背后有着一个特别奖 譬如说 一辆汽车 而在另一扇门背后的奖品价值微不足道 譬如说 它只是一只山羊 不妨假定你就是那位参赛者 而你挑中了一扇门 3号门 但在打开它之前 节目主持人打开了另外两扇门中的一扇 2号门 让你