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3.4 向量和矩阵范数3.4.1 内积与向量范数为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量及矩阵的大小引进一种度量，就要定义范数，它是向量长度概念的直接推广，通常用表示n维实向量空间，表示n维复向量空间.定义4.1 设(或)，实数或复数，称为向量x与y的数量积也称内积.非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数.定理4.1设 设(或)则内积有以下性质：(1) ，当且仅当x=0时等号成立；(2) ,或；(3) ,或；(4) ；(5) (3.4.1)称为Cauch-Schwarz不等式.(6) ，称为三角不等式.定义4.2向量的某个实值函数N(x)，记作，若满足下列条件：(1) x0,当且仅当x=0时等号成立(正定性)；(2) (齐次性)；(3) (三角不等式)；则称是上的一个向量范数.对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还有以下几种常用的向量范数.(称为-范数)(称为1-范数)容易验证及均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义但只有p=1,2,时的三种范数是常用的向量范数.例如给定,则可求出定理4.2设是上任一种向量范数，则N(x)是向量x的分量的连续函数.定理4.3设与是上任意两种向量范数，则存在常数，使(3.4.2)不等式称为向量范数等价性.以上两定理证明可见2，3.讲解：在向量得内积（x,y）的性质中，定理4.1的（5）为Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是经常使用的，下面给出证明，显然当x0或y0时（3.4.1）成立，现设，考察若取则上式为于是两边开方则得（3.4.1）利用（3.4.1）直接可证三角不等式，从而可证明向量2一范数，满足定义中的三个条件。及是三种最常用的范数。实际上可以给出很多不同的向量范数，只要证明它们满足定义4.2中的三个条件，定理4.3表明
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