高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（一）课件 新人教A版必修2.ppt

1 2 1任意角的三角函数 一 第一章 1 2任意角的三角函数 学习目标1 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义 了解三角函数是以实数为自变量的函数 2 借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦 余弦 正切函数值在各象限内的符号 3 通过对任意角的三角函数定义的理解 掌握终边相同的角的同一三角函数值相等 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一任意角的三角函数 使锐角 的顶点与原点o重合 始边与x轴的非负半轴重合 在终边上任取一点p 作pm x轴于m 设p x y op r 思考1角 的正弦 余弦 正切分别等于什么 思考2对确定的锐角 sin cos tan 的值是否随p点在终边上的位置的改变而改变 答案不会 因为三角函数值是比值 其大小与点p x y 在终边上的位置无关 只与角 的终边位置有关 即三角函数值的大小只与角有关 思考3在思考1中 当取 op 1时 sin cos tan 的值怎样表示 梳理 1 单位圆在直角坐标系中 我们称以原点o为圆心 以为半径的圆为单位圆 2 定义在平面直角坐标系中 设 是一个任意角 它的终边与交于点p x y 那么 y叫做 的 记作 即sin y x叫做 的 记作 即cos x 单位长度 单位圆 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 对于确定的角 上述三个值都是唯一确定的 故正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 统称为 三角函数 知识点二正弦 余弦 正切函数值在各象限的符号 思考根据三角函数的定义 你能判断正弦 余弦 正切函数的值在各象限的符号吗 答案由三角函数定义可知 在平面直角坐标系中 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点p x y 则sin y cos x tan x 0 当 为第一象限角时 y 0 x 0 故sin 0 cos 0 tan 0 同理可得当 在其他象限时三角函数值的符号 如图所示 梳理记忆口诀 一 二 三 四 全正 正弦 正切 余弦 知识点三诱导公式一 思考当角 分别为30 390 330 时 它们的终边有什么特点 它们的三角函数值呢 答案它们的终边重合 由三角函数的定义知 它们的三角函数值相等 梳理诱导公式一 思考辨析判断正误 1 sin cos tan 的大小与点p x y 在角 的终边上的位置有关 提示三角函数的大小由角 终边位置确定 而与点p x y 在终边上的位置无关 2 终边相同的角的同名三角函数值相等 提示由三角函数的定义可知 终边相同的角的三角函数值相等 答案 提示 题型探究 类型一三角函数定义的应用 命题角度1已知角 终边上一点的坐标求三角函数值 解答 x 0 x 1 当x 1时 p 1 3 反思与感悟 1 已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在 的终边上任选一点p x y 设p到原点的距离为r r 0 则sin cos 当已知 的终边上一点求 的三角函数值时 用该方法更方便 2 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 跟踪训练1已知角 的终边过点p 3a 4a a 0 求2sin cos 的值 解答 若a 0 则r 5a 角 在第二象限 若a 0 则r 5a 角 在第四象限 命题角度2已知角 终边所在直线求三角函数值 解答 解由题意知 cos 0 设角 的终边上任一点为p k 3k k 0 则 反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时 应注意到角的终边为射线 所以应分两种情况处理 取射线上异于原点的任意一点的坐标为 a b 则对应角的三角函数值分别为sin 跟踪训练2在平面直角坐标系中 角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin 3cos tan 的值 解答 所以点p到坐标原点的距离r op 5 所以点p 到坐标原点的距离r op 5 类型二三角函数值符号的判断 例3判断下列各式的符号 1 sin145 cos 210 解 145 是第二象限角 sin145 0 210 360 150 210 是第二象限角 cos 210 0 sin145 cos 210 0 2 sin3 cos4 tan5 sin3 0 cos4 0 tan5 0 sin3 cos4 tan5 0 解答 反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定 解题的关键是准确确定角的终边所在的象限 同时牢记各三角函数值在各象限的符号 记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 跟踪训练3已知点p tan cos 在第三象限 则 是第 象限角 答案 解析 二 解析由题意知tan 0 cos 0 是第二象限角 类型三诱导公式一的应用 解答 例4求下列各式的值 1 sin 1395 cos1110 cos 1020 sin750 解原式 sin 4 360 45 cos 3 360 30 cos 3 360 60 sin 2 360 30 sin45 cos30 cos60 sin30 解答 反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2 间的三角函数 也可把大于2 的角的三角函数化为0到2 间的三角函数 即实现了 负化正 大化小 跟踪训练4求下列各式的值 解答 2 sin810 tan765 cos360 解原式 sin 90 2 360 tan 45 2 360 cos360 sin90 tan45 1 1 1 1 1 达标检测 答案 1 2018 牌头中学月考 已知角 的终边过点 2 1 则cos 的值为 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 3 2017 宁波期末 若角 的终边经过点p 1 1 则a tan 1b sin 1 4 若 是第二象限角 则点p sin cos 在a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案 解析 1 2 3 4 5 解析 为第二象限角 sin 0 cos 0 点p在第四象限 故选d 1 2 3 4 5 解答 5 已知角 的终边上有一点p 24k 7k k 0 求sin cos tan 的值 解 当k 0时 令x 24k y 7k 当k 0时 令x 24k y 7k 则有r 25k 规律与方法 1 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标