高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22.ppt

第一章 导数及其应用 1 3导数在研究函数中的应用 1 3 2函数的极值与导数 自主预习学案 1 如图是函数y f x 的图象 在x a邻近的左侧f x 单调递增 f x 0 右侧f x 单调递减 f x 0 在x a邻近的函数值都比f a 小 且f a 0 在x b邻近情形恰好相反 图形上与a类似的点还有 e f e 与b类似的点还有 我们把点a叫做函数f x 的极 值点 f a 是函数的一个极 值 把点b叫做函数f x 的极 值点 f b 是函数的一个极 值 c f c d f d 大 大 小 小 1 下列四个函数 y x3 y x2 1 y x y 2x 在x 0处取得极小值的函数是 a b c d 解析 y x3在r上单调递增 无极值 y x2 1在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 故 正确 y x 在 0 上单调递减在 0 上单调递增 故 正确 y 2x在r上单调递增 故 不正确 选b b c 4 求下列函数的极值 1 f x x3 12x 2 f x x2e x 解析 1 函数f x 的定义域为r f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 变化状态如下表 从表中可以看出 当x 2时 函数有极大值16 当x 2时 函数有极小值 16 2 函数的定义域为r f x 2xe x x2 e x x 2 x e x 令f x 0 得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 变化状态如下表 互动探究学案 命题方向1 利用导数求函数的极值 典例1 规律总结 利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0得方程的根 4 利用方程f x 0的根将定义域分成若干个小开区间 列表 判定导函数在各个小开区间的符号 5 确定函数的极值 如果f x 的符号在x0处由正 负 变负 正 则f x 在x0处取得极大 小 值 c 命题方向2 求参数的值或取值范围问题 已知f x ax5 bx3 c在x 1处的极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 思路分析 本题的关键是理解 f x 在x 1处的极大值为4 极小值为0 的含义 即x 1是方程f x 0的两个根且在根x 1处f x 取值左 右异号 典例2 解析 f x 5ax4 3bx2 x2 5ax2 3b 由题意 f x 0应有根x 1 故5a 3b 于是f x 5ax2 x2 1 1 当a 0时 x变化时 y y 的变化情况如下表 规律总结 已知函数极值 确定函数解析式中的参数时 注意以下两点 1 根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性 跟踪练习2 1 已知函数f x 的导数f x a x 1 x a 若f x 在x a处取到极大值 则a的取值范围是 a 1 b 0 c 0 1 d 1 0 d c 命题方向3 图象信息问题 下图是函数y f x 的导函数y f x 的图象 对此图象 有如下结论 在区间 2 1 内f x 是增函数 在区间 1 3 内f x 是减函数 x 2时 f x 取到极大值 在x 3时 f x 取到极小值 其中正确的是 将你认为正确的序号填在横线上 思路分析 给出了y f x 的图象 应观察图象找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 典例3 规律总结 有关给出图象研究函数性质的题目 要分清给的是f x 的图象还是f x 的图象 若给的是f x 的图象 应先找出f x 的单调区间及极 最 值点 如果给的是f x 的图象 应先找出f x 的正负区间及由正变负还是由负变正 然后结合题目特点分析求解 跟踪练习3 设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析 由函数的图象可知 f 2 0 f 1 0 f 2 0 并且当x 2时 f x 0 当 2 x 1 f x 0 函数f x 有极大值f 2 又当1 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 故函数f x 有极小值f 2 故选d d 在函数的综合问题中 涉及方程的根的个数时 常以函数极值为工具 并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围 有关函数极值的综合应用 典例4 规律总结 函数极值可应用于求曲线与曲线 或坐标轴 的交点 求方程根的个数等问题时 往往先构造函数 利用极值 并结合图象来解决 跟踪练习4 设a为实数 函数f x x3 x2 x a 1 求f x 的极值 2 当a在什么范围内取值时 曲线f x 与x轴有且只有一个交点 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 注意极大值点与极小值点的区别 典例5 辨析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 上述解法未验证x 1时函数两侧的单调性 导致错误 警示 f x 在x x0处有极值时 一定有f x0 0 f x0 可能为极大值 也可能为极小值 应检验f x 在x x0两侧的符号后才可下结论 若f x0 0 则f x 未必在x x0处取得极值 只有确认x1 x0 x2时 f x1 f x2 0 才可确定f x 在x x0处取得极值 1 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 解析 f x 的符