“出乎意料”的一堂课 吴淑白.doc

“出乎意料”的一堂课 一、背景介绍去年，笔者任教高一两个班的数学教学工作。为了迎接期中考试，在前一节复习了函数值域的求法的基础上，本节重点复习应用题的解法，侧重于剖析应用题的建模过程，选用下面的题目：老王原来在供销社工作，下岗后按照国家的优惠政策，从银行贷款了10万元，两夫妇打算开一家服装店。花了2万元装修店面，准备把剩下的8万元投入甲、乙两种品牌服装的营销。已知销售甲、乙两种品牌的利润与投入资金x（万元）的关系有经验公式：,。问：对甲、乙两种品牌的资金分别投入多少时，获得利润最大呢？这道应用题是笔者在一道求函数值域题的基础上修改自编而成的，一方面材料背景联系实际，人人熟悉，容易引起学生的共鸣，另一方面所涉及的知识点（换元法求值域和二次函数在闭区间上的最值问题）既是学习的重点内容又不失难度。二、情景描述镜头一：笔者的预先设计解：设对甲种品牌投入x万元，所获得的利润总额为y万元，则对乙种品牌投入8x万元，由题意得，设 当此时因此，对甲、乙两种品牌的资金分别投入5.75万元和2.25万元时，获得的利润最大为2.56万元。或者把解题过程稍加优化，设对乙种品牌投入x万元，对甲种品牌投入8x万元，则这种解法与上面的解法实质一样，只是繁简不同而已，大部分学生的想法都在我预设之中。但下面发生的情景，令我始料不及。镜头二：一石击起千层浪讲解后，自我感觉这道题分析比较透彻。可就在这时，发现有学生举手示意要提问。学生1：我觉得应看甲乙两种品牌哪一种利润较高，也就是说应先比较的大小，哪一种利润高就投资哪种。同学们和我一样觉得很惊讶，陷入沉思，教室先是一片寂静，接着一片窃窃私语声。我一时不知所措，只好婉转地说“这位同学很有见解，还有别的看法吗？”学生2（是位科代表）：他讲得有道理，因为，所以当，一定成立，因此应把8万元资金全部投入乙，能获得最大利润万元。不少学生点点头，表示支持。学生3（豁地站起来）：，2.12比2.56小，肯定不会是最大值啊。学生2：(有点不服气，欲说又止)学生4(声音响亮，看上去很自信)：如果把投入甲的5.75万元改为投入乙时，那么获得的利润是，我已经算过了，约等于2.923万元，比2.56万元大。不信？你自己验算，哈哈！话语未落，教室里就响起阵阵掌声，学生情绪高涨，非常兴奋。同时，学生们个个望着我，我清楚的记得那目光有点异样，好象在说镜头三：即兴发挥深探究面对这个意想不到的问题，我略加思索，乘机追问，把问题抛给学生。师：上面出现的问题说明了什么呢？学生5：说明了把8万元资金一次性投入乙和分两次投入乙，所得利润不同，而且分两次投入利润较大。那么分3次，分4次，分n次呢？好家伙！还推广到n次呢。此时，学生的情绪又一次高涨，深感玄机潜伏，思维的火花再一次被点燃，我注意到很多学生的耳朵通红通红的。一会儿，一位学生好象有结果了。学生6：设把8万元分成n次投入乙，每次投入资金分别为x1,x2,xn万元，则总利润，其中x1+x2+xn=8，肯定是n越大y就越大，但是我求不出最大值。这里需要利用柯西不等式，但柯西不等式我们学生没有学过，只好自己讲了。当n趋向于无穷大时，最大利润也是无穷大，投资8万，利润无限！经过我这一气呵成的陈述，学生听后哈哈大笑，象是对结果的戏剧性感到有趣，更象是攻克问题之后的轻松和愉悦，我也如释重负。镜头四：树欲静而风不止下课的时间快要到了，一个学生又站了起来，是他，班里最特别的一个，他总是在最恰当的时间出现。学生7：我觉得这个题目本身就出错，而且这个老王也太可怜，他赚得根本不是钱。顿时，课堂一片“骚乱”，学生们个个笑得前翻后仰，我一时也不知该讲什么。待学生慢慢地平静下来，我请这位学生讲讲他的理由。学生7：题中x的单位是万元，而，运算后的单位应该是，那么是多少钱？学生4抢着说：100元！学生7涨红着脸，反驳道：，它是100啊！啊，大家都大吃一惊，对他的敏锐观察力感到很佩服。此时，下课时间已过两分钟多了，我不得不作一小结：“今天这节课我们每一位同学都积极参与了这个问题的探究，都有自己的探究成果。以上几位同学的想法都很有道理，但结果却产生了与实际不符的矛盾，这些问题说明了什么呢？请同学们课余去思考。镜头五：故事远没有结局当我离开教室的时候，一位平时很腼腆的女同学在同桌的陪同下急急忙忙追上来，递给我一张纸条说：老师，请你帮我检查一下这道题我错在哪里，谢谢！到了办公室，我接过纸条一看，顿时脸上发热，重重地在自己大腿上掐了一下，心想：自己备课怎么这样不充分，真是内疚。原来这位学生是这样做的：设对甲种品牌投入x元，利润总额为y元，则对乙种品牌投入80000x元设 当元三、教后反思经过这一节课的激烈讨论和争辩，出现了许多火花，这些火花将激励着学生继续探究下去。在这过程中，学生对问题的好奇、相互交流时流露出的愉悦以及探得问题结果时表现出的激动和兴奋难以言表，常常令教师陶醉不已，也令教师有点招架不住。静心思考，感慨颇多，在一本珍藏的教学札记里我写下了以下几行：（1）、应用题没有真正来源于生活实际，而是为了练习而虚构的数学问题，导致学生对题目本身直接提出质疑。（2）、学生提出的一些问题还没有做出正面回答，如学生提出应先比较的大小，得出最大利润万元等，深感捉襟见肘。（3）、本节课的成功之处在于：学生成了课堂的主人，能大胆地发现问题、提出问题、激烈地讨论问题，探索问题。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，普通高中数学课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式。课堂教学重在发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。让学生在学习过程中去体验、去经历数学，去发现数学。学生有了兴致，就会激发求知欲，形成积极的“心向”。在教学中，我们应不断创设与学生心理需要同步的情境，唤起学习热情，让学生真切的感受到“数学真奇妙！”。这样的教学，除了知识的传递，更多了一份情感的交流，一次思维的碰撞，使学生萌发出一种数学真有趣，我要“玩”好数学的愿望，从而更加乐意地去学习数学，在数学世界里自由翱翔。最后引用陶