高三化归思想专题(分类齐全,例题经典).doc

化归思想重难点归纳 转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化 “化归”不仅是方法而且是一种重要的数学思想，化归的核心是实现问题的规范化，以便应用已知的理论、方法和技术达成问题的解决。问题 新问题（已经解决了的） 已知方法原问题的解答新问题解答。典型题例示范讲解 1变式联想化归（法）代数中涉及的内容相当一部分是数式为形，通常所遇到的数学难题，其难解之处也在于题中所给的形式较为陌生，针对这一特点，当化归受阻时，首先应考虑将所给式子进行变形，然后根据变形后的式子特征进行联想往往可以找到化归途径。例1求函数的最小值。分析，直觉观察，不易找到化归途径，对右边变形，可化归为其特征可以促使我们联想到：复数的模，向量的模以及两点间的距离，这些东西确立了化归的方向。令 则。“=”成立的条件 ：与共线，易得时，。MM0B（2，-1）A（0，3）（）利用向量解法差不多 余同。或+记= = =如图当 =。例2.已知函数的值恒小于1,求实数的范围解:注意到的定义域为R原题可化归为:为任意实数时,成立,求的范围。函数问题化归为不等式问题，进一步化归 即： （化为二次函数恒大于0问题）上式的解集为全体实数 例3已知、为的内角，、为实数求证：分析：要证的不等式项数多，且与三角函数相结合，需对式子进行必要变形。式可以化归为：视左端为关于函数，则=2（cosC+cosB）+（+-2cosA）只需二次函数0（R）即可，问题转化为证明0 =4（cosC+cosB）24（222cosA） =-4（sin2C2sinBsinCsin2B） =-4（sinCsinB）20注：本例的证明方法是证明有关二次不等常用的而且带有普遍意义的方法。例4、设 证明不等式结论与条件相差甚远，需进行变形变式 两边同时六次方变式 化简得：即：不难联想到配方 即上式显然成立。2.目标定向化归(法)目标定向指的是在解题时紧盯目标,由目标的特征,特性来确定化归的方向,找准变形目标,直至达到目标。例1、求证：分析：按由繁到简的原则应当左右，注意目标特征。角度， 名称，正余弦余弦 项数，两项一项由目标确定化归方向：选用倍角公式化为，选公式时，尽可能选与余弦函数联系密切的公式。左= = =右例2、求证：分析：证法 左右，角度目标，化，函数目标：化正余弦为余弦，项数目标：化两项为一项，化归方向：由降幂公式化为左= = =注：采用目标定向确定化归方向，一是可以大致确定变形方向，二是可以确定公式的范围，其优势在于：不至于在证题时茫无方向，胡碰瞎撞，在实际操作中，如果化归方向不明确，应化一步看一步，宁可部分转化也不可盲目转化。3.运用参数化归例1、过圆外一点向圆引两切线，求经过两切点的直线方程。分析，设直线与圆的切点分别为A、B，则PA=PBA、B两点可以看作是以P为圆心切线长为半径的圆上的点，此圆的方程是：故A、B两点可看作圆与已知圆的交点直线AB为两圆的相交弦。 令公共弦的方程为：又上式为直线 所求直线方程为例2：当实数R在什么范围内取值时能对圆上任意一点，都使总成立。分析：难点在于都是变量，化归的方向应当是尽量减少变量的个数，直接利用圆方程减元会使目标式变得很复杂，转而考虑圆的参考方程， 问题化归为：使 对一切成立即 （化归为函数）例3、设数列满足 求分析：数列中最规范的问题应是、化归的方向肯定要向这方面进行，由于的系数为，不可能为，目标锁定在上。设 （引入参数，化归为）容易求得 于是：记问题转化为求数列 的通项 注：在解综合题时，化归的方向往往不是很明确，可能得作多次选择，究竟向何方化归需要多次进行权衡比较，但主导思路仍然是化陌生为熟悉，化不规范为规范，另外在综合题中，化归所用的知识跨度往往很大，因此，思路必须开阔，各科知识必须熟悉，所用方法必须活。4.辅助线面化归（法）同平面几何问题一样，当题中的条件较为分散，隐蔽时，作辅助线、辅助面常可把图形中分散的元素集中起来，进而建立起条件与结论的联系，使隐蔽的条件明朗化。例1、正三棱锥底面边长为，两侧面所成的二面角为，求：其体积与侧面积。DBEOCAV分析：要求体积与侧面积，需求高与斜高，作底面 如图首先把二面角转化为平面角易证面 即为平面角于是此题可化归为以下几个平面几何问题。在等腰中 求。在中 求在中 已知 求 （）在中，已知 ，求、 。例2、有五个大小相等的小球，先把四个摆在桌面上，使它们的球心连线成正方形，每边上的两球连相切，然后将另一个球放在它们上面，使之与四个球都相切，已知上面这个球的最高点与桌面距离为，求心球的半径。B1EDABC1CA1分析：难点在于画立体图不会画，不画又设法做，作辅助平面可将其化归为平面几何计算题，设小球半径为，过作平行于桌面的平面，如图得一边长为的正方形，显然再过作截面，易见底边，高 ，故距桌面的距离为 5.剪开展平化归(法)利用侧面展开图化归O4O3O2O1已知正三棱柱其底面周长是侧棱长的倍,现在要从下底点绕侧面一周而到点,要使所走的路径最短,问 ， 应该多大.BAOO3O1分析：求的方法完全相同，所以只分析的求法。求的大小可转化到中解决，只需求、利用余弦即可。A1C1B1A1BCAED矛盾在于在原图中的位置不清楚，自然会联系到侧面展开图。沿展开，由到的最短路线应是矩形的对角线若设则线段容易求得又 6作辅助体化归（法）作辅助体的目的是将复杂的几何体化为较简单的几何体。例1、一个三棱锥的三组对棱分别相等，其长分别为13、14、15，求其体积。分析：体积显然不好求，作一长方体，使此三棱锥的四个顶点分另与长方体的四个顶点重合，则三棱锥可以看成是由长方体截去四角所得。设长方体的长、宽、高分别为、则所截四角的体积均为所求三棱锥的体积例2、已知几何体 是边长为2的正三角形，三侧面都垂直于所在平面 ，求CQPABNRM分析：所给几何体并非规范几何体，需要化归，手段有二：一是割：过作与底面平行的截面该几何体被分割成正三棱柱和一个四棱锥体积都比较好求。二是补：题中所给的数据有特征。131415 在所给几何体上做一个倒置的与之全等的几何体，从而形成一个高为4的正三棱柱，7、数形结合化归法数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。o-2xy2例1：设对于任意实数,函数 总有意义，求实数的取值范围。解法一：有意义，有，即在时总成立，设，即当时，总成立。依抛物线的特征，将其定位， 有解得：解法二：不等式可化成只要的最大值即可。设,的图象如图，可知的最大值为，故最小值为.故点评 通过数与形的转化，抓住了抛物线的特征，建立了实数的不等式组，从而求出的范围。解法二是通过分离参数的方法，再通过换元，利用函数的特征求其最值，同样体现了数形结合的特点。例2：如图，反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点 （1）求 A、B两点的坐标； （2）求AOB的面积 解析：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标答案：解方程组 得oxy13510 所以A、B两点的坐标分别为A（2，4）B(4，2（2）因为直线y=x+2与y轴交点D坐标是(0， 2）， 所以 所以例3： 已知两条直线l1:y=x,l2:axy=0，其中aR，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是( )A （0，1） B （，）C （，1）（1，） D （1，）八、正与反的转化有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为 。分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解略解：他四次射击未中1次的概率P1=0.14=0.14他至少射击击中目标1次的概率为1P1=10.14=0.9999例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x3)垂直平分.分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y= x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点，求m的范围。略解：抛物线y=x2上存在两点（x1，x）和（x2，x）关于直线y=m(x3)对称，则 即 消去x2得存在 上述方程有解=00， 从而m因此，原问题的解为m|m九、一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。例1：设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_.分析：由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解： (a10)q=2或q=0（舍去）例2：已知平面上的直线l的方向向量，点(0，0)和A(1,2)在l上的射影分别为，若则为（ ）A B C2 D2分析：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。略解：设l: 则 可得 即，=2例3：设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC，则四棱锥BPAQC的体积为：AV BV CV DV分析：P、Q运动四棱锥BPAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决略解：取P与A重合，Q与C重合的特殊情况十、主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题例：对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_分析：只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：略解：令为关于a的一次函数，由图像知 或x1或x3例：设的实数，则的取值范围是：_分析：把看作是关于的二次方程，则利用0求解的范围。略解：把看作是关于的二次方程，因为的实数，所以方程有解。=0x | x-2或x3归纳小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有管种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。主与