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一节公开课的“意外”生成 随着新课程改革的不断深入，人们在数学教学的实践中逐步达成这样的共识：数学课堂教学是师生合作交流、对话沟通、互动探究的过程，是个相互接纳和动态生成的过程，在这个过程中，在课堂上随时都可能发生一些事先没有预料的“意外”，如学生的回答、发问、解法出乎教师的意外或学生的行为令教师尴尬等等，如何看待和处理教学中的这些意外是我们需要进行研究的，本文通过自己的教学案例，谈谈自己心得和体会。 一、案例背景：不等式恒成立问题是高中数学中比较典型的一类问题，但是由于教材中很少涉及这一内容，只是在教学中零星的简单的说明，在高三复习不等式时想作个总结，同时正赶上学校面向全区开公开课，于是就以这一内容开设了高三数学复习研讨课。 二、案例描述：教学开始试图通过如下“问题一”让学生回答并总结不等式恒成立的处理思想。师：请同学们回答下面的问题一中（1） （1）若 asinx对x-,恒成立，则实数a的取值范围是 。 （2）若 asinx对 x(-,) 恒成立，则实数a的取值范围是 。 （3）若 asinx对 x-,恒成立，则实数a的取值范围是 。 （4）若 asinx对 x(-,) 恒成立，则实数a的取值范围是 。 生1：-1a1 生1：老师对不起，我看错了。（急不可待的样子！） 师：那你看错了什么？现在的结果是什么？ 生1：我把“”号看成了“=”号，这实际上求出的是函数y=sinx在此范围内的值域，而现在只要知道函数y=sinx在此范围内的的最大值即可。 师：说得真好！为了“惩罚”你刚才的“错误”继续回答余下的3个小问题。 师：根据问题一我们对恒成立问题的处理方法能作出怎样的归纳和总结？ 生2：处理不等式恒成立问题本质是通过函数的最大值和最小值来研究问题，小的小于最小的，大的大于最大的。 生3：常常需要变量分离思想。 生4：还需要注意区间的开和闭，即最大值和最小值能否取得。 （通过学生的你一言我一语，把我要总结全说了，我只简单地总结了一下注意事项。体会：在课堂上教师要尽可能的给学生提供充分表达自我、各抒己见，教师还要引导说出自己想法的理由或依据，以帮助澄清学生的疑惑，进一步加深对知识理解，形成处理问题技能。） 师：根据刚才同学们的总结出处理恒成立问题的方法，我们怎样解决下面的问题呢？ 问题二： 1若不等式x2-4mx+10在x2，3上恒成立，求m的取值范围。 2若不等式x2-4mx+10， 在m2，3上恒成立，求x的取值范围。 （问题1学生解决的很顺利，也很兴奋。为了能够顺利解决问题2，我还刻意在学生解决题1后问了各自的方法和所构造的函数。） 师：下面哪位同学先来说说自己的题2解题方法？ 生5：老师我的方法是这样的，把x2-4mx+10变形为x2+14mx，进行变量分离把x除到不等式的左边去（此时有学生小声议论不能除）， 生5：（赶紧）说当然要分类讨论了（当时我心里有点急，心想这可是全区公开课呀，真是不争气，这可不是老师所要的方法呀，这种行吗？当时稍作沉思，便顺水推舟。） 师：你的分类是？怎样解决此问题？ 生5:是 或 或 ，然后利用m2，3求出相应的x的范围，并把所得的结果求并集。 师：不错的方法！（急切的想得到我想要的方法，）还有其他的方法吗？ 生6：老师我利用数形结合的方法（我一愣，后面我要总结这种方法，但此题我还没有考虑过这种方法，心想让他试一试吧！）也是先把x2-4mx+10变形为x2+14mx，然后构造函数y= x2+1和y=4mx，画出y= x2+1的图象，画出y=4mx中斜率在分别为和的直线y=x，y=x的图象，它们与y= x2+1的图象，然后根据y= x2+1的图象要在y=4mx图象上方，求出 y=x与y= x2+1的交点的横坐标就可得到所求x的范围。 师：（以赞许和佩服的神情）说生6的数形结合的处理方法真好！老师都没有想过这样的方法。比较上述的两种方法，所构造的函数分别是什么？自变量又分别是什么？（见时间不多了，学生还没有找到我所预设的方法，心里大急）那么我们还可以构造以什么为自变量的函数。 生7：构造以m为自变量的一次函数f(m)= -4mx+1+x2根据解不等式可得。下面学生会意的附和到是的。（我大舒一口气，趁机问这些构造函数的方法，哪种构造更简单些。学生异口同声的说，构造一次函数比 师：比较问题1问题2我们如何恰当构造函数？ 生8：对恒成立的问题，首先应该分清对“谁”恒成立。这个“谁”就是要构造函数的变量。 生9：构造已知范围的变量为函数的自变量，未知范围的变量为所求变量。 （体会：再好的预设与课堂实施之间必然存在着一定的差距，这就要求教师随时把握课堂教学中闪动的亮点，不断捕捉、判断、重组课堂教学信息资源，见机行事，适当调整预设，机智生成新方案。） 师：同学们总结得很好，今天我们获得了处理不等式恒成立的处理方法，接下来我们用刚才获得方法解决下面一年的高考题。 问题三、已知已知函数发在-1，1是增函数。 （1）求实数 a 的值所组成的集合A； （2）设关于x 的方程的两根非零实根为x1、x2， 试问：是否存在实数m，使得不等式 m2 + t m + 1| x1 - x2| 对任意a A及t -1，1 恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。） 三、案例评析： 新课程的最高宗旨和核心理念是“一切为了每个学生的发展”，而“发展”是一个动态的生成过程。所以真实的教学过程应该是一个渐进的、多层次和多角度的非线性序列，是师生及多种因素间交流、合作、探究和体验的过程，它不可能百分之百按预设进行，总有一些“意外”产生，充分开发和利用好这个“意外”，就会使教学更效、更精彩。 1、善待“错误”“错误”也是一种资源 在教学的“非预设生成”中，由于学生认识和理解的偏差，致使考虑不成熟的、不周全的和不严密的，有的甚至是错误的。教师要充分利用好各种“错误”，或引导学生分析和反思，修正错误，加深认识和理解，或开发利用“错误”，因为研究问题既可以从正面入手，也可以从反面（错误）开始，而从反面探究往往对人的触动可能更大，给人留下的印象可能更深刻，效果更好，所以对“错误”的资源教师千万不要放弃，任其流失，而应即时抓住契机使“错误” 成为新知识和新方法的生长点。 2、关注学情调整预设 学情是学生在学习过程中表现出来的不同基础、不同思维习惯和不同能力差异的具体情况。在动态生成的课堂教学中，学生表现出来的种种“学情”是教学中最宝贵的资源，教师要及时关注，注意把握好方向，随时调整自己的预设的教案，不断“再”设计教学方案，努力使自己的教学组织活动适合学生的个性发展。真正使自己成为学生学习的帮助者、引导者和合作者。 3、加强预设注重弹性 教师课前的备课应该尽量详尽而严谨，要在广泛收集相关材料、构思教学流程和细节的基础上，作好课堂教学活动充分预设，与此同时还要有一定的弹性，以便根据教学实际情况随时调整教学结构或方便融入新的教学元素。 4、注重数学交流-尊重学生学生的个性 由于学生个体原有认知结构、技能、经验、情感、态度、价值观以及学生之间差异，对相同的知识会有不同的角度的和不同程度的的理解，而通过交流师生可以获得对同一知识的不同侧面的理解信息，从而有利于知识的全面的理解；同时通过数学交流学生可以把自己对问题解决的结论、思想、方法、体验等呈现给学习共同体，有利于促进成员之间的争议、讨论等，从而更有利对自己的思维和策略进行深入的反思、澄清、修改和修正，最终达到对知识和方法的深刻理解。所以教师要给学生一个充分表达自我的机会，让学生在教师的关爱、倾听、欣赏、鼓励